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1.3.2 函数的单调性(2)

时间:2017-09-18


1.3 1.3.1

函数的基本性质 单调性与最大(小)值 函数的单调性

第 2 课时

1.

理解函数的单调性的概念.(重点、难点)

2.掌握判断函数单调性的一般方法.(重点、易错点) 3.会求函数的单调区间,能够处理与单调性有关的含参 问题.(重点)

预习检测
1.已知 f (x )=(3a+1)x +b 在 R 上是减函数,则 a 的取值范围 是______________.
2.下列函数 f (x )中,满足对任意 x 1,x 2∈(0,+∞),当 x 1<x 2 时,都有 f (x 1)>f (x 2)的是( A.f (x )=x 2 C .f (x )=|x |
? 1? ? ? -∞,- ? 3? ? ?

B )
1 B.f (x )= x D.f (x )=2x +1
2

探究展示
[探究背景] 对于一般函数,若 f (x ) 在区间[a ,b]上单调递增,且其函数值 f (x 1)<f (x 2), 那 么自变量 x 1 与 x 2 有什么关系?若该区间上的函数值 f (x 1)>f (x 2) ,则其自变量 x 1 与 x 2 有什么关系?若 f (x )在区间 [a,b]上单调递减,又如何呢? [问题]

函数 y=f (x )在 R 上为增函数,且 f (2m )>f (-m+9),则实数 m 的取值 范围是

[思考]

把问题变为:函数 y=f (x )在(0,+∞) 上为增函数,且 f (2m) >f ( -m +9),求 实数 m 的取值范围?
3

精讲点拨
例 1.已知函数 f (x )=-x 2-2(a+1)x +3. (1)函数 f (x )在区间(-∞,3]上是增函数,则实数 a 的取值范 围是________; (2)函数 f (x ) 的单调递增区间是 ( -∞,3] ,则实数 a 的值为 ________.
【答案】 (1)(-∞,-4] (2)-4

4

例 2. 求函数 y=-x 2+2|x |+1 的单调区间.
-x -2x + 1, ?x <0? - ?x + 1? + 2,?x <0?

2+ + , ? ≥ ? 2+ ,? ≥ ? - - ? - ? 2 2 x 2 x 1 x 0 x 1 2 x? 0 2 2 - + + , ? ≥ ? - ? - ? + , ? ≥ x 2 x 1 x 0 x 1 2 x 0 - - ?x - 1? + 2,?x ≥ 0? x +2x + 1, ?x ≥ 0? 【解答】 y = 即y = 【解答】 y = 即 y = 2 2 【解答】 y= -x 22 即 y = 2 - x - 2 x + 1 , ? x <0 ? - ? x + 1 ? + -2x + 1, ?x <0? - ?x + 1? 2+ 2, ?2 x, <0??x <0?

如图所示,单调增区间为 (- ∞,- 1] 和[0,1] ,单调减区 如图所示,单调增区间为 ((- ,- 1] [0,1] ,单调减区间 如图所示,单调增区间为 -∞ ∞ ,- 1]和 和 [0,1] ,单调减区间 为 [ - 1,0] 和 [1 ,+ ∞ ) . 为 [ - 1,0] 和 [1 ,+ ∞ ) . 为[-1,0]和[1,+∞).
5

达标检测
变式训练 1. 求函数 f (x )=|2x +1|的单调区间.
变式训练 2. 若函数 f (x )=|2x +a|的单调递增区间是

-6 [3,+∞),则 a=________.
变式训练 3. 若函数 f (x )=|2x +a|在区间[3, +∞)上单调

a ≥ -6 递增,则 a 的取值范围是____________.

6

归纳延伸
1.本节课主要借助函数图象给出了函数单调性的定义,在此基 础上给出了函数单调性的判定方法及单调区间的求解策略. 2.理解函数单调性应把握“任意”、“都有”等关键词. 3.由于单调性是函数的局部性质,研究函数单调性应树立定义 域优先的意识.

课后作业:1.完成学业达标限时自测(八)
2.预习《1.3.1 函数的最值》

a 1.若 f (x )=-x +2ax 与 g(x ) = 在区间[1,2]上都是减函数, 则 a 的取值范 x +1
2

围是(

D)
B.(-1,0)∪(0,1) D.(0,1]

A.(-1,0)∪ (0,1] C .(0,1)

2.函数 f (x )=4x 2-mx +5 在区间[-2,+∞)上是增函数,则有( A ) A.f (1)≥25 C .f (1)≤25 B.f (1)=25 D.f (1)>25

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