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第二章 第十二节 导数的综合应用

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课时规范练 A 组 基础对点练 1.已知函数 f(x)=13x3-2x2+3m,x∈[0,+∞),若 f(x)+5≥0 恒成立,则实数 m 的取值范围是( ) A.???197,+∞??? B.???197,+∞??? C.(-∞,2] D.(-∞,2) 解析:f′(x)=x2-4x,由 f′(x)>0,得 x>4 或 x<0. ∴f(x)在(0,4)上单调递减,在(4,+∞)上单调递增, ∴当 x∈[0,+∞)时,f(x)min=f(4). ∴要使 f(x)+5≥0 恒成立,只需 f(4)+5≥0 恒成立即可,代入解之得 m≥197. 答案:A 2.对 x∈R,函数 f(x)的导数存在,若 f′(x)>f(x),且 a>0,则以下说法正确的 是( ) A.f(a)>ea·f(0) C.f(a)>f(0) B.f(a)<ea·f(0) D.f(a)<f(0) 解析:设 f?x? g(x)= ex ,则 f′?x?-f?x? g′(x)= ex >0,故 g(x) =f?exx?为 R 上的单调递增函数,因此 g(a)>g(0),即f?eaa?>f?e00? =f(0),所以 f(a)>ea·f(0),选 A. 答案:A 3.若存在正数 x 使 2x(x-a)<1 成立,则 a 的取值范围是( ) A.(-∞,+∞) B.(-2,+∞) C.(0,+∞) D.(-1,+∞) 解析:∵2x(x-a)<1,∴a>x-21x. 令 f(x)=x-21x,∴f′(x)=1+2-xln 2>0. ∴f(x)在(0,+∞)上单调递增, ∴f(x)>f(0)=0-1=-1, ∴a 的取值范围为(-1,+∞),故选 D. 答案:D 4.做一个圆柱形锅炉,容积为 V,两个底面的材料每单位面积的价格为 a 元, 侧面的材料每单位面积的价格为 b 元,当造价最低时,锅炉的底面直径与高 的比为( ) a a2 A.b B. b b b2 C.a D. a 解析:如图,设圆柱的底面半径为 R,高为 h, 则 V=πR2h.设造价为 y=2πR2a+2πRhb=2πaR2+2πRb·πVR2=2πaR2+2bRV,所 以 y′=4πaR-2Rb2V. 令 y′=0,得2hR=ba. 答案:C 5.某银行准备设一种新的定期存款业务,经预测,存款量与 存款利率的平方成正比,比例系数为 k(k>0),贷款的利率为 4.8%,假设银行 吸收的存款能全部放贷出去.若存款利率为 x(x∈(0,0.048)),则银行获得最大 收益的存款利率为( ) A.3.2% B.2.4% C.4% D.3.6% 解析:依题意知,存款量是 kx2,银行应支付的利息是 kx3,银行应获得的利息 是 0.048kx2,所以银行的收益 y=0.048kx2-kx3,故 y′= 0.096kx-3kx2,令 y′=0,得 x=0.032 或 x=0(舍去).因 为 k>0,所以当 0<x<0.032 时,y′>0;当 0.032<x<0.048 时,y′<0.因此,当 x=0.032 时,y 取得极大值,也是最大 值,即当存款利率定为 3.2%时,银行可获得最大收益. 答案:A 6.设 1<x<2,则lnxx,???lnxx???2,lnx2x2的大小关系是( ) A.???lnx x???2<lnx x<lnx2x2 ln B. x x<???lnx x???2<lnx2x2 C.???lnx x???2<lnx2x2<lnx x D.lnx2x2<???lnx x???2<lnx x 解析:令 f(x)=x-ln x(1<x<2), 则 f′(x)=1-1x=x-x 1>0, 所以函数 y=f(x)在(1,2)内为增函数. 所以 f(x)>f(1)=1>0, 所以 x>ln x>0?0<lnxx<1. 所以???lnx x???2<lnx x . 又lnx2x2-lnx x=2ln x-xln x2 x ?2-x?ln = x2 x >0, 所以???lnx x???2<lnx x ln x2 < x2 . 答案:A 7.直线 y=a 与函数 f(x)=x3-3x 的图象有相异的三个公共点,则 a 的取值范围 是________. 解析:令 f′(x)=3x2-3=0, 得 x=±1,可得极大值为 f(-1)=2,极小值为 f(1)=-2, 如图,观察得-2<a<2 时恰有三个不同的公共点. 答案:(-2,2) 8.电动自行车的耗电量 y 与速度 x 之间有关系 y=13x3-329x2-40x(x>0),为使 耗电量最小,则速度应定为________. 解析:令 y′=x2-39x-40=0,得 x=-1 或 x=40, 由于 0<x<40 时,y′<0; 当 x>40 时,y′>0. 所以当 x=40 时,y 有最小值. 答案:40 9.若关于 x 的不等式 x3-3x2-9x+2≥m 对任意 x∈[-2,2]恒成立,则 m 的取值 范围是________. 解析:令 f(x)=x3-3x2-9x+2,则 f′(x)=3x2-6x-9,令 f′(x)=0,得 x= -1 或 3(舍去). 因为 f(-1)=7,f(-2)=0,f(2)=-20. 所以 f(x)的最小值为 f(2)=-20,故 m≤-20. 答案:(-∞,-20] 10.定义在实数集上的函数 f(x)=x2+x,g(x)=13x3-2x+m. (1)求函数 f(x)的图象在 x=1 处的切线方程. (2)若 f(x)≥g(x)对任意的 x∈[-4,4]恒成立,求实数 m 的取值范围. 解析:(1)因为 f(x)=x2+x,所以当 x=1 时,f(1)=2, 因为 f′(x)=2x+1,所以 f′(1)=3, 所以所求切线方程

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