nbhkdz.com冰点文库

江苏省南通、泰州、扬州、连云港、淮安五市2013届高三第三次模拟考试数学试卷

时间:2013-05-12


江苏省南通、泰州、扬州、连云港、淮安五市 2013 届高三第三次模拟考试

数学试卷
一、填空题:本大题共 14 小题,每小题 5 分,共 70 分.

1 B 2 则 1. 已知集合 A ? ? ?2,? , ? ? ?1, ? , A ? B ?



. 开始
S ?0 S ? S ? 400

2. 设复数 z 满足 (3 ? 4i)z ? 5 ? 0 (是虚数单位) ,则复数 z 的 模为 ▲ .

S≤2000

Y

N 输出S 3. 右图是一个算法流程图,则输出的 S 的值是 ▲ . 开始
(第 3 题)

4. “ M ? N ”是“ log2 M ? log 2 N ”成立的



条件.

(从“充要”“充分不必要”“必要不充分”中选择一个正确的填写) , ,

5. 根据某固定测速点测得的某时段内过往的 100 辆 机动车的行驶速度(单位:km/h)绘制的频率分布 直方图如右图所示.该路段限速标志牌提示机动 车辆正常行驶速度为 60 km/h~120 km/h,则该时 段内非正常行驶的机动车辆数为 ▲ . 0.0175 0.0150 0.0100 0.0050 0.0025

频率 组距

40 60 80 100 120 140 速度/ km/h
(第 5 题)

6. 在平面直角坐标系 xOy 中,抛物线 x2 ? 2 py( p ? 0) 上纵坐标为 1 的一点到焦点的距离为 3,则焦 点到准线的距离为 ▲ .

2 3 4 5 6 7 8 9 7. 从集合 ?1,,,,,,,, ? 中任取两个不同的数,则其中一个数恰是另一个数的 3 倍的概率为
▲ .

·1·

8. 在平面直角坐标系 xOy 中,设点 P 为圆 C : ( x ? 1)2 ? y 2 ? 4 上的任意一点,点 Q (2 a , a ? 3 ) ( a ? R ),则线段 PQ 长度的最小值为 ▲ . y 5 9. 函数 f ( x) ? A sin(? x ? ? ) (A ? 0 , ? ? 0 , 0≤? ? 2?) 在 R 上 的部分图象如图所示,则 f (2013) 的值为 ▲ .
?1

O

5

11 x

10.各项均为正数的等比数列 ?an ? 中, a2 ? a1 ? 1.当 a 3 取最小值 时,数列 ?an ? 的通项公式 an= ▲ .

(第 9 题)

?ax2 ? 2 x ? 1,≥0, x ? 11.已知函数 f ( x) ? ? 2 是偶函数,直线 y ? t 与函数 y ? f ( x) 的图象自左向右依次交 ? x ? bx ? c,x ? 0 ?
于四个不同点 A , B , C , D .若 AB ? BC ,则实数的值为 ▲ .

0) 12.过点 P(?1, 作曲线 C : y ? e x 的切线,切点为 T1 ,设 T1 在 x 轴上的投影是点 H1 ,过点 H1 再作

曲线 C 的切线,切点为 T2 ,设 T2 在 x 轴上的投影是点 H 2 ,?,依次下去,得到第 n ? 1 (n ? N) 个切 点 Tn ?1 .则点 Tn ?1 的坐标为 ▲ .

13.在平面四边形 ABCD 中,点 E,F 分别是边 AD,BC 的中点,且 AB ? 1 , EF ? 2 ,CD ? 3 .
???? ??? ? ???? ??? ? 若 AD ? BC ? 15 ,则 AC ? BD 的值为





14.已知实数 a1,a2,a3,a4 满足 a1 ? a2 ? a3 ? 0 ,a1a42 ? a2a4 ? a2 ? 0 ,且 a1 ? a2 ? a3,则 a4 的取值范 围是 ▲ .

二、解答题
·2·

15.如图,在四棱锥 P ? ABCD 中,底面 ABCD 是矩形,四条侧棱长均相等. (1)求证: AB // 平面 PCD ; (2)求证:平面 PAC ? 平面 ABCD .

P

A
O

D
C

B
(第 15 题)

16.在△ABC 中,角 A , B , C 所对的边分别为 a , b ,c.已知 (1)求角 B 的大小; (2)设 T ? sin 2 A ? sin 2 B ? sin 2 C ,求 T 的取值范围.

2 2 2 sin C ? b2 ? a2 ? c 2 . 2sin A ? sin C c ? a ? b

17.某单位设计的两种密封玻璃窗如图所示:图 1 是单层玻璃,厚度为 8 mm;图 2 是双层中空玻璃, 厚度均为 4 mm,中间留有厚度为 x 的空气隔层.根据热传导知识,对于厚度为 d 的均匀介质,两侧 的温度差为 ?T ,单位时间内,在单位面积上通过的热量 Q ? k ? ?T ,其中 k 为热传导系数. d 假定单位时间内,在单位面积上通过每一层玻璃及空气隔层的热量相等. (注:玻璃的热传导系 数为 4 ? 10?3 J ? mm/ ? C ,空气的热传导系数为 2.5 ? 10?4 J ? mm/ ?C . ) (1)设室内,室外温度均分别为 T1 , T2 ,内层玻璃外侧温度为 T1? ,外层玻璃内侧温度为 T2? , 且 T1 ? T1? ? T2? ? T2 .试分别求出单层玻璃和双层中空玻璃单位时间内,在单位面积上通过的热量(结 果用 T1 , T2 及 x 表示) ; (2)为使双层中空玻璃单位时间内,在单位面积上通过的热量只有单层玻璃的 4%,应如何设
·3·

计 x 的大小? 墙 T1 8 室内 墙 图1
(第 17 题)

墙 T2 T1 4 室外 室内 墙 图2
T1? T2?

