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浙江省杭州市学军中学2009届高三数学第2次月考试卷(含答案)(新课标)

时间:2012-04-25

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2008浙江省学军中学 2008-2009 学年高三第二次月考 数学(文科) 数学(文科)试题
小题, 在每小题给出的四个选项中, 一、选择题(本大题共 10 小题,每小题 5 分,共 50 分,在每小题给出的四个选项中,只 选择题( 有一项是符合题目要求的) 有一项是符合题目要求的) 1. 设全集 U = {1,3,5,7} , 集合 M = {1, | a ? 5 |}, M ? U , CU M={5, 则 a 的值为 ( 7}, A.2 或-8 B.-8 或-2 C.-2 或 8 D.2 或 8 )

2. 已知 y = f (x ) 是偶函数,当 x > 0时, f ( x ) = x + 恒成立, m ? n 的最小值是论 则 A.

4 , 且当x ∈ [?3,?1]时, n ≤ f ( x) ≤ m x
( )

1 3

B.

2 3

C.1

D.

4 3

3.若函数 y = f ( x ) ( x ∈ R ) 满足 f ( x + 2) = f ( x ) , 且 x ∈ ( ? 1,1] 时 f ( x ) =| x | , 则函数

y = f ( x ) 的图象与函数 y = lg | x | 的图象的交点个数为
A.16 B.18 C.20 D.无数个 (

(

)

4.函数 y = log 1 (sin x ? cos x ) 的单调增区间是
2

)

A. [ 2kπ ?

3π ], (k ∈ Z ) 4 4 3π 5π C. [ 2kπ + ,2kπ + ], (k ∈ Z ) 4 4 ,2kπ +

π

B. [ 2kπ +

3π 7π ,2kπ + ], (k ∈ Z ) 4 4 π 3π D. [ 2kπ + ,2kπ + ], (k ∈ Z ) 4 4

5.设 P 为曲线 C: y = x 2 + 2 x + 3 上的点,且曲线 C 在点 P 处切线倾斜角的取值范围为
? π ? ,则点 P 横坐标的取值范围为 ? 0, ? ? 4?

( C. [ 0, 1] D. ? 1 ,? ? 2 1? ? ?



1 A. ? ?1, ? ? ? 2? ? ?

B. [ ?1 0] ,

6.已知 f ( x) = a x ? 2 , g ( x) = log a | x | (a > 0, a ≠ 1), 若f (4) g (?4) < 0, 则 y = f ( x), y = g ( x) 在同一坐标系内的图象大致是 ( )

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7.若 0 < x < y < 1 ,则 A. 3 < 3
y x

( C. log 4 x < log 4 y



B. log x 3 < log y 3

1 1 D. ( ) x < ( ) y 4 4

8..将函数 y = sin(2 x + ( ) A.向左平移

π
3

) 的图象经怎样平移后所得的图象关于点 (?

π
12

, 0) 中心对称

π
12

B.向左平移

π
6

C.向右平移

π
12

D.向右平移 (

π
6


π 1 9.若 sin ? + α ? = ,则 cos ? 2π ? 2α ? = ? ? ? ? ?6 ? 3 ? 3 ?
A. 7
9

B. 1
3

C. ? 1

3

D. ? 7
9

10. 如果 ?A1 B1C1 的三个内角的余弦值分别等于 ?A2 B2C2 的三个内角的正弦值,则(
A. ?A1 B1C1 和 ?A2 B2C2 都是锐角三角形



B.?A1B1C1 是锐角三角形,?A2 B2C2 是钝角三

角形
C.?A1 B1C1 是钝角三角形 ?A2 B2C2 是锐角三角形 D. ?A1 B1C1 和 ?A2 B2C2 都是钝角三角形

小题, 二、填空题(本大题共 7 小题,每小题 4 分,共 28 分) 填空题(
11. 方程 2
?x

+ x 2 = 3 的实数解的个数为
25π )= 12

; ; ;

12. tan 70° cos10° + 3 sin 10° tan 70° ? 2 cos 40° = 13.若函数 f(x)= 3 sin x+sinxcosx. 则 f(
2

14.若

cos 2α 2 =? ,则 cos α + sin α = π? 2 ? sin ? α ? ? 4? ?



