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2009年第26届全国中学生物理竞赛预赛试题及答案

时间:2011-01-30


2009年第 届全国中学生物理竞赛预赛试题及答案 年第26届全国中学生物理竞赛预赛试题及答案 年第
文章来自:lnjzedu.gov.cn 时间:2009-11-20

本题共5小题 在每小题给出的4个选项中 一、选择题.本题共 小题,每小题 分.在每小题给出的 个选项中,有的小题只有一项 选择题 本题共 小题,每小题7分 在每小题给出的 个选项中, 是正确的,有的小题有多项是正确的 把正确选项前面的英文字母写在每小题后面的方括号 是正确的,有的小题有多项是正确的.把正确选项前面的英文字母写在每小题后面的方括号 全部选对的得7分 选对但不全的得3分 选错或不答的得0分 内.全部选对的得 分,选对但不全的得 分,选错或不答的得 分. 全部选对的得

1.图中 a、b 和 c、d 分别是两个平行板电容器的极扳,E 为电池,彼此相距较远.用导线将 E 的正极与 a、 c 相连,将 E 的负极与 b、d 相连,待电容 器充电后,去掉导线.这时已知 a 带的电荷量大于 c 带的电荷量,称此状态为原始状态.现设 想用两根导线分别都从原始状态出发,进行以下两次连接:第一次用一根导线将 a、c 相连, 用另一根导线将 b、d 相连;第二次用一根导线将 a、d 相连,用另一根导线将 b、c 相连, 每次连接后都随即移去导线.下面哪种说法是正确的? A.经过第一次连接,a、b 间的电压下降,c、d 间的电压上升 B.经过第一次连接,a、b 间和 c、d 间的电压都不变 C.经过第二次连接,a、b 间的电压和 c、d 间的电压中有一个上升,一个下降 D.经过第二次连接,a、b 间的电压和 c、d 间的电压都下降

2.两根不同金属导体制成

的长度相等、 横截面积相同的圆柱

形杆,串联后接在某一直流电源两端,如图所示.已知杆 a 的质量小于杆 b 的质量,杆 a 金 属的摩尔质量小于杆 b 金属的摩尔质量,杆 a 的电阻大于杆 b 的电阻,假设每种金属的每个 原子都提供相同数目的自由电子(载流子).当电流达到稳恒时,若 a、 b 内存在电场,则该电 场可视为均匀电场.下面结论中正确的是 A.两杆内的电场强度都等于零 B.两杆内的电场强度都不等于零,且 a 内的场强大于 b 内的场强 C.两杆内载流子定向运动的速度一定相等 D.a 内载流子定向运动的速度一定大于 b 内载流子定向运动的速度 3.一根内径均匀、两端开口的细长玻璃管,竖直插在水中,管的一部分在水面上.现用手 指封住管的上端,把一定量的空气密封在玻璃管中,以 V0表示其体积;然后把玻璃管沿竖 直方向提出水面,设此时封在玻璃管中的气体体积为 V1;最后把玻璃管在竖直平面内转过 90°,使玻璃管处于水平位置,设此时封在玻璃管中的气体体积为 V2.则有 A.V1>V0=V2 B.V1>V0>V2 C.V1=V2>V0 D.V1>V0,V2>V0 4.一块足够长的白板,位于水平桌面上,处于静止状态.一石墨块(可视为质点)静止在白 板上.石墨块与白板间有摩擦,滑动摩擦系数为 ?.突然,使白板以恒定的速度 v0做匀速直线 运动,石墨块将在板上划下黑色痕迹.经过某一时间 t,令白板突然停下,以后不再运动.在最 后石墨块也不再运动时,白板上黑色痕迹的长度可能是(已知重力加速度为 g,不计石墨与 板摩擦划痕过程中损失的质量)

A.

B.v0t

C.

D.

