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4.山东省各市2012年高考数学最新联考试题分类大汇编----数列

时间:2012-04-15


一、选择题: 选择题: 6. ( 山 东 省 威 海 市 2012 年 3 月 高 三 第 一 次 模 拟 理 科 ) 数 列 {an } 中 , 已 知 对 任 意

n ∈ N *,a 1 + a2 + a3 + … + an = 3n ? 1, 则 a1 + a2 + a3 + … + an 等于( B
2 2 2 2

)

A. 3n ? 1

(

)

2

B.

1 n 9 ?1 2

(

)

C. 9 ? 1
n

D.

1 n 3 ?1 4

(

)

6. (山东省威海市 2012 年 3 月高三第一次模拟文科)已知函数 f ( x ) = x 2 + 2bx 过(1, 2) 月高三第一次模拟文科 点,若数列 ?

? 1 ? ? 的前 n 项和为 S n ,则 S 2012 的值为( D ? f (n ) ?
B.



A.

2012 2011

2010 2011

C.

2013 2012

D.

2012 2013

7. ( 山 东 省 威 海 市 2012 年 3 月 高 三 第 一 次 模 拟 文 科 ) 数 列 {an } 中 , 已 知 对 任 意

n ∈ N *,a 1 + a2 + a3 + … + an = 3n ? 1, 则 a1 + a2 + a3 + … + an 等于( B )
2 2 2 2

A. 3n ? 1

(

)

2

B.

1 n 9 ?1 2

(

)

C. 9 ? 1
n

D.

1 n 3 ?1 4

(

)

8. ( 山 东 省 淄 博 市 2012 年 3 月 高 三 第 一 次 模 拟 文 科 ) 已 知 数 列 {an} 满 足 a1=1, 且

an + 1 n + 1 = ,则 a2012=( an n
A.2010

C )

B.2011

C.2012

D.2013

4. (山东省济南市 2012 年 2 月高三定时练习文科)等差数列 {a n } 中, a1 + a3 + a 5 = π ,则 月高三定时练习文科) 定时练习文科

cos a 3 = (
[

D

)

A.

3 2

B.

2 2

C. ?

1 2

D.

1 2

6. (山东省济南一中 2012 届高三上学期期末文科) 届高三上学期期末文科 等比数列 {an } 的前 n 项和为 Sn , 1 = 1 , 文科) a 若 4a1 , 2a2 , a3 成等差数列,则 S 4 = ( D )

A. 7

B. 8

C. 16

D.15

12. ( 山 东 省 泰 安 市 2012 届 高 三 上 学 期 期 末 文 科 ) 已 知 数 列 {an } 满 足 :

第 1 页 共 8 页

1 2 a1 = , an +1 = an + an ,用[x]表示不超过 x 的最大整数,则 2

? 1 1 1 ? + +…+ ? ? 的值等于( a2011 + 1? ? a1 + 1 a2 + 1
A.0 填空题: 二、填空题: B.1 C.2

B) D.3

16. (山东省淄博市 2012 年 3 月高三第一次模拟文科) 月高三第一次模拟文科) 对于各数互不相等的整数数组(i1, i2, i3…,in)(n 是不小于 3 的正整数),若对任意的 p,q∈{1,2,3…,n},当 p<q 时有 ip>iq, 则称 ip,iq 是该数组的一个“逆序”.一个数组中所有“逆序”的个数称为该数组的“逆序 数” ,则数组(2,4,3,1)的逆序数为 4 .

14. ( 山东省实 验中学 2012 年 3 月高三第四 次诊断文科 ) 已知数列 {an } 的前 n 项和 Sn = n ? 2n + 1 ,则 a4 + a5 + a6 = 360
14. (山东省泰安市 2012 届高三上学期期末文科)设 S n 为等差数列 {an }的前 n 项和,若 届高三上学期期末文科)

a1 = 1 ,公差 d=2, S k + 2 ? S k = 24 ,则 k= ▲ 。5

16. ( 山 东 省 青 岛 市 2012 届 高 三 上 学 期 期 末 文 科 ) 对 于 正 项 数 列 {a n } , 定 义

Hn = Hn =

n 为 {a n } 的 “ 光 阴 ” 值 , 现 知 某 数 列 的 “ 光 阴 ” 值 为 a1 + 2a 2 + 3a 3 + … + na n 2 ,则数列 {a n }的通项公式为 n+2
.

an =

2n + 1 2n

三、解答题: 解答题 20. (山东省济南市 2012 年 2 月高三定时练习文科)(本小题满分 12 分) 月高三定时练习文科) 定时练习文科 已知数列 {an } 为等差数列, a1 = 1 ,a 5 = 5 ; 且 设数列 {bn } 的前 n 项和为 Sn , bn = 2 ? S n . 且 (Ⅰ)求数列 {bn } 的通项公式; (Ⅱ)若 cn = an ? bn ( n = 1, 2,3, …), Tn 为数列 {cn } 的前 n 项和,求 Tn .
20.解:(Ⅰ)由 bn = 2 ? S n , 令n = 1, 则b1 = 2 ? S1 , 又S1 = b1 , 所以b1 = 1 …………1 分

