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高中数学课件:第三章 3.2 古典概型_图文

时间:2013-11-29

课前预习 ·巧设计 考点一
第 三 章 概 率

3.2

古 典 概 型

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3.2 古 典 概 型

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[读教材·填要点] 1.基本事件的特点 (1)任何两个基本事件是 互斥 的; (2)任何事件都可以表示成基本事件的 和 .

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2.古典概型的概念 如果某概率模型具有以下两个特点: (1)试验中所有可能出现的基本事件 只有有限个 ; (2)每个基本事件出现的 可能性相等 ; 那么我们将具有这两个特点的概率模型称为古典概 率模型,简称古典概型.

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3.古典概型的概率公式 A包含的基本事件个数 基本事件总个数 对于任何事件 A,P(A)= .

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[小问题·大思维] 1.在掷一枚质地不均匀的硬币的一次试验中,其基本事件 是什么?每个事件出现的可能性相同吗? 提示:该试验的基本事件是“出现正面向上”和“出现 反面向上”.由于该硬币质地不均匀,故P(出现正面向 上)≠P(出现反面向上),从而两个基本事件出现的可能

性不同.

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2.“在区间[0,10]上,任取一个数,这个数恰为2的概率 是多少?”这个概率模型属于古典概型吗? 提示:不是.因为在区间[0,10]上任取一个数,其试 验结果有无限个,故其基本事件有无限个,所以不是 古典概型.

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[研一题]
[例1] 做投掷2颗骰子的试验,用(x,y)表示结果,

其中x表示第一颗骰子出现的点数,y表示第2颗骰子出现

的点数.写出:
(1)试验的基本事件; (2)事件“出现点数之和大于8”; (3)事件“出现点数相等”; (4)事件“出现点数之和等于7”.

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[自主解答]

(1)这个试验的基本事件共有36个,如下:

(1,1),(1,2),(1,3)(1,4),(1,5),(1,6),(2,1),(2,2),(2,3),

(2,4),(2,5),(2,6),(3,1),(3,2),(3,3),(3,4),(3,5),(3,6),
(4,1),(4,2),(4,3),(4,4),(4,5),(4,6),(5,1),(5,2),(5,3), (5,4),(5,5),(5,6),(6,1),(6,2),(6,3),(6,4),(6,5), (6,6).

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(2)“出现点数之和大于8”包含以下10个基本事件:
(3,6),(4,5),(4,6),(5,4),(5,5),(5,6),(6,3),(6,4), (6,5),(6,6). (3)“出现点数相等”包含以下6个基本事件:(1,1), (2,2),(3,3),(4,4),(5,5),(6,6).

(4)“出现点数之和等于7”包含以下6个基本事件:
(1,6),(2,5),(3,4),(4,3),(5,2),(6,1).

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[悟一法] 求基本事件个数常用列举法、列表法、树状图法来 解决,并注意以下几个方面 (1)用列举法时要注意不重不漏;

(2)用列表法时注意顺序问题;
(3)树状图若是有顺序问题时,只做一个树状图后, 乘以元素个数.

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[通一类]

1.一个口袋内装有除颜色外其他均相同的1个白球和已
经编有不同号码的3个黑球,从中摸出2个球,求: (1)基本事件总数,并写出所有的基本事件. (2)事件“摸出2个黑球”包含的基本事件是多少个? (3)摸出2个黑球的概率是多少?

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解:(1)从装有 4 个球的口袋内摸出 2 个球,基本事件总数为 6,分别是:(黑 1,黑 2),(黑 1,黑 3),(黑 1,白),(黑 2, 黑 3),(黑 2,白),(黑 3,白). (2)事件“从 3 个黑球中摸出 2 个黑球”={(黑 1,黑 2),(黑 2,黑 3),(黑 1,黑 3)},共 3 个基本事件. (3)基本事件总数 m=6,事件“摸出两个黑球”包含的基本 n 3 1 事件数 n=3,故 P= = = . m 6 2

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[研一题]

[例2]

袋中有6个球,其中4个白球,2个红球,从袋

中任意取出两球,求下列事件的概率:

(1)A:取出的两球都是白球;
(2)B:取出的两球1个是白球,另一个是红球.

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[自主解答]

设4个白球的编号为1,2,3,4,2个红球的编

号为5,6.袋中的6个小球中任取2个球的取法有(1,2),(1,3), (1,4),(1,5),(1,6),(2,3),(2,4),(2,5),(2,6),(3,4), (3,5),(3,6),(4,5),(4,6),(5,6),共15种.

(1)从袋中的6个球中任取两个,所取的两球全是白球
的取法总数,即是从4个白球中任取两个取法总数,共有6 种,为(1,2),(1,3),(1,4),(2,3),(2,4),(3,4).

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6 2 ∴取出的两球都是白球的概率为 P(A)= = . 15 5 (2)从袋中的 6 个球中任取两个,其中一个是红球,而 另一个是白球,其取法包括(1,5),(1,6),(2,5),(2,6),(3,5), (3,6),(4,5),(4,6)共 8 种. ∴取出的两个球一个是白球,一个是红球的概率为 8 P(B)= . 15

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[悟一法]
1.求古典概型的计算步骤: (1)算出基本事件的总数 n; (2)算出事件 A 包含的基本事件的个数 m; m (3)算出事件 A 的概率 P(A)= . n

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2.使用古典概型概率公式应注意 (1)首先确定是否为古典概型; (2)A事件是什么,包含的基本事件有哪些.

