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高二上学期期末复习数学试卷(附答案)[1] 2

时间:2013-01-01


高二上学期期末复习数学试卷
命审范围:必修五+选修 2-1 一、选择题:

1、下列命题中为真命题的是(
A.若



1 1 ? ,则 x ? y . B.若 x 2 ? 1 ,则 x ? 1 .C.若 x ? y ,则 x ? y . D.若 x ? y ,则 x2 ? y 2 . x y
) D. a ? c d b

2、已知 a ? b ? 0,c ? d ? 0 ,那么下列判断中正确的是( a b A. ac bd B. a ? d C. ? ??? c b d c

?x ? y ? 3 ? 3、设变量 x,y 满足约束条件: ? x ? y ? ?1 .则目标函数 z=2x+3y 的最小值为 ?2 x ? y ? 3 ?
(A)6 (B)7 (C)8 (D)23

4、 在Δ ABC 中, 角 A、B、C 的对边分别为 a 、 b 、 c , 已知 A=
A.1 B.2 C. 3 -1

? , a ? 3 , b ? 1 ,则 c ? ( ) 3
D. 3

5、已知方程

x2 y2 ? ? 1 表示双曲线,则 k 的取值范围是( ) 1? k 1? k
B. k ? 0
2

A. ?1 ? k ? 1

C. k ? 0

D. k ? 1 k ? ?1 或 )

6、一元二次方程 ax ? 2x ?1 ? 0(a ? 0), 有一个正根和一个负根的充分不必要条件是(
A. a ? 0 B. a ? 0 C. a ? ?1 D. a ? 1

7、若双曲线 x 2 ? y 2 ? 1 的右支上一点 P( a ,b)到直线 y ? x 的距离为 2 , 则a +b 的值(
A. ?



1 2

B.

1 2
? y2 b2

C.-2

D.2

8、如图 F1,F2 分别是椭圆

x2 a2

? 1(a ? 0, b ? 0) 的两个焦点,A 和 B 是以 O 为圆心,以 OF1 为半径的圆与

该左半椭圆的两个交点,且 ?F2 AB 是等边三角形,则椭圆的离心率为:

A.

3 2

B.

1 2

C.

2 2

D. 3 ? 1

2n-1 321 9、数列{an}的通项公式是 an= n ,其前 n 项和 Sn= ,则项数 n= 2 64 A.13 B.10 C.9 D.6 ) D.等腰三角形

10、在 ?ABC中,若 a cos B ? c ,则 ?ABC的形状一定是( A.锐角三角形 B.钝角三角形 C.直角三角形
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n+1 11、已知数列{an}的通项公式为 an=log2 (n∈N*),设其前 n 项和为 Sn,则使 Sn<-5 成立的自然数 n n+2 A.有最大值 63 B.有最小值 63 C.有最大值 32 D.有最小值 32 12、设过点 P?x, y ? 的直线分别与 x 轴的正半轴和 y 轴的正半轴交于 A 、 B 两点,点 Q 与点 P 关于 y 轴对称,O 为坐标原点,若 BP A.

? 2PA ,且 OQ ? AB

? 1 , 则 P 点的轨迹方程是(
B.



3 2 x ? 3 y 2 ? 1?x ? 0, y ? 0? 2 3 C. 3x 2 ? y 2 ? 1?x ? 0, y ? 0? 2
二、填空题: x 13、不等式 ? 2 的解集为 x ?1 14、设数列 {an } 的前 n 项和为 S n ,令 Tn =

3 2 x ? 3 y 2 ? 1?x ? 0, y ? 0? 2 3 D. 3x 2 ? y 2 ? 1?x ? 0, y ? 0? 2
.

S1 ? S2 ? ? ? Sn ,称 Tn 为数列 a1 , a 2 ,?, a n 的“理想数” ,已知数 n

列 a1 , a 2 , a3 ?, a100 的“理想数”为 101,那么数列 2, a1 , a 2 , a3 ?, a100 的“理想数”为___________. 15.设 x、y 均为正实数,且

1 1 1 ? ? ,则 xy 的最小值为 2? x 2? y 3



16、已知二次函数 y=a(a+1)x2-(2a+1)x+1,当 a=1,2,?,n,?时,其抛物线在 x 轴上截得的线段长依次为 d1,d2,?,dn,?,则 d1+d2+?+dn=_____________ 三、解答题: 17、在 ?ABC 中,角 A, B, C 的对边分别为 a, b, c, B ? (1)求 sin C 的值;

?
6

, cos A ?