当n ≥ 2时,由bn = 2 ? S n , 可得bn ? bn ?1 = ?( S n ? S n ?1 ) = ?bn ………………3 分 b 1 即 n = , …………………………………………4 分 bn ?1 2
1 1 所以{bn } 是以b1 = 1为首项, 为公比的等比数列,于是bn = n ?1 . …………………6 分 2 2
第 2 页 共 8 页

(Ⅱ)数列 {an } 为等差数列,公差 d = 1 ,可得 a n = n 从而 c n = a n ? bn = n ? ∴ Tn = 1 +

……………………8 分

1 2 n ?1
, ………………………9 分

2 3 n + 2 + ……… + n?1 2 2 2 1 1 2 n ?1 n Tn = + 2 + …… + n ?1 + n 2 2 2 2 2 1 1 1 1 n Tn = 1 + + 2 + …… + n ?1 ? n = 2 2 2 2 2

1(1 ?



=2 ?

2 n n+2 ? n = 2? n . n 2 2 2 n+2 从而. Tn = 4 ? n ?1 . 2

1 ) 2n ? n 1 2n 1? 2

………………………………11 分

………………………………12 分

17. (山东省济南市 2012 年 2 月高三定时练习理科)(本小题满分 12 分) 月高三定时练习理 定时练习理科 已知公差大于零的等差数列 {an }

a2 + a3 + a4 = 9, 且 a2 + 1, a3 + 3, a4 + 8 为等比数列


{bn } 的前三项.
(1)求 {an } , {bn } 的通项公式; (2)设数列 {an } 的前 n 项和为 Sn ,求 17. 解: (1)由a2 + a3 + a4 = 9

1 1 1 1 + + + ...... + . S1 S 2 S3 Sn
………………2 分

∴ a3 = 3

设等差数列的首项为a1,公差为d , 且d > o
由 a2 + 1, a3 + 3, a4 + 8 成等比数列, ∴ 36 = (4 ? d )(11 + d ) 即: d + 7 d ? 8 = 0
2

……………………………………3 分

解得: d = 1, d = ?8(舍) 则∴ b1 = 3, q = 2 (2) 由S n =

∴ an = n
∴ bn = 3 ? 2 n ?1

……………………………5 分

………………………7 分

n(n + 1) 2

………………9 分



1 1 1 1 2 2 2 2 2n + + + ...... + = + + + ...... + = S1 S 2 S3 S n 1× 2 2 × 3 3 × 4 n × (n + 1) n + 1

……12 分

20. (山东省淄博市 2012 年 3 月高三第一次模拟文科)(本题满分 12 分) 月高三第一次模拟文科)
n *

已知数列{an}中,a1=5 且 an=2an-1+2 -1(n≥2 且 n∈N ).
第 3 页 共 8 页

17.(山东省实验中学 2012 年 3 月高三第四次诊断文科)(本小题共 12 分) ( 月高三第四次诊断文科) 已知等差数列 {an } 的前 n 项和为 Sn ,且 a3 = 5, S15 = 225. (Ⅰ)求数列 {an } 的通项 an ; 2)设 bn = 3an + 2n ,求数列 {bn } 的前 n 项和 Tn . (
? a1 + 2d = 5 ? 17.解: (1)设等差数列 {an } 首项为 a1 ,公差为 d ,由题得 ? ,……3 分 15 × 14 ?15a1 + 2 d = 225 ? ?a = 1 解得 ? 1 ?d = 2

∴ an = 2n ? 1 ;………………………………………………………6 分

1 (2) bn = 3an + 2n = 32 n ?1 + 2n = ? 9n + 2n ,…………………………………………8 分 3 1 ∴Tn = b1 + b2 + L + bn = (9 + 92 + 93 + L + 9n ) + 2(1 + 2 + 3 + L + n ) 3

1 9(1 ? 9n ) = ? + n( n + 1) …………………………………………………………10 分 3 1? 9 3 3 = ? 9n + n( n + 1) ? ……………………………………………………………12 分 8 8
第 4 页 共 8 页

18. (山东省烟台市 2012 年高三诊断性检测理)(本小题满分 12 分) 年高三诊断性检测理) 已知数列 {a n } 是公差为 2 的等差数列,且 a1 + 1 , a 3 + 1 , a 7 + 1 成等比数列. (1)求 {a n } 的通项公式; (2)令 bn =

1 an ? 1
2

(n ∈ N ? ) ,记数列 {bn }的前 n 项和为 Tn ,求证: Tn <

1 . 4

18.解: (1)数列 {a n } 是公差为 2 的等差数列,

a1 + 1 , a 3 + 1 , a 7 + 1 成等比数列, a 3 + 1 = a1 + 5 , a 7 + 1 = a1 + 13
所以由 (a3 + 1) = ( a1 + 1) ? ( a 7 + 1)
2