15 . 右 侧 图 是 函 数 f ( x ) =Asin (ωx + φ) ( ? <

π
2

,ω > 0 ) 的 图 象 , 则

f ( x) =
3



16 . f ( x ) = ax ? 3 x + 1 对 于 x ∈ [? 1,1] 总 有 f ( x ) ≥ 0 成 立 , 则 a 的 取 值 范 围





17.对于定义在 R 上的函数 f ( x ) ,有下述命题:

①若 f ( x ) 是奇函数,则 f ( x ? 1) 的图象关于点 A(1,0)对称; ②若函数 f ( x ? 1) 的图象关于直线 x = 1 对称,则 f (x ) 为偶函数; ③若对 x ∈ R ,有 f ( x ? 1) = ? f ( x), 则f ( x) 的周期为 2;
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④函数 y = f ( x ? 1)与y = f (1 ? x) 的图象关于直线 x = 0 对称. 其中正确命题的序号是 小题, 三、解答题(本大题共 5 小题,共 72 分) 解答题( 18. ( 本 题 满 分 14 分 ) 设 函 数

f ( x ) = sin( 2 x + ? ) ( ?π < ? < 0), y = f ( x )
图像的一条对称轴是直线 x = (Ⅰ)求 ? ; (Ⅱ)求函数 y = f (x ) 的单调增区间; (Ⅲ)画出函数 y = f (x ) 在区间 [0, π ] 上的图像。

π
8



19. (本题满分 14 分)已知函数 f ( x ) = 2 sin 2 ? (I)求 f ( x ) 的最大值和最小值;

?π ? ?π π? + x ? ? 3 cos 2 x , x ∈ ? , ? . ?4 ? ?4 2?

(II)若不等式 f ( x) ? m < 2 在 x ∈ ? , ? 上恒成立,求实数 m 的取值范围. 4 2

?π π? ? ?

20. (本题满分 14 分)如图,D 是直角△ABC 斜边 BC 上一点,AB=AD,记∠CAD= α ,∠ ABC= β . (Ⅰ).证明 sin α + cos 2 β = 0 ; β (Ⅱ) .若 AC= 3 DC,求 β 的值. B 图3 D C A α

21. (本题满分 15 分)已知函数 f ( x) = x 3 ? ax 2 ? 3 x . (Ⅰ)若 f (x) 在 [1,+∞) 上是增函数, 求实数 a 的取值范围. (Ⅱ)若 x = ?

1 是 f (x ) 的极大值点,求 f (x ) 在 [1, a ] 上的最大值; 3

(Ⅲ)在(2)的条件下,是否存在实数 b,使得函数 g ( x ) = bx 的图像与函数 f (x ) 的
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图像恰 有 3 个交点,若存在,求出 b 的取值范围,若不存在,说明理由.

22. (本题满分 15 分)对任意 x ∈ R ,给定区间 [ k ? 数 x 与 x 的给定区间内整数之差的绝对值. (1)当 x ∈ [?

1 1 , k + ](k ∈ z ) ,设函数 f (x) 表示实 2 2

1 1 1 1 , ]时, 求出f ( x) 的解析式;当 x ∈ [k ? , k + ](k ∈ Z)时,写出用绝 2 2 2 2
YCY

对值符号表示的 f (x ) 的解析式,并说明理由; (2)判断函数 f (x ) ( x ∈ R)的奇偶性,并证明你的结论; (3)求方程 f ( x) ? log 1
2

x = 0 的实根.(要求说明理由)

学军中学高三第二次数学月考文科答卷
答在答题卡 小题, 一、选择题:(答在答题卡上) . (本大题共 10 小题,每小题 5 分,共 50 分) 选择题: 答在 ... 小题, 二、填空题: (本大题共 7 小题,每小题 4 分,共 28 分) 填空题

11.

; 12.

;13.



14.



15.



16.

;17.



小题,解答应写出必要的文字说明、证明过程及演算步骤. 三、解答题:本大题共 5 小题,解答应写出必要的文字说明、证明过程及演算步骤. 解答题: 18. (本题满分 14 分) 解:

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(Ⅲ)

x

y

19. (本题满分 14 分) 解:

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20. (本题满分 14 分) 解: β B

A α

图3

D

C

21. (本题满分 15 分)已知函数 f ( x) = x 3 ? ax 2 ? 3 x . (Ⅰ)若 f (x ) 在 [1,+∞) 上是增函数, 求实数 a 的取值范围. (Ⅱ)若 x = ?