(2)求 ?ABC 的面积.

3 ,b ? 2 。 5

18、从社会效益和经济效益出发,某地投入资金进行生态环境建设,并以此发展旅游产业,根据规划,本年度投 1 入 800 万元,以后每年投入将比上年减少 ,本年度当地旅游业收入估计为 400 万元,由于该项建设对旅游业的 5 促进作用,预计今后的旅游业收入每年会比上年增加

1 . (注: lg 2 ? 0.3 ) 4

(1)设 n 年内(本年度为第一年)总投入为 an 万元,旅游业总收入为 bn 万元,写出 an,bn 的表达式; (2)至少经过几年,旅游业的总收入才能超过总投入?

第 2 页 共 7 页

19、如图,四边形 ABCD与 A' ABB ' 都是边长为 a 的正方形,点 E 是 A' A 的中点, A' A ? 平面 ABCD (1) 求证: A' C // 平面 BDE;(2) 求证:平面 A' AC ⊥平面 BDE (3) 求平面 BDE 与平面 ABCD 所成锐二面角的正切值。

n 20、设数列{an}满足 a1+3a2+32a3+?+3n-1an= ,n∈N*. 3 (1)求数列{an}的通项公式; n (2)设 bn= ,求数列{bn}的前 n 项和 Sn. an

2 21、设 F1 , F2 分别是椭圆 E: x +

y2 =1(0﹤b﹤1)的左、右焦点,过 F1 的直线 l 与 E 相交于 A、B 两点,且 b2

AF2 , AB , BF2 成等差数列。 (Ⅰ)求 AB ; (Ⅱ)若直线 l 的斜率为 1,求 b 的值。

第 3 页 共 7 页

22、已知 A 、 B 分别是直线 y ?

3 3 x和 y ? ? x 上的两个动点,线段 AB 的长为 2 3 , P 是 AB 的中点. 3 3

(1)求动点 P 的轨迹 C 的方程; (2) 过点 Q (1 , 0) 任意作直线 l(与 x 轴不垂直) 设 l 与 , (1) 中轨迹 C 交于 M、N 两点, y 轴交于 R 点. 与 若 ???? ? ???? ???? ? ???? RM ? ? MQ , RN ? ? NQ ,证明: ? ? ? 为定值.

第 4 页 共 7 页

期末复习题四参考答案 1 A 2 B 3 B 14、102; 4 B 5 A 15.16; 6 C 7 B 8 D 9 D 10 C 11 B 12 A

13、 ? ?2, ?1? ;

16、解析:当 a=n 时 y=n(n+1)x2-(2n+1)x+1 由|x1-x2|=

1 ? ,得 dn= ,∴d1+d2+?+dn n( n ? 1) a

1 1 1 1 1 1 1 1 1 ? ??? ?1? ? ? ? ?? ? ?1? 1? 2 2 ? 3 n(n ? 1) 2 2 3 n n ?1 n ?1 1 ? lim (d1 ? d 2 ? ? ? d n ) ? lim (1 ? ) ?1 n?? n?? n ?1 ?
17、解: (1)∵A、B、C 为△ABC 的内角,且 B ?
∴ sin C ? sin ?

?
6

,cos A ?

3 5? 4 ,∴ C ? ? A,sin A ? , 5 6 5

3 3? 4 3 ? 5? ? 1 ? A ? ? cos A ? sin A ? . 2 10 ? 6 ? 2

(2)由(Ⅰ)知 sin A ?

4 3? 4 3 ? , 又∵ B ? , b ? 2 ,∴在△ABC 中,由正弦定理, ,sin C ? 5 10 6

得∴ a ?