T2 4 室外

x

2 y2 0) 离心率为 2 . 18. 如图, 在平面直角坐标系 xOy 中, 椭圆 x 2 ? 2 ? 1(a ? b ? 0) 的右焦点为 F (1, , 分 2 a b

别过 O , F 的两条弦 AB , CD 相交于点 E (异于 A , C 两点) ,且 OE ? EF . (1)求椭圆的方程; (2)求证:直线 AC , BD 的斜率之和为定值.
C

y
A E
O

F

D

x

B

(第 18 题)

·4·

19.已知数列 ?an ? 是首项为 1,公差为 d 的等差数列,数列 ?bn ? 是首项为 1,公比为 q (q ? 1) 的等比数 列. (1)若 a5 ? b5 , q ? 3 ,求数列 ?an ? bn ? 的前 n 项和; (2)若存在正整数 k (k≥2) ,使得 ak ? bk .试比较 a n 与 bn 的大小,并说明理由.

20.设 f ( x) 是定义在 (0,? ?) 的可导函数,且不恒为 0,记 gn ( x) ?

f ( x) (n ? N* ) .若对定义域内的每 n x

一个 x ,总有 gn ( x) ? 0 ,则称 f ( x) 为“ n 阶负函数” ;若对定义域内的每一个 x ,总有 ? g n ( x ) ?? ≥0 , 则称 f ( x) 为“ n 阶不减函数” ? g n ( x ) ?? 为函数 g n ( x) 的导函数) ( . (1)若 f ( x) ? a3 ? 1 ? x( x ? 0) 既是“1 阶负函数” ,又是“1 阶不减函数” ,求实数 a 的取值范 x x 围; (2)对任给的“2 阶不减函数” f ( x) ,如果存在常数 c ,使得 f ( x) ? c 恒成立,试判断 f ( x) 是 否为“2 阶负函数”?并说明理由.

数学附加题
21. 【选做题】 A.选修 4—1:几何证明选讲 如图,⊙ O 的半径为 3,两条弦 AB , CD 交于点 P ,且 AP ? 1 , CP ? 3 , OP ? 6 . 求证:△ APC ≌△ DPB .

A F D P
C O

B

E
·5· (第 21—A 题)

B.选修 4—2:矩阵与变换
? x 5? 已知矩阵 M ? ? ? 不存在逆矩阵,求实数 x 的值及矩阵 M 的特征值. ?6 6?

C.选修 4—4:坐标系与参数方程
1) 0) 在平面直角坐标系 xOy 中,已知 A(0, , B(0,? 1) , C (t, , D 3, ,其中 t ? 0 .设直线 AC 0 t

? ?

与 BD 的交点为 P ,求动点 P 的轨迹的参数方程(以为参数)及普通方程.

D.选修 4—5:不等式选讲 已知 a ? 0 , b ? 0 , n ? N* .求证:

an?1 ? bn?1 ≥ ab . a n ? bn

22. 【必做题】 设 n ? N* 且 n≥2 ,证明:

? a1 ? a2 ? ??? ? an ?


2

? a12 ? a22 ? ??? ? an2 ?2 ?a1 ? a2 ? a3 ? ??? ? an ? ?a2 ? a3 ? a4 ? ??? ? an ? ???? ? an?1an ? ?

23. 【必做题】 下图是某游戏中使用的材质均匀的圆形转盘, 其中Ⅰ, Ⅲ, Ⅱ, Ⅳ部分的面积各占转盘面积的 1 , 12
1 , 1 , 1 .游戏规则如下: 4 2 6

① 当指针指到Ⅰ,Ⅱ, Ⅲ,Ⅳ部分时,分别获得积分 100 分,40 分,10 分,0 分;
·6·

② (ⅰ)若参加该游戏转一次转盘获得的积分不是 40 分,则按①获得相应的积分,游戏结束; (ⅱ)若参加该游戏转一次获得的积分是 40 分,则用抛一枚质地均匀的硬币的方法来决定 是否继续游戏.正面向上时,游戏结束;反面向上时,再转一次转盘,若再转一次的积分不高于 40 分,则最终积分为 0 分,否则最终积分为 100 分,游戏结束. 设某人参加该游戏一次所获积分为 ? . (1)求 ? ? 0 的概率; (2)求 ? 的概率分布及数学期望. Ⅱ Ⅲ Ⅰ Ⅳ
(第 23 题)



Ⅰ Ⅲ Ⅱ

南通市 2013 届高三第三次调研测试
数学参考答案及评分建议

一、填空题:本大题共 14 小题,每小题 5 分,共 70 分.

