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立体几何证明题(文科)

时间:2019-04-27

立体几何练习
1. 如图:梯形 ABCD 和正 △ PAB 所在平面互相垂直,其中 AB // DC ,

AD ? CD ?

1 AB ,且 O 为 AB 中点. 2

P

( I ) 求证: BC // 平面 POD ; ( II ) 求证: AC ? PD .
A
O

B
C

D

2.如图,菱形 ABCD 的边长为 6 , ?BAD ? 60? , AC ? BD ? O .将菱形 ABCD 沿对角 线 AC 折起,得到三棱锥 B ? ACD ,点 M 是棱 BC 的中点, DM ? 3 2 . (Ⅰ)求证: OM // 平面 ABD ; (Ⅱ)求证:平面 ABC ? 平面 MDO; (Ⅲ)求三棱锥 M ? ABD的体积 .

B C D A

B M O D C

A

O

1

3. 如图,在四棱锥 P ? ABCD 中,底面 ABCD 为直角梯形,AD//BC,∠ADC=90° , BC=

1 AD,PA=PD,Q 为 AD 的中点. 2

P

(Ⅰ)求证:AD⊥平面 PBQ; (Ⅱ)若点 M 在棱 PC 上,设 PM=tMC,试确定 t 的值,使得 PA//平面 BMQ.

D Q A

M

C B

4. 已知四棱锥 P ? ABCD 的底面是菱形. PB ? PD , E 为 PA 的中点. (Ⅰ)求证: PC ∥平面 BDE ;
E

P

(Ⅱ)求证:平面 PAC ? 平面 BDE .
D C

A

B

2

5. 已知直三棱柱 ABC ? A1B1C1 的所有棱长都相等,且 D, E , F 分别为 BC, BB1 , AA 1的 中点. (I) 求证:平面 B1FC // 平面 EAD ; (II)求证: BC1 ? 平面 EAD .
F E
A1 B1 C1

A
D
B

C

6. 如图所示,正方形 ABCD 与直角梯形 ADEF 所在平面互相垂直,

?ADE ? 90? , AF // DE , DE ? DA ? 2 AF ? 2 .
(Ⅰ)求证: AC ? 平面 BDE ; (Ⅱ)求证: AC // 平面 BEF ; (Ⅲ)求四面体 BDEF 的体积.

E

F A

D

C B

7. 如图,在四棱锥 P ? ABCD 中,平面 PAD⊥平面 ABCD, AB=AD,∠BAD=60°,E、F 分别是 AP、AD 的中点 求证:(1)直线 EF//平面 PCD; (2)平面 BEF⊥平面 PAD.

3

8.如图,四边形 ABCD 为正方形,QA⊥平面 ABCD,PD∥QA,QA=AB= (I)证明:PQ⊥平面 DCQ; (II)求棱锥 Q—ABCD 的的体积与棱锥 P—DCQ 的体积的比值.

1 PD. 2

9. 如图,在△ABC 中,∠ABC=45°,∠BAC=90°,AD 是 BC 上的高,沿 AD 把△ABD 折 起,使∠BDC=90°。 (1)证明:平面ADB⊥平面BDC; (2 )设 BD=1,求三棱锥 D—ABC的表面积。

4

参考答案: 1. 证明: (I) 因为 O 为 AB 中点,所以 BO ? 所以有 CD ? BO, CD / / BO, 所以 ODCB 为平行四边形, 所以 BC / /OD, 又 DO ? 平面 POD, BC ? 平面 POD, 所以 BC / / 平面 POD . (II)连接 OC . 因为 CD ? BO ? AO, CD / / AO, 所以 ADCO 为 平行四边形, 又 AD ? CD ,所以 ADCO 为菱形, 所以 AC ? DO , 因为正三角形 PAB , O 为 AB 中点, 所以 PO ? AB , 又因为平面 ABCD ? 平面 PAB ,平面 ABCD ? 平面 PAB ? AB , 所以 PO ? 平面 ABCD , 而 AC ? 平面 ABCD ,所以 PO ? AC , 又 PO ? DO ? O ,所以 AC ? 平面 POD . 又 PD ? 平面 POD ,所以 AC ? PD . 2. (Ⅰ)证明:因为点 O 是菱形 ABCD 的对角线的交点, 所以 O 是 AC 的中点.又点 M 是棱 BC 的中点, 所以 OM 是 ?ABC 的中位线, OM // AB . 因为 OM ? 平面 ABD , AB ? 平面 ABD ,
A
O