1 1 16 3 ? 4 3 48 ? 64 3 b sin A 16 . ? ? .∴△ABC 的面积 S ? ab sin C ? ? ? 2 ? 2 2 5 10 50 sin B 5
1 1 - )万元,?第 n 年投入为 800×(1- )n 1 万元, 5 5

18、解:(1)第 1 年投入为 800 万元,第 2 年投入为 800×(1-

所以,n 年内的总投入为 an=800+800×(1-

1 1 - n 1 - 4 )+?+800×(1- )n 1= 800×(1- )k 1 =4000×[1-( )n] 5 5 5 5 k ?1

?

第 1 年旅游业收入为 400 万元,第 2 年旅游业收入为 400×(1+

1 1 - ),?,第 n 年旅游业收入 400×(1+ )n 1 万元. 4 4

所以,n 年内的旅游业总收入为 bn=400+400×(1+

1 1 - n 5 - 5 )+?+400×(1+ )k 1= 400×( )k 1. =1600×[( )n-1] 4 4 4 4 k ?1

?

(2)设至少经过 n 年旅游业的总收入才能超过总投入,由此 bn-an>0,即: 5 4 4 2 1600×[( )n-1]-4000×[1-( )n]>0,令 x=( )n,代入上式得:5x2-7x+2>0.解此不等式,得 x< , 4 5 5 5 或 x>1(舍去).即(

4 n 2 ) < ,由此得 n≥5. ∴至少经过 5 年,旅游业的总收入才能超过总投入. 5 5 19、证明: (1)设 BD 交 AC 于 M,连结 ME.? ABCD 为正方形,所以 M 为 AC 中点, 又 ?E 为 A' A 的中点? ME 为 ?A' AC 的中位线? ME // A' C 又 ? ME ? 平面BDE , A' C ? 平面BDE ??4 分 ? A'C // 平面 BDE. (2)? ABCD 为正方形 ? BD ? AC ??6 分

? A' A ? 平面ABCD , BD ? 平面ABCD ? A' A ? BD. 又AC ? A' A ? A ? BD ? 平面A' AC.
第 5 页 共 7 页

? BD ? 平面BDE ?平面A' AC ? 平面BDE.
(3) 平面 BDE 与平面 ABCD 交线为 BD 由(2)已证 BD ? 平面 A' AC .

.......... 9分

? BD ? AM , BD ? EM ? 锐角?AME为平面 BDE与平面 ABCD 所成锐二面角的平面角 ? AA' ? 平面 ABCD ? A' A ? AM ,
在边长为 a的正方形中 AM ? 而AE ? 1 2 AC ? a 2 2

........12 分

1 a A' A ? 2 2 AE 2 ? tan ?AME ? ? 为所求 .......... ...14 分 AM 2 法二:依条件有 AB ? AD, A' A ? AB, A' A ? AD ,以 A 为坐标原点,分别以 AB , AD , A' A 为 x 轴,y 轴,z 轴建 a 立空间直角坐标系,则有 A(0,0,0), B(a,0,0), D(0, a,0), E (0,0, ) 2 A' A ? 平面 ABCD ? 平面 ABCD 的一个法向量为 n1 ? A' A ? (0,0, a)

a BD ? (?a, a,0), BE ? (?a,0, ), 设平面 BDE的一个法向量为 n2 ? ( x, y, z ) 2 ?n2 ?BD ? ?ax ? ay ? 0 ? 则n2 ? BD, n2 ? BE ? ? , 可取 n2 ? (1,1,2) a ?n2 ? BE ? ?ax ? z ? 0 2 ? 设平面BDE 与平面ABCD 所成锐二面角大小为 , ?

……11 分

则 cos? ?| cos ? n1 , n2 ?|?| ? sin? ?

n1 ? n2 | n1 | ? | n2 |

|?

2a a? 6

?