1 2 1. 已知集合 A ? ? ?2,? , B ? ? ?1, ? ,则 A ? B ?
2) 【答案】 (?2,



. 开始
S ?0 S ? S ? 400 S≤2000

2. 设复数 z 满足 (3 ? 4i)z ? 5 ? 0 (是虚数单位) ,则复数 z 的 模为 ▲ .

Y

【答案】 3. 右图是一个算法流程图,则输出的 S 的值是 【答案】 2400 4. “ M ? N ”是“ log2 M ? log 2 N ”成立的 ▲ 条件. ▲ .

N 输出S 开始
(第 3 题)

(从“充要”“充分不必要”“必要不充分”中选择一个正确的填写) , ,

·7·

【答案】必要不充分 5. 根据某固定测速点测得的某时段内过往的 100 辆 机动车的行驶速度(单位:km/h)绘制的频率分布 直方图如右图所示.该路段限速标志牌提示机动 车辆正常行驶速度为 60 km/h~120 km/h,则该时 段内非正常行驶的机动车辆数为 【答案】 15 ▲ . 0.0175 0.0150 0.0100 0.0050 0.0025

频率 组距

40 60 80 100 120 140 速度/ km/h
(第 5 题)

6. 在平面直角坐标系 xOy 中,抛物线 x2 ? 2 py( p ? 0) 上纵坐标为 1 的一点到焦点的距离为 3,则焦 点到准线的距离为 【答案】4 ▲ .

2 3 4 5 6 7 8 9 7. 从集合 ?1,,,,,,,, ? 中任取两个不同的数,则其中一个数恰是另一个数的 3 倍的概率为
▲ .

【答案】 1 12 8. 在平面直角坐标系 xOy 中,设点 P 为圆 C : ( x ? 1)2 ? y 2 ? 4 上的任意一点,点 Q (2 a , a ? 3 ) ( a ? R ),则线段 PQ 长度的最小值为 【答案】 5 ? 2 9. 函数 f ( x) ? A sin(? x ? ? ) (A ? 0 , ? ? 0 , 0≤? ? 2?) 在 R 上 的部分图象如图所示,则 f (2013) 的值为 【答案】 ? 5 3 2 ▲ .
?1





y 5

O

5

11 x

(第 9 题)

10.各项均为正数的等比数列 ?an ? 中, a2 ? a1 ? 1.当 a 3 取最小值时,数列 ?an ? 的通项公式 an= ▲ . 【答案】 2 n ?1

?ax2 ? 2 x ? 1,≥0, x ? 11.已知函数 f ( x) ? ? 2 是偶函数,直线 y ? t 与函数 y ? f ( x) 的图象自左向右依次交 ? x ? bx ? c,x ? 0 ?
·8·

于四个不同点 A , B , C , D .若 AB ? BC ,则实数的值为 【答案】 ? 7 4





0) 12.过点 P(?1, 作曲线 C : y ? e x 的切线,切点为 T1 ,设 T1 在 x 轴上的投影是点 H1 ,过点 H1 再作

曲线 C 的切线,切点为 T2 ,设 T2 在 x 轴上的投影是点 H 2 ,?,依次下去,得到第 n ? 1 (n ? N) 个 切点 Tn ?1 .则点 Tn ?1 的坐标为 【答案】 n,n e ▲ .

?

?

13.在平面四边形 ABCD 中,点 E,F 分别是边 AD,BC 的中点,且 AB ? 1 , EF ? 2 ,CD ? 3 .
???? ??? ? ???? ??? ? 若 AD ? BC ? 15 ,则 AC ? BD 的值为





【答案】 13 14.已知实数 a1,a2,a3,a4 满足 a1 ? a2 ? a3 ? 0 ,a1a42 ? a2a4 ? a2 ? 0 ,且 a1 ? a2 ? a3,则 a4 的取值 范围是 ▲ .

? 【答案】 ?1 ? 5 , 1 ? 5 2 2
二、解答题

?

?

15.如图,在四棱锥 P ? ABCD 中,底面 ABCD 是矩形,四条侧棱长均相等. (1)求证: AB // 平面 PCD ; (2)求证:平面 PAC ? 平面 ABCD . 证明: (1)在矩形 ABCD 中, AB // CD , 又 AB ? 平面 PCD ,
CD ? 平面 PCD ,

P

所以 AB // 平面 PCD .

???6 分

A
(2)如图,连结 BD ,交 AC 于点 O ,连结 PO ,
BD 在矩形 ABCD 中,点 O 为 AC, 的中点,

D
O C

B
(第 15 题)

又 PA ? PB ? PC ? PD , 故 PO ? AC ,PO ? BD , 又 AC ? BD ? O ,
·9·

???9 分

AC, ? 平面 ABCD , BD

所以 PO ? 平面 ABCD , 分 又 PO ? 平面 PAC , 所以平面 PAC ? 平面 ABCD . 分

???12

???14

16.在△ABC 中,角 A , B , C 所对的边分别为 a , b ,c.已知 (1)求角 B 的大小; (2)设 T ? sin 2 A ? sin 2 B ? sin 2 C ,求 T 的取值范围. 解: (1)在△ABC 中,

2 2 2 sin C ? b2 ? a2 ? c 2 . 2sin A ? sin C c ? a ? b

2 2 2 sin C ? b2 ? a2 ? c2 ? ?2ac cos B ? c cosB ? sin C cos B , 2sin A ? sin C c ? a ? b ?2ab cos C b cos C sin B cos C