5.如图1所示,一个电容为 C 的理想电容器与两个阻值皆为 R 的电阻串联后通过电键 K 连接在电动势为 E 的直流电源的两端,电源的内电阻忽略不计,电键 K 是断开的,在 t=0 时刻,闭合电键 K,接通电路,在图2中给出了六种电压 V 随时间 t 变化的图线 a、b、c、d、 e、f,现从其中选出三种图线用来表示图 l 所示电路上1、2、3、4四点中某两点间的电压随 时间 t 的变化,下面四个选项中正确的是

A.a、b、f

B.a、e、f

C.b、d、e

D.c、d、e

把答案填在题中的横线上或把图画在题中指定的地方.只要给出结 二、填空题和作图题.把答案填在题中的横线上或把图画在题中指定的地方 只要给出结 填空题和作图题 把答案填在题中的横线上或把图画在题中指定的地方 果,不需写出求得结果的过程. 不需写出求得结果的过程

6.(8分)传统的

雷达天线依靠转动天线来搜索空中各

个方向的目标, 这严重影响了搜索的速度.现代的“雷达”是“相位控制阵列雷达”, 它是由数以 万计的只有几厘米或更小的小天线按一定的顺序排列成的天线阵,小天线发出相干的电磁 波,其初相位可通过电子计算机调节,从而可改变空间干涉极强的方位,这就起了快速扫描 搜索空中各个方向目标的作用.对下面的简单模型的研究,有助于了解改变相干波的初相位 差对空间干涉极强方位的影响. 图中 a、b 为相邻两个小天线,间距为 d,发出波长为 λ 的相干电磁波.Ox 轴通过 a、b 的中点且垂直于 a、b 的连线.若已知当 a、b 发出的电磁波在 a、b 处的初相位相同即相位差 为 O 时,将在与 x 轴成 θ 角(θ 很小)方向的远处形成干涉极强,现设法改变 a、b 发出的电磁 波的初相位,使 b 的初相位比 a 的落后一个小量 φ,结果,原来相干极强的方向将从 θ 变为 θ' ,则 θ-θ'等于____. 7.(8分)He-Ne 激光器产生的波长为6.33×10-7m 的谱线是 Ne 原子从激发态能级(用 E1表示) 向能量较低的激发态能级(用 E3表示)跃迁时发生的;波长为 3.39×10-6m 的谱线是 Ne 原子 从能级 E1向能级较低的激发态能级(用 E3表示)跃迁时发生的.已知普朗克常量 h 与光速 c 的 乘积 hc=1.24×10-6m·eV.由此可知 Ne 的激发态能级 E3与 E2的能最差为____eV. 8.(8分)一列简谐横波沿 x 轴负方向传播,传播速度 v=200m/s.已知位于坐标原点(x=0)处

的质元的振动图线如图1所示.试在图2中画出,t=4Oms,时该简谐波的波形图线(不少于一个 波长).

9.(8分)图示为某一圆形水池的示意图(竖直截面).AB 为池中水面的直径,MN 为水池底 面的直径,O 为圆形池底的圆心.已知 ON 为11.4m, AM、BN 为斜坡,池中水深5.00m,水的 折射率为4/3.水的透明度极好,不考虑水的吸收.图中 a、b、c、d 为四个发光点,天空是蓝 色的,水面是平的.在池底中心处有一凹槽,一潜水员仰卧其中,他的眼睛位于 O 处,仰视 水面的最大范围的直径为 AB.

(i)潜水员仰视时所看到的蓝天图象对他的眼睛所张的视角为________ . (ii)四个发光点 a、b、c、d 中,其发出的光能通过全反射到达潜水员眼睛的是________. 解答应写出必要的文字说明、 三、计算题.解答应写出必要的文字说明、方程式和重要的演算步骤,只写出最后结果 计算题 解答应写出必要的文字说明 方程式和重要的演算步骤, 的不能得分.有数值计算的,答案中必须明确写出数值和单位 的不能得分 有数值计算的,答案中必须明确写出数值和单位. 有数值计算的 10.(19分)试分析下面两个实验操作中的误差(或失误)对实验结果的影响. (i)用“插针法”测量玻璃的折射率时,要先将透明面平行的玻璃砖放置在铺平的白纸上, 然后紧贴玻璃砖的两个透明面, 分别画出两条直线, 在实验中便以这两条直线间的距离作为 透明面之间的距离.如果由于操作中的误差,使所画的两条直线间的距离大于玻璃砖两透明 面间的实际距离,问这样测得的折射率与实际值相比,是偏大,偏小,还是相同?试给出简 要论证