1 是 f (x ) 的极大值点,求 f (x ) 在 [1, a ] 上的最大值; 3

(Ⅲ)在(2)的条件下,是否存在实数 b,使得函数 g ( x ) = bx 的图像与函数 f (x ) 的 图像恰有 3 个交点,若存在,求出 b 的取值范围,若不存在,说明理由. 解:

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22. (本题满分 15 分) 对任意 x ∈ R ,给定区间 [ k ?

1 1 , k + ](k ∈ z ) ,设函数 f (x) 表示实数 2 2

x 与 x 的给定区间内整数之差的绝对值.
(1)当 x ∈ [?

1 1 1 1 , ]时, 求出f ( x) 的解析式;当 x ∈ [k ? , k + ](k ∈ Z)时,写出用绝 2 2 2 2
YCY

对值符号表示的 f (x ) 的解析式,并说明理由; (2)判断函数 f (x ) ( x ∈ R)的奇偶性,并证明你的结论; (3)求方程 f ( x) ? log 1
2

x = 0 的实根.(要求说明理由)

解:

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2008浙江省学军中学 2008-2009 学年高三第二次月考 数学(文科) 数学(文科)试题参考答案
一、选择题:DCBCA ;BCCDB . 选择题: 二、填空题: 填空题

11.2; 12.2; 13.

3 ?1 1 π ;14. ; 15. 2 sin( 2 x + ) ; 16. a ≥ 4 ; 17.① ② ③ . 2 2 6

小题,解答应写出必要的文字说明、证明过程及演算步骤. 三、解答题:本大题共 5 小题,解答应写出必要的文字说明、证明过程及演算步骤. 解答题: 18.解: (Ⅰ)Q x =

π π
8 2

是函数y = f ( x ) 的图像的对称轴,∴ sin( 2 × , k ∈ Z. Q ?π < ? < 0, ? = ? 3π . 4

π
8

+ ? ) = ±1,



π
4

+ π = kπ +

(Ⅱ)由(Ⅰ)知 ? = ?

3π 3π ,因此y = sin( 2 x ? ). 4 4 π 3π π 由题意得 2kπ ? ≤ 2 x ? ≤ 2 kπ + , k ∈ Z . 2 4 2 3π π 5π 所以函数 y = sin( 2 x ? )的单调增区间为[ kπ + , kπ + ], k ∈ Z . 4 8 8 3π (Ⅲ)由 y = sin( 2 x ? )知 4 π 3π 5π 7π x 0 8 8 8 8
y

π
? 2 2

?

2 2

-1

0

1

0

故函数 y = f ( x)在区间[0, π ]上图像是

19.解: (Ⅰ)∵ f ( x) = ?1 ? cos ?

?

?

?π ?? + 2 x ? ? ? 3 cos 2 x = 1 + sin 2 x ? 3 cos 2 x ?2 ??

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π? ? = 1 + 2 sin ? 2 x ? ? . 3? ?
又∵ x ∈ ? , ? ,∴ ≤ 2 x ? ≤ ,即 2 ≤1 + 2sin ? 2 x ? ? ≤ 3 , 6 3 3 3? ? ?4 2?

?π π?

π

π



?

π?

∴ f ( x)max = 3,f ( x) min = 2 .
(Ⅱ)∵ f ( x) ? m < 2 ? f ( x) ? 2 < m < f ( x) + 2 , x ∈ ? , ? , 4 2

?π π? ? ?

∴ m > f ( x) max ? 2 且 m < f ( x) min + 2 ,
∴1 < m < 4 ,即 m 的取值范围是 (1 4) . ,
20.解: (1).如图,Q α =

π
2

? (π ? 2 β ) = 2 β ?