???3

分 因为 sin C ? 0 ,所以 sin B cos C ? 2sin A cos B ? sin C cos B ,
C C B B ) A 所以 2 sin A cosB ? sinB cos ? sin cos ? sin( ? C ? sin ,

???5

分 因为 sin A ? 0 ,所以 cos B ? 1 , 2 因为 0 ? B ? π ,所以 B ? π . 3 (2) T ? sin 2 A ? sin 2 B ? sin 2 C ? 1 (1 ? cos 2 A) ? 3 ? 1 (1 ? cos 2C ) 2 4 2 ???7 分

? 7 ? 1 (cos 2 A ? cos 2C) ? 7 ? 1 ?cos 2 A ? cos 4π ? 2 A ? ? 4 2 4 2? 3 ? ?
? 7 ? 1 1 cos 2 A ? 3 sin 2 A ? 7 ? 1 cos 2 A ? π 4 2 2 2 4 2 3

?

?

?

?

?

?

???11

分 因为 0 ? A ? 2π ,所以 0 ? 2 A ? 4π , 3 3 故 π ? 2 A ? π ? 5π ,因此 ?1 ≤ cos 2 A ? π ? 1 , 3 3 3 3 2

?

?

·10·

所以 3 ? T ≤ 9 . 2 4

???14 分

17.某单位设计的两种密封玻璃窗如图所示:图 1 是单层玻璃,厚度为 8 mm;图 2 是双层中空玻璃, 厚度均为 4 mm,中间留有厚度为 x 的空气隔层.根据热传导知识,对于厚度为 d 的均匀介质, 两侧的温度差为 ?T ,单位时间内,在单位面积上通过的热量 Q ? k ? ?T ,其中 k 为热传导系数. d 假定单位时间内,在单位面积上通过每一层玻璃及空气隔层的热量相等. (注:玻璃的热传导系 数为 4 ? 10?3 J ? mm/ ? C ,空气的热传导系数为 2.5 ? 10?4 J ? mm/ ?C . ) (1)设室内,室外温度均分别为 T1 , T2 ,内层玻璃外侧温度为 T1? ,外层玻璃内侧温度为 T2? , 且 T1 ? T1? ? T2? ? T2 .试分别求出单层玻璃和双层中空玻璃单位时间内,在单位面积上通过 的热量(结果用 T1 , T2 及 x 表示) ; (2)为使双层中空玻璃单位时间内,在单位面积上通过的热量只有单层玻璃的 4%,应如何设 计
x 的大小?

墙 T1 8 室内 墙 图1
(第 17 题)

墙 T2 T1 4 室外 室内 墙 图2
T1? T2?

T2 4 室外

x

解: (1)设单层玻璃和双层中空玻璃单位时间内,在单位面积上通过的热量分别为 Q1 , Q2 , 则 Q1 ? 4 ? 10?3 ?

T1 ? T2 T1 ? T2 , ? 8 2 000
·11·

???2


Q2 ? 4 ? 10?3 ? T1 ? T1? T ? ? T2? T ? ? T2 ? 2.5 ? 10?4 ? 1 ? 4 ? 10?3 ? 2 4 x 4

???6


? T1 ? T1? T ? ? T2? T ? ? T2 ? 1 ? 2 4 x 4 4 ? 10?3 2.5 ? 10?4 4 ? 10?3
T1 ? T1? ? T1? ? T2? ? T2? ? T2 4 ? x 4 ? 4 ? 10?3 2.5 ? 10?4 4 ? 10?3

?

?

T1 ? T2 . 4 000 x ? 2 000

???9 分

(2)由(1)知 当

Q2 ? 1 , Q1 2 x ? 1

1 ? 4%时,解得 x ? 12 (mm) . 2x ? 1

答:当 x ? 12 mm 时,双层中空玻璃通过的热量只有单层玻璃的 4%.

???14 分

2 y2 0) 18.如图,在平面直角坐标系 xOy 中,椭圆 x 2 ? 2 ? 1(a ? b ? 0) 的右焦点为 F (1, ,离心率为 2 . 2 a b

分别过 O , F 的两条弦 AB , CD 相交于点 E (异于 A , C 两点) ,且 OE ? EF . (1)求椭圆的方程; (2)求证:直线 AC , BD 的斜率之和为定值.
C

y
A E
O

F

D

x

(1)解:由题意,得 c ? 1 , e ? c ? 2 ,故 a ? 2 , a 2 从而 b ? a ? c ? 1 ,
2 2 2

B

所以椭圆的方程为 x ? y 2 ? 1 . 2 分 (2)证明:设直线 AB 的方程为 y ? kx , ②

2



(第 18 题)

???5

直线 CD 的方程为 y ? ?k ( x ? 1) , ③ 分
·12·

???7

由①②得,点 A , B 的横坐标为 ?

2 , 2k 2 ? 1
???9 分

由①③得,点 C , D 的横坐标为

2k 2 ? 2(k 2 ? 1) , 2k 2 ? 1

记 A( x1, 1 ) , B( x2, 2 ) , C ( x3, (1 ? x3 )) , D( x4, (1 ? x4 )) , kx k k kx 则直线 AC , BD 的斜率之和为

kx1 ? k (1 ? x3 ) kx2 ? k (1 ? x4 ) ? x1 ? x3 x2 ? x4 ?k? ?k?