6 , 3

……13 分

3 sin? 2 , tan? ? ? 为所求.......... .......... .......... .......... .14分 3 cos? 2
① ②

n - 20、解:(1)∵a1+3a2+32a3+?+3n 1an= , 3 n-1 - ∴当 n≥2 时,a1+3a2+32a3+?+3n 2an-1= . 3

1 1 1 1 1 - ①-②得 3n 1an= ,an= n. 在①中,令 n=1,得 a1= ,适合 an= n, ∴an= n. 3 3 3 3 3 n (2)∵bn= ,∴bn=n3n.∴Sn=3+2×32+3×33+?+n3n, an ∴3Sn=32+2×33+3×34+?+n3n 1. ④-③得 2Sn=n3n 1-(3+32+33+?+3n), 3(1-3n) + 即 2Sn=n3n 1- , 1-3 (2n-1)3n 1 3 ∴Sn= + . 4 4
+ + +

③ ④

21、 (1)由椭圆定义知 ? ?F ? + ? ??? ? ? ?F ?? ? 。 又 2 ? AB ? = ? AF? ? ? ? ?F? ?? 得 ? AB ?? 2 2 (2)L 的方程式为 y=x+c,其中 c ? 1 ? b
2

? ?

设 A( x1,y1 ),B( x1,y1 ) ,则 A,B 两点坐标满足方程组
第 6 页 共 7 页

??y=x+c 2 x 2 ? y2 ?1 b

?2c 1 ? 2b 2 , x1 x2 ? . 化简得 (1? b ) x ? 2cx ?1? 2b ? 0. 则 x1 ? x2 ? 1 ? b2 1 ? b2
2 2 2

因为直线 AB 的斜率为 1,所以 ? ?? ??

? ? x 2 ? x1 ?



4 ? 2 ? x2 ? x1 ? . 3
解得



8 4(1 ? b2 ) 4(1 ? 2b2 ) 8b4 2 ? ( x1 ? x2 ) ? 4 x1x2 ? ? ? 9 (1 ? b2 )2 1 ? b2 1 ? b2
22、解 : (1)设 P( x , y ) , A( x1 , y1 ) , B( x2 , y2 ) .

b?

2 . 2

x1 ? x2 ? ?x ? 2 , ? ∵ P 是线段 AB 的中点,∴ ? ???2 分 ? y ? y1 ? y2 . ? ? 2 3 3 3 3 ∵ A B 分别是直线 y ? 、 x和y?? x 上的点,∴ y1 ? x1 和 y2 ? ? x2 . 3 3 3 3 ? x1 ? x2 ? 2 3 y, ? ∴? ????4 分 2 3 x. ? y1 ? y2 ? 3 ? ??? ? 又 AB ? 2 3 ,∴ ( x1 ? x2 )2 ? ( y1 ? y2 )2 ? 12. ????5 分
[来源:学#科#网 Z#X#X#K]

∴ 12 y 2 ?

x2 4 2 x ? 12 ,∴动点 P 的轨迹 C 的方程为 ? y 2 ? 1 . 9 3

????6 分

(2)依题意,直线 l 的 斜率存在,故可设直线 l 的方程为 y ? k ( x ? 1) .????7 分 设 M ( x3 , y3 ) 、 N ( x4 , y4 ) 、 R(0 , y5 ) ,

? y ? k ( x ? 1) , ? 则 M、N 两点坐标满足方程组 ? x 2 2 ? 9 ? y ? 1. ? 2 2 消去 y 并整理,得 (1? 9k ) x ?18k 2 x ? 9k 2 ? 9 ? 0 , 9k 2 ? 9 18k 2 x3 x4 ? ∴ x3 ? x 4 ? , ① . ② 1 ? 9k 2 1 ? 9k 2
∵ RM ? ? MQ ,∴ ( x3 , y3 ) ? (0 , y5 ) ? ??(1 , 0) ? ( x3 , y3 )? . 即?

????9 分 ???10 分

[来源:Zxxk.Com]

? x3 ? ?(1 ? x3 ) , ∴ x3 ? ?(1 ? x3 ) .∵ l 与 x 轴不垂直,∴ x3 ? 1 , ? y3 ? y5 ? ??y3 . x3 x4 ∴? ? ,同理 ? ? . ???12 分 1 ? x3 1 ? x4 ( x ? x ) ? 2 x3 x4 x3 x ∴? ?? ? . ? 4 ? 3 4 1 ? x3 1 ? x4 1 ? ( x3 ? x4 ) ? x3 x4 9 将①②代入上式可得 ? ? ? ? ? . ????14 分 4

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