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最新2017-2018年高考数学(理)教学案: 正、余弦定理及解三角形 Word版含解析

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第 4 讲 正、余弦定理及解三角形 考纲展示 命题探究 考点一 正、余弦定理 1 正、余弦定理 定理 正弦定理 余弦定理 a2=b2+c2-2bccosA; b2=a2+c2-2accosB; c2=a2+b2-2abcosC b2+c2-a2 cosA= 2bc ; a2+c2-b2 cosB= 2ac ; a b c = = sinA sinB sinC=2R 内容 (其中 R 是△ABC 外接圆的半径) 变形 a=2RsinA,b=2RsinB,c= a b 形式 2RsinC;sinA= ,sinB= , 2R 2R c sinC=2R; a∶b∶c=sinA∶sinB∶sinC; asinB=bsinA,bsinC=csinB, asinC=csinA; a+b+c =2R sinA+sinB+sinC 2 利用正、余弦定理解三角形 a2+b2-c2 cosC= 2ab (1)已知两角一边,用正弦定理,只有一解. (2)已知两边及一边的对角,用正弦定理,有解的情况可分为几 种情况. 在△ABC 中,已知 a,b 和角 A 时,解的情况如下: A 为锐角 A 为钝角或直角 图形 关系式 a=bsinA bsinA<a<b a≥b a>b 解的个数 一解 两解 一解 一解 上表中 A 为锐角时,a<bsinA,无解. A 为钝角或直角时,a=b,a<b 均无解. (3)已知三边,用余弦定理,有解时,只有一解. (4)已知两边及夹角,用余弦定理,必有一解. 注意点 解三角形时注意角的范围 在利用正、余弦定理求解三角形中的三角函数问题时,要注意角 的范围与三角函数符号之间的联系. 1.思维辨析 (1)正弦定理和余弦定理对任意三角形都成立.( (2)三角形中各边和它所对角的弧度数之比相等.( (3)已知两边及其夹角求第三边,用余弦定理.( ) ) ) (4) 在△ ABC 的六个元素中,已知任意三个元素可求其他元 素.( ) (5)在△ABC 中,若 sinA>sinB,则 A>B.( ) (6)若满足条件 C=60° ,AB= 3,BC=a 的△ABC 有两个,那么 a 的取值范围是( 3,2).( 答案 ) (1)√ (2)× (3)√ (4)× (5)√ (6)√ ) 2.已知△ABC 中,a=1,b= 2,B=45° ,则 A 等于( A.150° B.90° C.60° D.30° 答案 D 1 2 1 由正弦定理,得sinA=sin45° ,得 sinA=2. 解析 又 a<b,∴A<B=45° .∴A=30° ,故选 D. 3. 在△ABC 中, A=60° , AC=2, BC= 3, 则 AB 等于________. 答案 解析 1 由余弦定理得 BC2=AC2+AB2-2AC· ABcosA, 即 3=4+AB2-2AB,即 AB2-2AB+1=0.∴AB=1. [考法综述] 正、余弦定理是每年高考的必考内容,客观题 与解答题均可出现.客观题以正、余弦定理的简单应用为主,解三角 形、判断三角形的形状,而解答题常与三角恒等变换相结合,属于解 答题中的中低档题型,难度一般不会太大. 命题法 利用正余弦定理解三角形或判断其形状 典例 (1)设△ABC 的内角 A,B,C 所对边的长分别为 a,b, ) c.若 b+c=2a,3sinA=5sinB,则角 C=( π A.3 3π C. 4 2π B. 3 5π D. 6 B a+c (2)在△ABC 中, c

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