2(k 2 ? 1) ? 4k 2 2 ? ?2 ? ? 2 ??0? 2 2 2k ? 1 ? k ? ? 2 k ? 1 2k ? 1 ? ( x1 ? x3 )( x2 ? x4 )
?0.

( x1 ? x3 ? 1)( x2 ? x4 ) ? ( x1 ? x3 )( x2 ? x4 ? 1) ( x1 ? x3 )( x2 ? x4 ) 2( x1 x2 ? x3 x4 ) ? ( x1 ? x2 ) ? ( x3 ? x4 ) ( x1 ? x3 )( x2 ? x4 )
???13

???16



19.已知数列 ?an ? 是首项为 1,公差为 d 的等差数列,数列 ?bn ? 是首项为 1,公比为 q (q ? 1) 的等比 数列. (1)若 a5 ? b5 , q ? 3 ,求数列 ?an ? bn ? 的前 n 项和; (2)若存在正整数 k (k≥2) ,使得 ak ? bk .试比较 a n 与 bn 的大小,并说明理由. 解: (1)依题意, a5 ? b5 ? b1q5?1 ? 1? 34 ? 81 , 故d ?

a5 ? a1 81 ? 1 ? ? 20 , 5 ?1 4
???3 分 ①

所以 an ? 1 ? 20( n ? 1) ? 20 n ?19 , 令 Sn ? 1?1 ? 21? 3 ? 41? 32 ? ??? ? (20n ? 19) ? 3n?1 , 则 3Sn ?

1? 3 ? 21? 32 ? ??? ? (20n ? 39) ? 3n?1 ? (20n ? 19) ? 3n , ②

·13·

① ? ②得, ?2Sn ? 1+20 ? 3 ? 32 ? ??? ? 3n?1 ? (20n ? 19) ? 3n ,
? 1+20 ? 3(1 ? 3n?1 ) ? (20n ? 19) ? 3n 1? 3

?

?

? (29 ? 20n) ? 3n ? 29 ,
所以 Sn ?

(20n ? 29) ? 3 n ? 29 . 2

???7 分

(2)因为 ak ? bk , 所以 1 ? (k ? 1)d ? q k ?1 ,即 d ? 故 an ? 1 ? (n ? 1) 又 bn ? qn?1 , 分
? q k ?1 ? 1? 所以 bn ? an ? q n ?1 ? ?1 ? (n ? 1) k ?1 ? ? ?
? 1 ?(k ? 1) ? q n ?1 ? 1? ? (n ? 1) ? q k ?1 ? 1?? ? k ?1 ?

q k ?1 ? 1 , k ?1

qk ?1 ? 1 , k ?1

???9

?

q ?1 ? (k ? 1) ? qn?2 ? qn?3 ? ??? ? q ? 1? ? (n ? 1) ? qk ?2 ? qk ?3 ? ??? ? q ? 1?? ? k ?1 ?
???11

分 (ⅰ)当 1 ? n ? k 时,由 q ? 1 知

bn ? an ? ?

q ?1 ? (k ? n) ? qn?2 ? qn?3 ? ??? ? q ? 1? ? (n ? 1) ? qk ?2 ? qk ?3 ? ??? ? qn?1 ?? ? k ?1 ? q ?1 ?(k ? n)(n ? 1)qn?2 ? (n ? 1)(k ? n)q n?1 ? ? k ?1 ?
(q ? 1)2 qn?2 (k ? n)(n ? 1) k ?1

??

?0,

???13

分 (ⅱ)当 n ? k 时,由 q ? 1 知

bn ? an ?

q ?1 ? (k ? 1) ? qn?2 ? qn?3 ? ??? ? qk ?1 ? ? (n ? k ) ? qk ?2 ? qk ?3 ? ??? ? q ? 1?? ? k ?1 ?
·14·

?

q ?1 ?(k ? 1)(n ? k )qk ?1 ? (n ? k )(k ? 1)q k ?2 ? ? k ?1 ?

? (q ? 1)2 qk ? 2 (n ? k )
?0,
k 综上所述,当 1 ? n ? k 时, an ? bn ;当 n ? k 时, an ? bn ;当 n ? 1, 时, an ? bn .

???16 分 (注:仅给出“ 1 ? n ? k 时, an ? bn ; n ? k 时, an ? bn ”得 2 分. )

20.设 f ( x) 是定义在 (0,? ?) 的可导函数,且不恒为 0,记 gn ( x) ?

f ( x) (n ? N* ) .若对定义域内的每 n x

一个 x , 总有 gn ( x) ? 0 , 则称 f ( x) 为 n 阶负函数” 若对定义域内的每一个 x , “ ; 总有 ? g n ( x ) ?? ≥0 , 则称 f ( x) 为“ n 阶不减函数” ? g n ( x ) ?? 为函数 g n ( x) 的导函数) ( . (1)若 f ( x) ? a3 ? 1 ? x( x ? 0) 既是“1 阶负函数” ,又是“1 阶不减函数” ,求实数 a 的取值范 x x 围; (2)对任给的“2 阶不减函数” f ( x) ,如果存在常数 c ,使得 f ( x) ? c 恒成立,试判断 f ( x) 是 否为“2 阶负函数”?并说明理由. 解: (1)依题意, g1 ( x) ? 故 [ g1 ( x)]? ? ?
f ( x) a 1 ? 4 ? 2 ? 1 在 (0,? ?) 上单调递增, x x x