π

,∴ sin α = sin(2 β ? ) = ? cos 2 β , 2 2 A
α β B D C

π

即 sin α + cos 2 β = 0 . (2) .在 ?ABC 中,由正弦定理得

DC AC DC 3DC = ,? = .∴ sin β = 3 sin α sin α sin(π ? β ) sin α sin β
由(1)得 sin α = ? cos 2 β ,∴ sin β = ? 3 cos 2 β = ? 3(1 ? 2 sin 2 β ),

即 2 3 sin β ? sin β ? 3 = 0.解得 sin β =
2

3 3 或 sin β = ? . 2 3

Q0 < β <

π
2

,∴ sin β =

3 π ,? β = . 2 3

21.(1) f ' ( x ) = 3 x 2 ? 2ax ? 3 ≥ 0 在 x ∈ [1,+∞) 上恒成立,

3x 2 ? 3 3 1 即a ≤ = ( x ? ) 在 x ∈ [1,+∞) 上恒成立,得 a ≤ 0 . 2x 2 x
(2) f ( ? ) = 0 得 a=4. f ' ( x) = 3 x 2 ? 8 x ? 3 = (3 x + 1)( x ? 3)
'

1 3

在区间 [1,4] 上, f ( x ) 在 [1,3] 上为减函数,在 [3,4] 上为增函数.
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而 f (1) = ?6 , f ( 4) = ?12 ,所以 f ( x) max = ?6 . (3)问题即为是否存在实数 b,使得函数 x ? 4 x ? 3 x = bx 恰有 3 个不同根.
3 2

方程可化为 x[ x 2 ? 4 x ? (3 + b)] = 0 等价于

x 2 ? 4 x ? (3 + b) = 0 有两不等于 0 的实根 ? > 0且b ≠ ?3

所以 b > ?7, b ≠ ?3 22. (Ⅰ) x ∈ [? 解: 当 当 x ∈ [k ?

1 1 1 1 , ] 时, 由定义知:x 与 0 距离最近, f ( x ) =| x | x ∈ [? , ]. 2 2 2 2

1 1 , k + ](k ∈ Z ) 时,由定义知: k为与x 最近的一个整数,故 2 2 1 1 f ( x) =| x ? k | x ∈ [k ? , k + ](k ∈ Z ) 2 2

(Ⅱ)对任何 x ∈ R,函数 f (x ) 都存在,且存在 k ∈ Z, 满足

k?

1 1 1 1 1 1 ≤ x ≤ k + , f ( x ) =| x ? k | .由k ? ≤ x ≤ k + 可以得出 ? k ? ≤ ? x ≤ ? k + (k ∈ Z) 2 2 2 2 2 2
即 ? x ∈ [?k ?

1 1 ,?k + ](? k ∈ Z). 2 2

由(Ⅰ)的结论, f ( ? x ) = 1 ? x ? ( ? k ) |=| k ? x |=| x ? k |= f ( x ), 即 f ( x ) 是偶函数.

1 x = 0, 即 | x ? k | ? log a x = 0. 2 1 1 (1)当 x > 1时, | x ? k |≥ 0 > log a x,∴| x ? k | ? log a x = 0 没有大于 1 的实根; 2 2 1 (2)容易验证 x = 1 为方程 | x ? k | ? log a x = 0 的实根; 2 1 1 1 (3)当 < x < 1时, 方程 | x ? k | ? log a x = 0变为1 ? x ? log a x = 0. 2 2 2 1 1 设 H ( x ) = log a x ? (1 ? x)( < x < 1). 2 2 1 1 1 1 1 则 H ′( x ) = ? log a e + 1 = +1 < + 1 = ? + 1 < 0, 1 ? x 2 x 2 x ln a 2 x ln e 2 1 所以当 < x < 1时, H ( x ) 为减函数, H ( x ) > H (1) = 0, 2
(Ⅲ) (理科)解: f ( x ) ? log a
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所以方程没有

1 < x < 1 的实根; 2 1 1 1 (4)当 0 < x ≤ 时, 方程 | x ? k | ? log a x = 0变为x ? log a x = 0 2 2 2 1 1 1 1 设 G ( x) = log a x ? x (0 < x ≤ ),明显G ( x) 为减函数, G ( x) ≥ G ( ) = H ( ) > 0 , 2 2 2 2 1 所以方程没有 0 < x ≤ 的实根. 2
综上可知,若 e
? 1 2

< a < 1, 方程f ( x) ? log a

x = 0 有且仅有一个实根,实根为 1.

x = 1, x =

1 . 2

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