(ii)在用单摆测量重力加速度 g 时, 由于操作失误, 致使摆球不在同一竖直平 面内运动,而是在一个水平面内作圆周运动,如图所示.这时如果测出摆球作这种运动的周 期, 仍用单摆的周期公式求出重力加速度, 问这样求出的重力加速度与重力加速度的实际值 相比,哪个大?试定量比较. 11.(18分)现有以下器材: 电流表一只(量程适当.内阻可忽略不计.带有按钮开关 K1, 按下 按钮,电流表与电路接通,有电流通过电流表,电流表显出一定的读数),阻值己知为 R 的 固定电阻一个,阻值未知的待测电阻 Rx 一个,直流电源一个(电动势 ε 和内阻 r 待测),单

刀双掷开关 K 一个,接线用的导线若干. 试设计一个实验电路,用它既能测量直流电源的电动势 ε 和内阻 r,又能测量待测电阻 的阻值 Rx(注意:此电路接好后,在测量过程中不许再拆开,只许操作开关,读取数据).具 体要求: (i)画出所设计的电路图. (ii)写出测量 ε、r 和 Rx 主要的实验步骤. (iii)导出用已知量和实验中测量出的量表示的 ε、r 和 Rx 的表达式. 12.(18分)一静止的原子核 A 发生 α 衰变后变成原子核 B, 已知原子核 A、 原子核 B 和 α 粒子的质量分别为 mA、mB,和 mα,光速为 c(不考虑质量与速度有关的相对论效应), 求衰 变后原子核 B 和 α 粒子的动能. 13.(18分)近代的材料生长和微加工技术, 可制造出一种使电子的运动限制在半导体的一 个平面内(二维)的微结构器件,且可做到电子在器件中像子弹一样飞行,不受杂质原子射散 的影响.这种特点可望有新的应用价值.图 l 所示为四端十字形.二维电子气半导体, 当电流从 l 端进人时,通过控制磁场的作用,可使电流从 2, 3,或4端流出.对下面摸拟结构的研究, 有助于理解电流在上述四端十字形导体中的流动.在图 2 中, a、b、c、d 为四根半径都为 R 的圆柱体的横截面,彼此靠得很近,形成四个宽度极窄的狭缝1、2、3、4,在这些狭缝和 四个圆柱所包围的空间(设为真空)存在匀强磁场,磁场方向垂直于纸面指向纸里.以 B 表示 磁感应强度的大小.一个质量为 m、电荷量为 q 的带正电的粒子,在纸面内以速度 v0沿与 a、 b 都相切的方向由缝1射人磁场内,设粒子与圆柱表面只发生一次碰撞,碰撞是弹性的,碰 撞时间极短,且碰撞不改变粒子的电荷量,也不受摩擦力作用.试求 B 为何值时,该粒子能 从缝2处且沿与 b、c 都相切的方向射出.

14.(20分)如图所示,M1N1N2M2是位于光滑水平桌面 上的刚性 U 型金属导轨, 导轨中接有阻值为 R 的电阻, 它们的质量为 m0.导轨的两条轨道间 的距离为 l,PQ 是质量为 m 的金属杆,可在轨道上滑动,滑动时保持与轨道垂直,杆与轨 道的接触是粗糙的,杆与导轨的电阻均不计.初始时,杆 PQ 于图中的虚线处,虚线的右侧为 一匀强磁场区域,磁场方向垂直于桌面,磁感应强度的大小为 B.现有一位于导轨平面内的 与轨道平行的恒力 F 作用于 PQ 上,使之从静止开始在轨道上向右作加速运动.已知经过时 间 t , PQ 离开虚线的距离为 x,此时通过电阻的电流为 I0,导轨向右移动的距离为 x0(导轨的 N1N2部分尚未进人磁场区域).求在此过程中电阻所消耗的能量.不考虑回路的自感.