……………… 3 分

得 (a1 + 5) = ( a1 + 1) ? ( a1 + 13)
2

解之得 a1 = 3 ,所以 a n = 3 + 2( n ? 1) ,即 a n = 2n + 1 ……………6 分 (2)由(1)得 a n = 2n + 1

bn =
Tn =

1

an ? 1
2

=

1 1 1 1 1 1 ) ………9 分 = ? = ( ? 2 (2n + 1) ? 1 4 n(n + 1) 4 n n + 1

1 1 1 1 1 1 (1 ? + ? + ? ? ? + ? ) 4 2 2 3 n n +1 1 1 1 1 1 = (1 ? )= ? < 4 n +1 4 4(n + 1) 4

………………12 分

18. (山东省济南一中 2012 届高三上学期期末文科) 届高三上学期期末文科 (本小题满分 12 分) 文科) 设 数 列 {bn } 的 前 n 项 和 为 Sn , 且 bn = 2 ? 2 S n ; 数 列 {an } 为 等 差 数 列 , 且

a5 = 14 , a7 = 20 .
(1)求数列 {bn } 的通项公式; (2)若 cn = an ? bn ( n =1,2, 3…), Tn 为数列 {cn } 的前 n 项和.求 Tn . 18. 解: (1)由 bn = 2 ? 2 S n ,令 n = 1 ,则 b1 = 2 ? 2 S1 ,又 S1 = b1 , 所以 b1 = 分 当 n ≥ 2 时,由 bn = 2 ? 2 S n ,可得 bn ? bn ?1 = ?2( S n ? S n ?1 ) = ?2bn ,即 4分 所以 {bn } 是以 b1 =

2 3

……2

bn 1 = bn ?1 3

………

2 1 1 为首项, 为公比的等比数列,于是 bn = 2 ? n …………6 分 3 3 3 1 (2)数列 {an } 为等差数列,公差 d = ( a7 ? a5 ) = 3 ,可得 an = 3n ? 1 …………7 分 2
第 5 页 共 8 页

从而 cn = an ? bn = 2(3n ? 1) ?

1 1 1 1? ? 1 ∴Tn = 2 ? 2 ? + 5 ? 2 + 8 ? 3 + L + (3n ? 1) ? n ? , n 3 3 3 3 ? ? 3

1 1 1 1 ? ? 1 Tn = 2 ? 2 ? 2 + 5 ? 3 + L + (3n ? 4) ? n + (3n ? 1) ? n +1 ? 3 3 3 3 ? ? 3 2 1 1 1 1 ? ? 1 ∴ Tn = 2 ? 2 ? + 3 ? 2 + 3 ? 3 + L + 3 ? n ? (3n ? 1) n +1 ? 3 3 3 3 3 ? ? 3 Tn = 7 1 3n ? 1 ? ? n . n?2 2 2?3 3
……………………12 分

………………11 分

18.(山东省烟台市 2012 届高三上学期期末文科)(本小题满分 12 分) ( 届高三上学期期末文科) 已知 {an } 是公差为正数的等差数列,首项 a1 = 3 ,前 n 项和为 S n ,数列 {bn } 是等比 数列,首项 b1 = 1, 且a 2 b2 = 12, S 3 + b2 = 20. (1)求 {an } 和 {bn } 的通项公式; (2)令 cn = n ? bn n ∈ N + , 求 {cn } 的前 n 项和 Tn

(

)

.

19. 山东省青岛市 届高三上学期期末文科) 19.(山东省青岛市 2012 届高三上学期期末文科)(本小题满分 12 分) 青岛 设同时满足条件:①

bn + bn + 2 ≥ bn+1 ;② bn ≤ M ( n ∈ N + , M 是与 n 无关的常数)的无穷 2
a (an ? 1) ( a 为常 a ?1

数列 {bn } 叫“嘉文”数列.已知数列 {an } 的前 n 项和 Sn 满足: S n = 数,且 a ≠ 0 , a ≠ 1 ) . (Ⅰ)求 {an } 的通项公式;

第 6 页 共 8 页

(Ⅱ)设 bn = 数列.

?1? 2Sn + 1 ,若数列 {bn } 为等比数列,求 a 的值,并证明此时 ? ? 为“嘉文” an ? bn ?
a (a1 ? 1) 所以 a1 = a a ?1

19. ( (Ⅰ)因为 S1 = 19. 本小题满分 12 分)解: 当 n ≥ 2 时, an = S n ? S n ?1 =

a a an ? an ?1 a ?1 a ?1

an = a ,即 {an } 以 a 为首项, a 为公比的等比数列. an ?1
∴ an = a ? a
n ?1

= an ;

……………………………………………4 分

(或

1 1 1 1 + + b bn + 2 b bn + 2 1 5 1 2 1 做差更简单:因为 n ? = n + 2 ? n +1 = n+ 2 > 0 ,所以 n ≥ 也成 2 bn+1 3 2 bn +1 3 3
立) ②

1 1 1 1 = n ≤ ,故存在 M ≥ ; bn 3 3 3

所以符合①②,故 ?

?1? ? 为“嘉文”数列………………………………………12 分 ? bn ?

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