4a 2 1 ? 3 ≥ 0 恒成立,得 a ≤ x2 , 5 x x 2

???2 分 ???4 分

因为 x ? 0 ,所以 a ≤ 0 . 而当 a ≤ 0 时, g1 ( x) ? a4 ? 12 ? 1 ? 0 显然在 (0,? ?) 恒成立, x x 所以 a ≤ 0 . 分 (2)①先证 f ( x)≤0 : 若不存在正实数 x0 ,使得 g2 ( x0 ) ? 0 ,则 g2 ( x)≤0 恒成立. 分
·15·

???6

???8

假设存在正实数 x0 ,使得 g2 ( x0 ) ? 0 ,则有 f ( x0 ) ? 0 , 由题意,当 x ? 0 时, g2? ( x)≥0 ,可得 g 2 ( x) 在 (0,? ?) 上单调递增, 当 x ? x0 时,
f ( x0 ) 2 f ( x ) f ( x0 ) 恒成立,即 f ( x) ? ? ? x 恒成立, 2 2 x x0 x0 2 f ( x0 ) 2 , ? x1 ? m (其中 m 为任意常数) x0 2

故必存在 x1 ? x0 ,使得 f ( x1 ) ?

这与 f ( x) ? c 恒成立(即 f ( x) 有上界)矛盾,故假设不成立, 所以当 x ? 0 时, g2 ( x)≤0 ,即 f ( x)≤0 ; ②再证 f ( x) ? 0 无解: 假设存在正实数 x 2 ,使得 f ( x2 ) ? 0 , 则对于任意 x3 ? x2 ? 0 ,有
f ( x3 ) f ( x2 ) ? ? 0 ,即有 f ( x3 ) ? 0 , x32 x2 2

???13 分

这与①矛盾,故假设不成立, 所以 f ( x) ? 0 无解, 综上得 f ( x) ? 0 ,即 g2 ( x) ? 0 , 故所有满足题设的 f ( x) 都是“2 阶负函数” . ???16 分

南通市 2013 届高三第三次调研测试 数学附加题参考答案及评分建议
21. 【选做题】 A.选修 4—1:几何证明选讲 如图,⊙ O 的半径为 3,两条弦 AB , CD 交于点 P ,且 AP ? 1 , CP ? 3 , OP ? 6D A F . 求证:△ APC ≌△ DPB . 证明:延长 OP 交⊙ O 与点 E , F , 由相交弦定理得
·16·

P
???2 分
C O

B

E
(第 21—A 题)

CP ? DP ? AP ? BP ? FP ? EP ? 3 ? 6 ? 3 ? 6 ? 3 ,

?

? ?

?

???6 分 又 AP ? 1 , CP ? 3 , 故 DP ? 1 , BP ? 3 , 分 所以 AP ? DP , BP ? CP , 而 ?APC ? ?DPB , 所以△ APC ≌△ DPB . 分 ???10 ???8

B.选修 4—2:矩阵与变换
? x 5? 已知矩阵 M ? ? ? 不存在逆矩阵,求实数 x 的值及矩阵 M 的特征值. ?6 6?

解:由题意,矩阵 M 的行列式

x 5 ? 0 ,解得 x ? 5 , 6 6

???4 分

?5 5? 矩阵 M ? ? ? 的特征多项式 ?6 6? f (? ) ?

? ?5
?6

?5 ? (? ? 5)(? ? 6) ? (?5) ? (?6) , ? ?6

???8 分

令 f (? ) ? 0 并化简得 ? 2 ? 11? ? 0 , 解得 ? ? 0 或 ? ? 11 , 所以矩阵 M 的特征值为 0 和 11. 分 ???10

C.选修 4—4:坐标系与参数方程
1) 0) 在平面直角坐标系 xOy 中,已知 A(0, , B(0,? 1) , C (t, , D 3, ,其中 t ? 0 .设直线 AC 0 t

? ?


·17·

BD 的交点为 P ,求动点 P 的轨迹的参数方程(以为参数)及普通方程.
解:直线 AC 的方程为 x ? y ? 1 , t 直线 BD 的方程为 x ? y ? 1 , 3 t 分
? x ? 6t , ? t2 ? 3 由①②解得,动点 P 的轨迹的参数方程为 ? (为参数,且 t ? 0 ) , 2 ? y ? t2 ? 3 t ?3 ?