15.(20分)图中 M1和 M2是绝热气缸中的两个 活塞,用轻质刚性细杆连结,活塞与气缸壁的接触是光滑的、不漏气的,M1是导热的,M2 是绝热的,且 M2的横截面积是 M1的2倍.M1把一定质量的气体封闭在气缸的 L1部分,M1和 M2把一定质量的气体封闭在气缸的 L2部分, 2的右侧为大气, M 大气的压强 P0是恒定的. K 是 加热 L2中气体用的电热丝.初始时,两个活塞和气体都处在平衡状态,分别以 V10和 V20表示 L1和 L2中气体的体积.现通过 K 对气体缓慢加热一段时间后停止加热,让气体重新达到平衡 态,这时,活塞未被气缸壁挡住.加热后与加热前比, L1和 L2中气体的压强是增大了、减小 了还是未变?要求进行定量论证. 16.(20分)一个质量为 m1的废弃人造地球卫星在离地面 h=800km 高空作圆周运动,在某 处和一个质量为 m2=m1/9的太空碎片发生迎头正碰,碰撞时间极短,碰后二者结合成一个物 体并作椭圆运动.碰撞前太空碎片作椭圆运动,椭圆轨道的半长轴为7500km,其轨道和卫星 轨道在同一平面内.已知质量为 m 的物体绕地球作椭圆运动时,其总能量即动能与引力势能 之和 ,式中 G 是引力常量,M 是地球的质量,a 为椭圆轨道的半长轴.设地球是 (i)试定量论证碰后二者结合成的物体会不会落到地球上. (ii)如果此事件是发生在北级上空(地心和北极的连线方向上), 碰后二者结合成的物体与 地球相碰处的纬度是多少? 参考解答与评分标准 一、选择题.(共35分) 答案: 1.BD 2.B 3.A 4.AC 5.AB 评分标准: 每小题7分.在每小题给出的4个选项中,有的小题只有一项是正确的,有的小题有多项 是正确的.全部选对的得7分.选对但不全的得3分,有选错或不答的得0分. 二、填空题和作图题.共32分,每小题8分.按各小题的答案和评分标准给分. 6.答案与评分标准: (8分)

半径 R=6371km 的质量均匀分布的球体,不计空气阻力.

7.答案与评分标准: 1.59(8分)

8.答案:

评分标准:8分.有任何错误都给0分. 9.答案与评分标准: (i)97.2°(分) (ii)c、d(两个都对得4分,只填一个且正确得2分,有填错的得0分) 10.参考解答:

(i)以两条实线代表在白纸上所画出的直线,以两条虚 线代表玻璃砖的两个透明面,根据题意,实线间的距离大于虚线间的距离,如图所示.根据 实线位置定出的折射角为 γ,按实际的玻璃砖两透明面的位置即虚线定出的折射角为 γ' ,由 图知 γ>γ' (l) 由折射定律 sini=nsinγ (2) 令入射角 i 相等,当折射角偏大时,测出的折射率将偏小. (ii)以 l 表示摆长,θ 表示摆线与竖直方向的夹角,m 表示摆球的质量,F 表示摆线对摆 球的拉力,T 表示摆球作题图所示运动的周期.有 Fcosθ=mg (2) 由(l)、(2)式得 (1)

(3)

而单摆的周期公式为 即使在单摆实验中,摆角很小,θ<5°,但 cosθ<l,这表示对于同样的摆长 l,摆球在 水平面内作圆周运动的周期 T 小于单摆运动的周期 T' ,所以把较小的周期通过(4)求出的重 力加速度的数值将大于 g 的实际值. 评分标准:本题 19 分. 第(i)小题9分.得到(l)式给4分,得到正确结论给5分.只有结论给0分. 第(ii)小题10分.得到(3)式给5分,得到正确结论给5分.只有结论给0分. 11.参考解答: 解法一

(i)电路如右图所示, (ii)实验步骤: (1)将单向双掷开关 K 置于空位,按所设计的电路图接线. (2)按下电流表上的按钮开关 K1,读下电流表的示数 I1. (3)将 K 打向左侧与 a 接通,读下电流表的示数 I2. (4)将 K 打向右侧与 b 接通,读下电流表的示数 I3. (iii)由欧姆定律有 ε=I1R+I1r (1)

(2)

(3) 解以上三式得

(4)

(5)

(6) 评分标准:本题18分. 第(i)小题9分.若所设计的电路无法根据题的要求测出所有的应测电流,都得0分. 第(ii)题3分.在电路正确的前提下,每测一个电流的步骤占1分. 第(iii)题6分.(4)、(5)、(6)式各 2 分.