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[通一类] 2.甲、乙两人做出拳游戏(锤子,剪刀,布). 求:(1)平局的概率;(2)甲赢的概率;(3)乙赢的概率. 解:设平局为事件A,甲赢为事件B,乙赢为事件C.容 易得到下图.

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3 1 (1)平局含 3 个基本事件(图中的△),P(A)= = . 9 3 3 1 (2)甲赢含 3 个基本事件(图中的⊙),P(B)= = . 9 3 3 1 (3)乙赢含 3 个基本事件(图中的※),P(C)= = . 9 3

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[研一题]

[例3]

设有关于x的一元二次方程x2+2ax+b2=0.若

a是从0,1,2,3四个数中任取的一个数,b是从0,1,2三个数中 任取的一个数,求上述方程有实根的概率. [自主解答] 根”. 当a≥0,b≥0时, 方程x2+2ax+b2=0有实根的条件a≥b. 设事件A为“方程x2+2ax+b2=0有实

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基本事件共 12 个:(0,0),(0,1),(0,2),(1,0),(1,1), (1,2),(2,0),(2,1),(2,2),(3,0),(3,1),(3,2),其中第一个 数表示 a 的取值,第二个数表示 b 的取值.事件 A 中包含 9 个基本事件,为(0,0),(1,0),(1,1),(2,0),(2,1),(2,2), (3,0),(3,1),(3,2), 9 3 故事件 A 发生的概率为 P(A)= = . 12 4

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[悟一法]
1.注意放回与不放回的区别. 2.在古典概型下,当基本事件总数为 n 时,每个基 1 本事件发生的概率均为 ,要求事件 A 的概率,关键是求出 n 基本事件总数 n 和事件 A 中所包含的基本事件数 m,再由 m 古典概型概率公式 P(A)= 求事件 A 的概率. n

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[通一类]
3.将一枚均匀的正方体骰子抛掷两次,若先后出现的点数 分别为 b,c,则关系 x 的方程 x2+bx+c=0 有实根的 概率为 19 A. 36 5 C. 9 1 B. 2 17 D. 36 ( )

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解析:由题知(b,c)有:(1,1),(1,2),(1,3),(1,4),

(1,5),(1,6),(2,1),(2,2),(2,3),(2,4),(2,5),(2,6),
(3,1),(3,2),(3,3),(3,4),(3,5),(3,6),(4,1),(4,2), (4,3),(4,4),(4,5),(4,6),(5,1),(5,2),(5,3),(5,4), (5,5),(5,6),(6,1),(6,2),(6,3),(6,4),(6,5),(6,6), 共36种基本事件.

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若关于 x 的方程 x2+bx+c=0 有实根,则 Δ=b2-4ac≥0,即 b2-4c≥0,以上 36 个基本事件中满足 b2-4c≥0 的有:(2,1), (3,1),(4,1),(5,1), (6,1), (3,2), (4,2), (5,2), (6,2), (4,3), (5,3), (6,3),(4,4),(5,4),(6,4),(5,5),(6,5),(5,6),(6,6),共 19 种 基本事件. 设关于 x 的方程 x2+bx+c=0 有实根的概率为 P,则 P= 19 . 36

答案:A

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一枚硬币连掷3次,求出现正面的概率. [解] 设事件A表示“掷3次硬币,出现正面”.

法一:设Ω表示“连掷3次硬币”,则Ω={(正,反,

反),(反,正,反),(反,反,正),(正,正,反),(正,反,
正),(反,正,正),(正,正,正),(反,反,反)}. Ω由8个基本事件组成,而且可以认为这些基本事件的 出现是等可能的,且A={(正,反,反),(反,正,反),(反, 反,正),(正,正,反),(正,反,正),(反,正,正),(正,

正,正)}.

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7 事件 A 由 7 个基本事件组成,因此 P(A)= . 8 法二:设事件 A1 表示“掷 3 次硬币,有 1 次出现正面”, 事件 A2 表示“掷 3 次硬币,有 2 次出现正面”,事件 A3 表示 “掷 3 次硬币, 3 次出现正面”, 有 事件 A 表示“掷 3 次硬币, 3 3 出现正面”.A=A1∪A2∪A3,容易得出 P(A1)= ,P(A2)= , 8 8 1 P(A3)= ,又因为 A1、A2、A3 彼此是互斥的,所以 P(A)= 8 3 3 1 7 P(A1∪A2∪A3)=P(A1)+P(A2)+P(A3)= + + = . 8 8 8 8

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法三:设事件 A 表示“掷 3 次硬币,出现正面”,则 1 A 表示“掷 3 次硬币,3 次均出现反面”,且 P( A )= . 8 ∵P(A)+P( A )=1, 1 7 ∴P(A)=1-P( A )=1- = . 8 8

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