① ② ???2

???6 分

36 2 将 x ? 26t 平方得 x2 ? 2 t 2 , t ?3 (t ? 3)
2 ? t 2 ? 3? , 将 y ? t 2 ? 3 平方得 y 2 ? 2 t ?3 ? t 2 ? 3?
2





???8

分 由③④得, x ? y 2 ? 1( x ? 0) . 3 (注:普通方程由①②直接消参可得.漏写“ x ? 0 ”扣 1 分. )
2

???10 分

D.选修 4—5:不等式选讲 已知 a ? 0 , b ? 0 , n ? N* .求证: 证明:先证

an?1 ? bn?1 ≥ ab . a n ? bn

an?1 ? bn?1 a ? b , ≥ a n ? bn 2

只要证 2(an?1 ? bn?1 ) ≥ (a ? b)(an ? bn ) , 即要证 a n ?1 ? bn ?1 ? a n b ? abn ≥ 0 , 即要证 (a ? b)(an ? bn )≥0 , 分 若 a ≥ b ,则 a ? b ≥ 0 , a n ? bn ≥ 0 ,所以 (a ? b)(an ? bn )≥0 , 若 a ? b ,则 a ? b ? 0 , a n ? bn ? 0 ,所以 (a ? b)(an ? bn ) ? 0 , 综上,得 (a ? b)(an ? bn )≥0 . ???5

·18·

an?1 ? bn?1 a ? b , ≥ a n ? bn 2 a?b 因为 ≥ ab , 2
从而 所以

???8 分

an?1 ? bn?1 ≥ ab . a n ? bn

???10 分

22. 【必做题】 设 n ? N* 且 n≥2 ,证明:

? a1 ? a2 ? ??? ? an ?


2

? a12 ? a22 ? ??? ? an2 ?2 ?a1 ? a2 ? a3 ? ??? ? an ? ?a2 ? a3 ? a4 ? ??? ? an ? ???? ? an?1an ? ?

证明: (1)当 n ? 2 时,有 ? a1 ? a2 ? ? a12 ? a22 ? 2a1a2 ,命题成立.
2

???2 分

(2)假设当 n ? k (k≥2) 时,命题成立, 即

? a1 ? a2 ? ??? ? ak ?

2

? a12 ? a22 ? ??? ? ak 2 ?2 ?a1 ? a2 ? a3 ? ??? ? ak ? ?a2 ? a3 ? a4 ? ??? ? ak ? ?
???4

???? ? ak ?1ak ? 成立,

分 那么,当 n ? k ? 1 时,有 ? a1 ? a2 ? ??? ? ak ? ak ?1 ?
2 2

? ? a1 ? a2 ? ??? ? ak ? ? 2 ? a1 ? a2 ? ??? ? ak ? ak ?1 ? ak ?12
? a12 ? a22 ? ??? ? ak 2 ?2 ?a1 ? a2 ? a3 ? ??? ? ak ? ?a2 ? a3 ? a4 ? ??? ? ak ? ???? ? ak ?1ak ? ? ?2 ? a1 ? a2 ???? ? ak ? ak ?1 ? ak ?12 . ? a12 ? a22 ? ??? ? ak 2 ? ak ?12 ?2 ?a1 ? a2 ? a3 ? ??? ? ak ? ak ?1 ? + a2 ? a3 ? a4 ? ??? ? ak ? ak ?1 ? ?
???? ? ak ak ?1 ? .

所以当 n ? k ? 1 时,命题也成立. 分 根据(1)和(2) ,可知结论对任意的 n ? N* 且 n≥2 都成立.
·19·

???8

???10 分

23. 【必做题】 下图是某游戏中使用的材质均匀的圆形转盘, 其中Ⅰ, Ⅲ, Ⅱ, Ⅳ部分的面积各占转盘面积的 1 , 12
1 , 1 , 1 .游戏规则如下: 4 2 6

① 当指针指到Ⅰ,Ⅱ, Ⅲ,Ⅳ部分时,分别获得积分 100 分,40 分,10 分,0 分; ② (ⅰ)若参加该游戏转一次转盘获得的积分不是 40 分,则按①获得相应的积分,游戏结束; (ⅱ)若参加该游戏转一次获得的积分是 40 分,则用抛一枚质地均匀的硬币的方法来决定 是 否继续游戏.正面向上时,游戏结束;反面向上时,再转一次转盘,若再转一次的积 分不高于 40 分,则最终积分为 0 分,否则最终积分为 100 分,游戏结束. 设某人参加该游戏一次所获积分为 ? . (1)求 ? ? 0 的概率; (2)求 ? 的概率分布及数学期望. Ⅱ Ⅲ Ⅰ 解: (1)事件“ ? ? 0 ”包含: “首次积分为 0 分”和“首次积分为 40 分 后再转一次的积分不高于 40 分”,且两者互斥, 所以 P(? ? 0) ? 1 ? 1 ? 1 ? (1 ? 1 ) ? 83 ; 2 6 2 12 144 (2) ? 的所有可能取值为 0,10,40,100, 由(1)知 P(? ? 0) ? 83 , 144 又 P(? ? 10) ? 1 , 4
P(? ? 40) ? 1 ? 1 ? 1 , 6 2 12 P(? ? 100) ? 1 ? 1 ? 1 ? 1 ? 13 , 12 6 2 12 144
(第 23 题)



Ⅰ Ⅲ Ⅱ Ⅳ

???4 分

所以 ? 的概率分布为:

?

0
83 144

10
1 4

40
1 12

100
13 144
·20·

P

???7 分 因此, E (? ) ? 0 ? 83 ? 10 ? 1 ? 40 ? 1 ? 100 ? 13 ? 535 (分) . 144 4 12 144 36 ?10 分

·21·


...淮安五市2013届高三第三次模拟考试数学试卷.doc

江苏省南通泰州扬州连云港淮安五市2013届高三第三次模拟考试数学试卷 -

...淮安五市2013届高三第三次模拟考试数学试卷.doc

江苏省南通泰州扬州连云港淮安五市 2013 届高三第三次模拟考试 数学试卷 一、填空题:本大题共 14 小题,每小题 5 分,共 70 分. 1? , B ? ? ...