解法二 (i)电路如右图所示. (ii)实验步骤:

(1)将单向双掷开关 K 置于空位,按所设计的电路图接线. (2)按下电流表上的按钮开关 K1,读下电流表的示数 I1. (3)将 K 打向左侧与 a 接通,读下电流表的示数 I2. (4)将 K 打向右侧与 b 接通,读下电流表的示数13. (iii)由欧姆定律有 ε=I1(R+Rx+r) (1) ε=I2(R+r) (2) ε=I3(Rx+r) (3) 解以上三式得

(4)

(5)

(6) 评分标准:本题18分. 第(i)小题9分.若所设计的电路无法根据题的要求测出所有的应测电流,都得0分. 第(ii)题3分.在电路正确的前提下,每测一个电流的步骤占1分. 第(iii)题6分.(4)、(5)、(6)式各 2 分. 12.参考解答: 设 α 粒子速度的大小为 vα,原子核 B 速度的大小为 vB,在衰变过程中动量守恒,有 mαvα+mBvB=0 (1) 衰变过程中能量守恒,有 (2) 解(l)、(2)二式得

(3)

(4) 评分标准:本题18分. (1)式4分,(2)式8分,(3)、(4)各3分. 13.参考解答: 解法一 在 图 中 纸 面 内 取 Oxy 坐 标 ( 如 图 ) , 原 点 在 狭 缝 l 处 , x 轴 过 缝 1 和 缝

3.

粒子从缝1进人磁场,在洛仑兹力作用下作圆周运动,圆轨道

在原点与 x 轴相切,故其圆心必在 y 轴上.若以 r 表示此圆的半径,则圆方程为 x2+(y-r)2=r2 (1) 根据题的要求和对称性可知,粒子在磁场中作圆周运动时应与 d 的柱面相碰于缝3、4 间的圆弧中点处,碰撞处的坐标为 x=2R-Rsin45° (2) y=R-Rcos45° (3) 由(l)、(2)、(3)式得 r=3R (4)

由洛仑兹力和牛顿定律有

(5)

由(4)、(5)式得 评分标准:本题 18 分.

(6)

(1)、(2)、(3)式各4分,(4)、(5)、(6)式各2分. 解法二

如图所示,A 为 a、b 两圆圆心的连线与缝 l 的交点,F 为 c、d 两圆圆心的连线与缝3的交点.从1缝中射人的粒子在磁场作用下与圆柱 d 的表面发生 弹性碰撞后,反弹进人缝2,这个过程一定对连结 b、d 两圆圆心的直线 OP 对称,故直线 OP 与 d 圆的交点 C 必是碰度点.由于粒子在磁场中做圆运动过 A 点,因此这个轨道的圆心 必在过 A 点并垂直于 AF 的直线 AE 上; 同时这个轨道经过 C 点, 所以轨道的圆心也一定在 AC 的垂直平分线 DE 上.这样 AE 与 DE 的交点 E 就是轨道的圆心,AE 就是轨道的半径 r. 过 C 点作 AF 的垂线与 AF 交于 H 点,则 △AHC△△EDA

有 由图可知

(1)

(2) (3) (4) (5) 由以上各式得 r=3R (6)

由洛仑兹力和牛顿定律有

(7)

得到

(8)

评分标准:本题18分. (1)式8分,(2)、(3)(4)、(5)式各1分,(6)、(7)、(8)式各1分. 14.参考解答: 杆 PQ 在磁场中运动时,受到的作用力有:外加恒力 F,方向向右;磁场的安培力,其 大小 FB=BIl,方向向左,式中 I 是通过杆的感应电流,其大小与杆的速度有关;摩擦力,大 小为 F?,方向向左.根据动能定理,在所考察过程中作用于杆的合力做的功等于杆所增加的 动能,即有 (1) 式中 v 为经过时间 t 杆速度的大小,WF 为恒力 F 对杆做的功,WF 安为安培力对杆做的 功,WF? 为摩擦力对杆做的功.恒力 F 对杆做的功 WF=Fx (2) 因安培力的大小是变化的, 安培力对杆做的功用初等数学无法计算, 但杆克服安培力做 的功等于电阻所消耗的能量,若以 ER 表示电阻所消耗的能量,则有 -WF 安=ER (3) 摩擦力 F? 是恒力,它对杆做的功 WF?=-F?x (4) 但 F? 未知.因 U 型导轨在摩擦力作用下做匀加速运动,若其加速度为 a,则有 F?=m0a (5) 而 a=2x0/t2 (6)