1 AB, 2

又 AB / /CD, CD ?

1 AB , 2

P

B
C

D

5

所以 OM // 平面 ABD . (Ⅱ)证明:由题意, OM ? OD ? 3 , 因为 DM ? 3 2 ,所以 ?DOM ? 90? , OD ? OM . 又因为菱形 ABCD ,所以 OD ? AC . 因为 OM ? AC ? O , 所以 OD ? 平面 ABC , 因为 OD ? 平面 MDO , 所以平面 ABC ? 平面 MDO . (Ⅲ)解:三棱锥 M ? ABD 的体积等于三棱锥 D ? ABM 的体积. 由(Ⅱ)知, OD ? 平面 ABC , 所以 OD ? 3 为三棱锥 D ? ABM 的高.

B M A O D C

?ABM 的面积为

1 1 3 9 3 , BA ? BM ? sin120? ? ? 6 ? 3 ? ? 2 2 2 2 9 3 . 2

所求体积等于 ? S?ABM ? OD ? 3. 证明:(Ⅰ)AD // BC,BC=

1 3

1 AD,Q 为 AD 的中点, 2
∴CD // BQ .

∴ 四边形 BCDQ 为平行四边形, ∵ ∠ADC=90°

∴∠AQB=90° 即 QB⊥AD.

P

∵ PA=PD,Q 为 AD 的中点, ∴PQ⊥AD. ∵ PQ∩BQ=Q, ∴AD⊥平面 PBQ. (Ⅱ)当 t ? 1 时,PA//平面 BMQ. 连接 AC,交 BQ 于 N,连接 MN.

M D Q A N B C

6

∵BC //

1 DQ, 2

∴四边形 BCQA 为平行四边形,且 N 为 AC 中点, ∵点 M 是线段 PC 的中点, ∴ MN // PA. ∵ MN ? 平面 BMQ,PA ? 平面 BMQ, ∴ PA // 平面 BMQ. 4. (Ⅰ)证明:因为 E , O 分别为 PA , AC 的中点, 所以 EO ∥ PC . 因为 EO ? 平面 BDE

PC ? 平面 BDE
所以 PC ∥平面 BDE . (Ⅱ)证明:连结 OP 因为 PB ? PD , 所以 OP ? BD . 在菱形 ABCD 中, BD ? AC 因为 OP ? AC ? O 所以 BD ? 平面 PAC 因为 BD ? 平面 BDE
A E C O B P

D

所以平面 PAC ? 平面 BDE . 5. (Ⅰ)由已知可得 AF / / B1E , AF ? B1E ,

? 四边形 AFB1E 是平行四边形,
? AE // FB1 ,

? AE ? 平面 B1FC , FB1 ? 平面 B1FC ,
7

? AE / / 平面 B1FC ;
又 D, E 分别是 BC, BB1 的中点,

? DE // B1C ,

? ED ? 平面 B1FC , B1C ? 平面 B1FC , ? ED / / 平面 B1FC ;
? AE ? DE ? E, AE ? 平面 EAD , ED ? 平面 EAD ,

? 平面 B1FC ∥平面 EAD .
(Ⅱ) ? 三棱柱 ABC ? A1B1C1 是直三棱柱,

? C1C ? 面 ABC ,又? AD ? 面 ABC , ? C1C ? AD .
又? 直三棱柱 ABC ? A1B1C1 的所有棱长都相等, D 是 BC 边中点,

? ?ABC 是正三角形,? BC ? AD ,
而 C1C ? BC ? C , CC1 ? 面 BCC1B1 , BC ? 面 BCC1B1 ,

? AD ? 面 BCC1B1 ,
故 AD ? BC1 .