...连云港、淮安五市2013届高三第三次模拟考试数学试题....doc

南通泰州扬州连云港淮安五市2013届高三第三次模拟考试数学试题_Word版含答案_数学_高中教育_教育专区。南通泰州扬州连云港、淮安五市 2013 届高三第...

...连云港、淮安五市2013届高三第三次模拟考试数学试题....doc

江苏省南通泰州扬州连云港淮安五市2013届高三第三次模拟考试数学试题_数学_高中教育_教育专区。南通、泰州扬州连云港、淮安五市 2013 届高三第 三次...

...扬州、连云港、淮安五市高三第三次模拟考试数学试题....doc

2013 届南通泰州扬州连云港淮安五市高三第三次模拟 考试数学试卷 20

...连云港、淮安五市高三第三次模拟考试数学试卷.doc

江苏省2013届南通泰州扬州连云港淮安五市高三第三次模拟考试数学试卷_高三数学_数学_高中教育_教育专区。江苏省2013届南通泰州扬州连云港淮安五市...

...淮安五市2013届高三第三次模拟考试数学试卷.doc

江苏省南通泰州扬州连云港淮安五市 2013 届高三第三次模拟考试 数学试卷一、填空题:本大题共 14 小题,每小题 5 分,共 70 分. 1 B 2 则 1. ...

...连云港、淮安五市高三第三次模拟考试数学试卷.doc

2013届南通泰州扬州连云港淮安五市高三第三次模拟考试数学试卷_高考_高中教育_教育专区。2013届南通泰州扬州连云港淮安五市高三第三次模拟考试数学...

...连云港、淮安五市高三第三次模拟考试数学试卷 数学....doc

2013届江苏省南通泰州扬州连云港淮安五市高三第三次模拟考试数学试卷 数学讲评建议_高三数学_数学_高中教育_教育专区。2013届江苏省南通泰州扬州连云港...

...扬州、连云港、淮安五市2013届高三第三次模拟考试(....doc

江苏省南通泰州扬州连云港淮安五市2013届高三第三次模拟考试(数学)_高考_高中教育_教育专区。最新!!! 南通、泰州扬州连云港、淮安五市 2013 届高三...

...连云港、淮安五市高三第三次模拟考试数学试卷(word....doc

2013届南通泰州扬州连云港淮安五市高三第三次模拟考试数学试卷(word版)(2013.5.2) - 2013 届南通泰州扬州连云港淮安五市高三第三次模 拟考试...

...、淮安五市2013届高三第三次模拟考试数学试卷201305....doc

江苏省南通泰州扬州连云港淮安五市2013届高三第三次模拟考试数学试卷20130503杨老师_数学_高中教育_教育专区。南通、泰州扬州连云港、淮安五市 2013 届...

...连云港、淮安五市2013届高三第三次模拟考试数学试题....doc

江苏省南通泰州扬州连云港淮安五市2013届高三第三次模拟考试数学试题(word版) 2013 届南通、泰州扬州连云港、淮安五市高三第三次模 拟考试数学试卷(...

...扬州、连云港、淮安五市高三第三次模拟考试数学.doc

2013届南通泰州扬州连云港淮安五市高三第三次模拟考试数学 - 2013 届南通泰州扬州连云港淮安五市高三第三次模拟考试数 学试卷 2013.5.2 开始 ...

...泰州、扬州、连云港、淮安五市高三第三次模拟考试.doc

2013届南通泰州扬州连云港淮安五市高三第三次模拟考试 - 2013 届南通泰州扬州连云港淮安五市高三第三次模拟考试 数学试卷(word 版) (2013.5.2...

...连云港、淮安五市高三第三次模拟考试数学试卷(word....doc

2013届南通泰州扬州连云港淮安五市高三第三次模拟考试数学试卷(word版)(_高三数学_数学_高中教育_教育专区。2013届高三三模考试5月2日考 ...

...扬州 连云港 淮安五市高三第三次模拟考试数学试卷(w....doc

2013届 南通 泰州 扬州 连云港 淮安五市高三第三次模拟考试数学试卷(word版)_高三数学_数学_高中教育_教育专区。2013届 南通 泰州 扬州 连云港 淮安五市高三第三...

...泰州、扬州、连云港、淮安五市高三第三次模拟考试语....doc

2013届南通泰州扬州连云港淮安五市高三第三次模拟考试语文及答案_语文_高中教育_教育专区。2013,南通泰州扬州连云港淮安五市高三第三次...

...连云港、淮安五市高三第三次模拟考试数学试卷(2013.....doc

2013届南通泰州扬州连云港淮安五市高三第三次模拟考试数学试卷(2013.5.2)附答案_数学_高中教育_教育专区。2013届南通 泰州 扬州 连云港 淮安 五市高三第...

2013届江苏省南通、泰州、扬州、连云港、淮安五市三模....doc

江苏省南通泰州扬州连云港淮安五市 2013 届高三第三次调研考试 历史试题注 意事项 考生在答题前请认真阅读本注意事项及各题答题要求 1.本试卷共 8 页,...