由(4)、(5)、(6)三式得

(7)

经过时间 t 杆的速度设为 v,则杆和导轨构成的回路中的感应电动势 ε=Blv (8)

根据题意,此时回路中的感应电流 (9) 由(8)、(9)式得 (10) 由(l)、(2)、(3)、(7)、(10)各式得

(11) 评分标准:本题20分. (1)式3分,(2)式 l 分,(3)式4分,(7)式4分,(10)式5分,(11)式3分. 15.参考解答: 解法一 用 n1和 n2分别表示 L1和 L2中气体的摩尔数,P1、P2和 V1、V2分别表示 L1和 L2中气体 处在平衡态时的压强和体积,T 表示气体的温度(因为 M1是导热的,两部分气体的温度相 等),由理想气体状态方程有 p1V1=n1RT (1) P2V2=n2RT (2) 式中 R 为普适气体常量.若以两个活塞和轻杆构成的系统为研究对象,处在平衡状态时 有 p1S1-p2S1+p2S2-p0S2=0 (3) 已知 S2=2S1 (4) 由(3)、(4)式得 p1+p2=2p0 (5) 由(l)、(2)、(5)三式得

(6) 若(6)式中的 V1、V2是加热后 L1和 L2中气体的体积,则 p1就是加热后 L1中气体的压强. 加热前 L1中气体的压强则为

(7) 设加热后,L1中气体体积的增加量为△V1,L2中气体体积的增加量为△V2,因连结两活 塞的杆是刚性的,活塞 M2的横截面积是 M1的2倍,故有 △V1=△V2=△V (8) 加热后,L1和 L2中气体的体积都是增大的,即△V > 0 .[若△V< 0,即加热后,活塞是 向左移动的,则大气将对封闭在气缸中的气体做功,电热丝又对气体加热,根据热力学第一 定律,气体的内能增加,温度将上升,而体积是减小的,故 L1和 L2中气体的压强 p1和 p2都

将增大,这违反力学平衡条件(5)式] 于是有 V1=V10+△V (9) V2=V20+△V (10) 由(6)、(7)、(9)、(10)四式得

(11) 由(11)式可知,若加热前 V10=V20,则 p1=p10,即加热后 p1不变,由(5)式知 p2亦不变; 若加热前 V10<V20,则 p1< p10,即加热后 P1必减小,由(5)式知 P2必增大;若加热前 V10> V20, 则 p1>p10,即加热后 p1必增大,由(5)式知 p2必减小. 评分标准:本题 20 分. 得到(5)式得3分,得到(8)式得3分,得到(11)式得8分,最后结论得6分. 解法二 设加热前 L1和 L2中气体的压强和体积分别为 p10、p20和 V10、V20,以 pl、p2和 V1、V2 分别表示加热后 L1和 L2中气体的压强和体积,由于 M1是导热的,加热前 L1和 L2中气体的 温度是相等的,设为 T0,加热后 L1和 L2中气体的温度也相等,设为 T.因加热前、后两个活 塞和轻杆构成的系统都处在力学平衡状态,注意到 S2=2S1,力学平衡条件分别为 p10+p20=2p0 (1) p1+p2=2p0(2) 由(l)、(2)两式得 p1-p10=-(p2-p20) (3) 根据理想气体状态方程,对 L1中的气体有

(4) 对 L:中的气体有

(5) 由(4)、(5)两式得

(6) (6)式可改写成

(7) 因连结两活塞的杆是刚性的,活塞 M2的横截面积是 M1的2倍,故有 V1-V10=V2-V20 (8) 把(3)、(8)式代入(7)式得

(9) 若 V10=V20,则由(9)式得 p1=p10,即若加热前,L1中气体的体积等于 L2中气体的体积, 则加热后 L1中气体的压强不变,由(2)式可知加热后 L2中气体的压强亦不变. 若 V10<V20,则由(9)式得 p1<p10,即若加热前,L1中气体的体积小于 L2中气体的体积, 则加热后 L1中气体的压强必减小,由(2)式可知加热后 L2中气体的压强必增大. 若 V10>V20,则由(9)式得 p1>p10,即若加热前, L1中气体的体积大于 L2中气体的体 积,则加热后 L1中气体的压强必增大,由(2)式可知加热后 L2中气体的压强必减小. 评分标准:本题 20 分. 得到(l)式和(2)式或得到(3)得3分,得到(8)式得3分,得到(9)式得8分,最后结论得6 分. 16.参考解答:

