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2017-2018学年高中数学人教A版选修1-2创新应用教学案:第二章 2-1合情推理与演绎推理 含答案 精品

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第 1 课时 合情推理 [核心必知] 1.预习教材,问题导入 根据以下提纲,预习教材 P22~P29 的内容,回答下列问题. (1)哥德巴赫提出猜想的推理过程是什么? 提示:通过对一些偶数的验证,他发现它们总可以表示成两个奇质数之和,而且没出现 反例.于是提出猜想——“任何一个不小于 6 的偶数都等于两个奇质数之和”. (2)观察教材 P24~P25 的几个实例,这几个推理是归纳推理吗?它们有什么共同特点? 提示:这几个推理不是归纳推理.它们的共同特点是两类事物间的推理. 2.归纳总结,核心必记 (1)归纳推理 ①归纳推理的定义 由某类事物的部分对象具有某些特征,推出该类事物的全部对象都具有这些特征的推 理,或者由个别事实概括出一般结论的推理,称为归纳推理. ②归纳推理的特征 归纳推理是由部分到整体、由个别到一般的推理. (2)类比推理 ①类比推理的定义 由两类对象具有某些类似特征和其中一类对象的某些已知特征, 推出另一类对象也具有 这些特征的推理,称为类比推理. ②类比推理的特征 类比推理是由特殊到特殊的推理. (3)合情推理 ①含义: 归纳推理和类比推理都是根据已有的事实,经过观察、分析、比较、联想,再进行归纳、 类比,然后提出猜想的推理,我们把它们统称为合情推理. ②合情推理的过程: 观察、分析 提出 从具体问题出发 比较、联想 归纳、类比 猜想 [问题思考] (1)归纳推理和类比推理的结论一定正确吗? 提示:归纳推理的结论超出了前提所界定的范围,其结论不一定正确.类比推理是从人 们已经掌握了的事物的特征, 推测正在被研究中的事物的特征, 所以类比推理的结果具有猜 测性,不一定可靠. 2 2+1 2 2+2 2 2+3 (2) < , < , < ,… 3 3+1 3 3+2 3 3+3 2 2+m 由此猜想: < (m 为正实数).上述推理是归纳推理还是类比推理? 3 3+m 提示:归纳推理. (3)由平面内平行于同一直线的两直线平行,猜想:空间中平行于同一平面的两个平面 平行.此推理是归纳推理还是类比推理? 提示:类比推理. [课前反思] (1)归纳推理的定义和特征各是什么? (2)类比推理的定义和特征各是什么? (3)归纳推理和类比推理有什么不同? 角度一:数(式)中的归纳推理 讲一讲 1.(1)观察下列各式: 13=12, 13+23=32, 13+23+33=62, 13+23+33+43=102, …… 照此规律,第 n 个等式可为________. 1 (2)(链接教材 P23-例 2)若数列{an}的通项公式 an= (n∈N*),记 f(n)=(1-a1)(1- ?n+1?2 a2)…(1-an),通过计算 f(1),f(2),f(3)的值,推测出 f(n)的表达式. [尝试解答] (1)左边各项幂的底数→右边各项幂的底数 1→1, 1,2→3, 1,2,3→6, 1,2,3,4→10, 由左、右两边各项幂的底数之间的关系: 1=1, 1+2=3, 1+2+3=6, 1+2+3+4=10, 可得一般性结论: 13+23+33+…+n3=(1+2+3+…+n)2, 即 13+23+33+…+n3=? ? n?n+1??2 . 2 ? 1 (2)∵an= , ?n+1?2 1 1 1 ∴a1= ,a2= ,a3= . 4 9 16 3 ∴f(1)=1-a1= , 4 1?? 1? 4 f(2)=? ?1-4??1-9?=6, 3 8 15 5 f(3)= × × = . 4 9 16 8 n+2 ∴推测 f(n)= . 2n+2 [答案] (1)13+23+33+…+n3=? ? n?n+1??2 2 ? (1)根据给出的几个具体等式归纳其一般结论时,要注意从等式的项数、次数、分式的 分子与分母各自的特点及变化规律入手进行归纳,要注意等式中项数、次数等与等式序号 n 的关系,发现其规律,然后用含有字母的等式表示一般性结论. (2)数列中的归纳推理的方法: ①通过所给的条件求得数列中的前几项; ②观察数列的前几项,寻求项与项数之间的规律,猜测数列的通项公式并加以证明. 练一练 1.观察下列等式: 12=1, 12-22=-3, 12-22+32=6, 12-22+32-42=-10, … 照此规律,第 n 个等式可为 ___________________. 解析:观察规律可知,第 n 个式子为 12-22+32-42+…+(-1)n 1n2=(-1)n + +1 n?n+1? . 2 答案:12-22+32-42+…+(-1)n 1n2=(-1)n + +1 n?n+1? 2 角度二:图形中的归纳推理 讲一讲 2.(1)有两种花色的正六边形地面砖,按下图的规律拼成若干个图案,则第六个图案中 有菱形纹的正六边形的个数是( ) A.26 B.31 C.32 D.36 (2)把 1,3,6,10,15,21,…这些数叫做三角形数,这是因为个数等于这些数目的点可以分 别排成一个正三角形(如图),试求第七个三角形数是________. [尝试解答] (1)法一:有菱形纹的正六边形个数如下表: 图案 个数 1 6 2 11 3 16 … … 由表可以看出有菱形纹的正六边形的个数依次组成一个以 6 为首项, 以 5 为公差的等差 数列,所以第六个图案中有菱形纹的正六边形的个数是 6+5×(6-1)=31. 法二:由图案的排列规律可知,除第一块无纹正六边形需 6 块有纹正六边形围绕(第一 个图案)外,每增加一块无纹正六边形,只需增加 5 块菱形纹正六边形(每两块相邻的无纹正 六边形之间有一块“公共”的菱形纹正六边形),故第六个图案中有菱形纹的正六边形的个 数为:6+5×(6-1)=31.故选 B. (2)第七个三角形数为 1+2+3+4+5+6+7=28. [答案] (1)B (2)28 解决图形中归纳推理的方法 解决与图形有关的归纳推理问题常从

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