? 四边形 BCC1B1 是菱形,? BC1 ? B1C ,
而 DE // B1C ,故 DE ? BC1 , 由 AD ? DE ? D ,AD ? 面 EAD , ED ? 面 EAD , 得

BC1 ? 面 EAD .

6. (Ⅰ)证明:因为平面 ABCD ? 平面 ADEF , ?ADE ? 90? , 所以 DE ? 平面 ABCD , 所以 DE ? AC . 因为 ABCD 是正方形, 所以 AC ? BD ,所以 AC ? 平面 BDE .
8

(Ⅱ)证明:设 AC ? BD ? O ,取 BE 中点 G ,连结 FG, OG ,
// 1 DE . 所以, OG ?

2

// OG , 因为 AF // DE , DE ? 2 AF ,所以 AF ?

从而四边形 AFGO 是平行四边形, FG // AO . 因为 FG ? 平面 BEF , AO ? 平面 BEF , 所以 AO // 平面 BEF ,即 AC // 平面 BEF . (Ⅲ)解:因为平面 ABCD ? 平面 ADEF , AB ? AD , 所以 AB ? 平面 ADEF . 因为 AF // DE , ?ADE ? 90? , DE ? DA ? 2 AF ? 2 , 所以 ?DEF 的面积为 ? ED ? AD ? 2 , 所以四面体 BDEF 的体积 ?

1 2

1 4 S ?DEF ? AB ? . 3 3

7. 解:(1)因为 E、F 分别是 AP、AD 的中点,

? EF ? PD, 又? PD ? 面PCD, EF ? 面PCD

? 直线 EF//平面 PCD
(2)连接 BD? AB=AD,?BAD=60? , ?ABD 为正三角形 F 是 AD 的中点,? BF ? AD, 又平面 PAD⊥平面 ABCD, 面PAD ? 面ABCD=AD, ? BF ? 面PAD, BF ? 面BEF 所以,平面 BEF⊥平面 PAD. 8. 解:(I)由条件知 PDAQ 为直角梯形 因为 QA⊥平面 ABCD,所以平面 PDAQ⊥平面 ABCD,交线为 AD. 又四边形 ABCD 为正方形,DC⊥AD,所以 DC⊥平面 PDAQ,可得 PQ⊥DC. 在直角梯形 PDAQ 中可得 DQ=PQ=

2 PD,则 PQ⊥QD 2
9

所以 PQ⊥平面 DCQ. (II)设 AB=a. 由题设知 AQ 为棱锥 Q—ABCD 的高,所以棱锥 Q—ABCD 的体积 V1 ?

1 3 a . 3

由(I)知 PQ 为棱锥 P—DCQ 的高,而 PQ= 2a ,△DCQ 的面积为 所以棱锥 P—DCQ 的体积为 V2 ?

2 2 a , 2

1 3 a . 3

故棱锥 Q—ABCD 的体积与棱锥 P—DCQ 的体积的比值为 1 9. (1)∵折起前AD是BC边上的高, ∴ 当Δ ABD折起后,AD⊥DC,AD⊥DB,

又 DB ? DC=D, ∴AD⊥平面BDC,又∵AD ∴平面 ABD⊥平面 BDC. 平面 BDC.

? AB=BC=CA=

(2)由(1)知,DA ? DB , DB ? DC , DC ? DA ,? DB=DA=DC=1,

2,
1 1 1 3 ? 1? 1 ? , S? ABC ? ? 2 ? 2 ? sin 60? ? 2 2 2 2

S? DAM ? S? DBC ? S? DCA ?

∴三棱锥 D—ABC的表面积是

1 3 3? 3 S ? ?3? ? . 2 2 2

10


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