(i)图1为卫星和碎片运行轨道的示意图.以 v1表示碰撞前卫星作 圆周运动的速度,以 M 表示地球 E 的质量,根据万有引力定律和牛顿定律有

(1) 式中 G 是引力常量.由(l)式得

(2) 以 v2表示刚要碰撞时太空碎片的速度,因为与卫星发生碰撞时,碎片到地心的距离等 于卫星到地心的距离,根据题意,太空碎片作椭圆运动的总能量 (3) 式中 a 为椭圆轨道的半长轴.由(3)式得

(4) 卫星和碎片碰撞过程中动量守恒,有 m1v1-m2v2=(m1+m2)v (5) 这里 v 是碰后二者结合成的物体(简称结合物)的速度.由(5)式得

(6) 由(2)、(4)、(6)三式并代人有关数据得

(7) 结合物能否撞上地球,要看其轨道(椭圆)的近地点到地心的距离 rmin,如果 rmin<R,则 结合物就撞上地球.为此我们先来求结合物轨道的半长轴 a′.结合物的总能量 (8) 代人有关数据得 a′=5259km (9) 结合物轨道的近地点到地心的距离 rmin=2a′-(R+h)=3347km<R (10) 据此可以判断,结合物最后要撞上地球.

(ii)解法一 在极坐标中讨论.取极坐标,坐标原点在地心处,极轴由北极指向南极,如图2所示.碰撞 点在北极上空,是椭圆轨道的远地点,结合物轨道的椭圆方程 (11) 式中 e 是偏心率,p 是椭圆的半正焦弦,远地点到地心的距离 rmax=R+h (12) 由解析几何有 (13) 在轨道的近地点,r=rmin,θ=0,由(11)式得 p=rmin(1+e)(=4563km) (14) 或有 p=rmax(1-e) (15) 在结合物撞击地球处;r=R,由(11)式有 (16) 或 (17)

代人有关数据可得 cosθ=-0.7807 (18) θ=141.32° (19) 这是在北纬51.32°.

评分标准:本题20分. 第(i)小题12分.(1)或(2)、(3)或(4)、(5)或(6)式各2 分,(8)式3分,(10)式3分. 第(ii)小题8分.(11)、(12)、(13)、(14)或(15)、(16)或(17)式各 l 分,(19)式2分(答案在141° 到142°之间的都给2分),正确指出纬度给 l 分. 解法二

在直角坐标中讨论.取直角坐标系,以椭圆的对称中心为坐标 原点 O, x 轴通过近地点和远地点并由远地点指向近地点, 如图3所示.结合物轨道的椭圆方程 是

(20) 式中 a' 、b'分别为结合物椭圆轨道的半长轴和半短轴.远地点到地心的距离 rmax=R+h (21) 根据解析几何,若 c 为地心与坐标原点间的距离, c=rmax-a'(=1912km) (22) 而 (23)

注意到 a'由(9)式给出,得 b'=4899km (24) 结合物撞击地面处是结合物的椭圆轨道与地面的交点,设该处的坐标为 xp 和 yp,则有 xp=Rcosθ+c (25) yp=Rsinθ (26) 式中 θ 为从地心指向撞击点的矢经与 x 方向的夹角.因撞击点在结合物的轨道上, 将(24)、 (25)式代入轨道方程(20)式,经整理得 R2(b′2-a′2)cos2θ+2b′2cRcosθ-a′2b′2+a′2R2=0 (27) 引人以下符号并代人有关数据得 α=R2(b′2-a′2)=(-1484×1011km) β=2b′2cR(=5846×1011km). γ=b′2c2-a′2b′2+a′2R2(=5465×1011km) 代入(27)式得 αcos2θ+βcosθ+γ=0 (28)

解得

(29)

舍掉不合理的答案,得 cosθ=-0.7807 (30) θ=141.32°(31) 这是在北纬51.32°.


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