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【世纪金榜】人教版2016第一轮复习理科数学教师用书配套习题:单元评估检测(二)函数与导数

时间:2015-08-21


单元评估检测(二)
第二章 (120 分钟 150 分) 一、选择题(本大题共 10 小题,每小题 5 分,共 50 分.在每小题给出的 四个选项中,只有一项是符合题目要求的) 1.(2015·宿州模拟)下列函数中既是奇函数,又在区间(-1,1)上是增加 的为 ( A.y=|x| C.y=ex+e-x B.y=sinx D.y=-x3 )

【解析】选 B.因为 y=|x|与 y=ex+e-x 是偶函数,y=-x3 在(-1,1)上是减少 的,y=sinx 既是奇函数且在(-1,1)上也是增加的,故选 B. 2.若函数 y=x2-3x-4 的定义域为[0,m],值域为 围是 ( A.(0,4] C. B. D. - .当 x=0 或 x=3 时,y=-4,所以 ≤m ) ,则 m 的取值范

【解析】选 C.y=x2-3x-4= ≤3.

3.(2015·西安模拟)已知函数 f(x)= 实数 a=

若 f(f(0))=4a,则

(
-1-

)

A.

B.

C.2

D.9

【解析】选 C.f(0)=20+1=2,f(f(0))=f(2)=4+2a=4a,解得 a=2. 4.函数 y=esinx(-π ≤x≤π )的大致图象为 ( )

【解析】选 D.取 x=-π,0,π这三个值,可得 y 总是 1,故排除 A,C; 当 0<x< 时,y=sinx 是增加的,y=ex 也是增加的,故 y=esinx 也是增加的, 故选 D. 【加固训练】(2015·济南模拟)函数 f(x)=lnx- x2 的图像大致是 ( )

【解析】 选 B.函数的定义域为{x|x>0},函数的导数 f′ (x)= -x= 由 f′(x)= >0 得,0<x<1,即增区间为(0,1).由 f′(x)=

,

<0 得,x>1,

即减区间为(1,+≦),所以当 x=1 时,函数取得极大值,且 f(1)=- <0,所 以选 B. 5.(2015·南昌模拟)函数 f(x)=3x|lo x|-1 的零点个数为 ( A.0 B.1 C.4 D.2 ,函数 的交点个数, )

【解析】选 D.当函数 f(x)=3x|lo x|-1=0 时,|lo x|= f(x)=3x|lo x|-1 的零点个数即为 g(x)= ,h(x)=

-2-

根据图像易知原函数的零点个数为 2,故选 D.

6.(2015·亳州模拟)方程 x3-6x2+9x-10=0 的实根个数是 ( A.3 B.2 C.1 D.0

)

【解析】选 C.设 f(x)=x3-6x2+9x-10,f′(x)=3x2-12x+9=3(x-1)(x-3), 由此可知函数的极大值为 f(1)=-6<0,极小值为 f(3)=-10<0,所以方程 x3-6x2+9x-10=0 的实根个数为 1 个. 7.(2015·广州模拟)定义在 R 上的奇函数 f(x)满足 f(x-4)=-f(x),且 在区间[0,2]上是增加的,则 ( A.f(2)<f(5)<f(8) C.f(5)<f(2)<f(8) )

B.f(5)<f(8)<f(2) D.f(8)<f(2)<f(5)

【解题提示】利用奇偶性、周期性将待比较函数值调节到同一个单调 区间上,再比较大小. 【解析】选 B.因为 f(x-4)=-f(x), 所以 f(x+8)=f(x), 所以函数 f(x)是周期函数,且周期为 8, 所以 f(8)=f(0),f(5)=-f(1)=f(-1), 因为奇函数 f(x)在区间[0,2]上是增加的, 所以函数 f(x)在区间[-2,2]上是增加的, 又因为-2<-1<0<2,所以 f(5)<f(8)<f(2). 8.(2015·长春模拟)已知函数 y=f(x)是定义在 R 上的偶函数,且当 x>0
-3-

时,不等式 f(x)+x· f′(x)<0 成立,若 a=30.2· f(30.2),b=(logπ 2)· f(log
π

2),c=

· ,则 a,b,c 间的大小关系( B.c>a>b ) C.b>a>c D.a>c>b

f A.c>b>a

【解析】选 A.由题意知,设 F(x)=xf(x),当 x>0 时,F′(x)=[xf(x)]′ =f(x)+ xf′(x)<0,即函数 F(x)在(0,+≦)上递减,又 y=f(x)在 R 上是偶函数, 则 F(x)在 R 上是奇函数,从而 F(x)在 R 上单调递减,又 30.2>1,0<logπ 2<1,log2 <0,即 30.2>logπ2>log2 ,所以 F(30.2)<F(logπ2)<F(log2 ),即 a<b<c. 9.已知 f(x)满足 f(4)=f(-2)=1,f′(x)为导函数,且导函数 y=f′(x) 的图像如图所示,则 f(x)<1 的解集是 ( )

A.(-2,0) B.(-2,4) C.(0,4) D.(-∞,-2)∪(4,+∞) 【解析】选 B.由 f′(x)的图像知,当 x<0 时,f′(x)<0,函数 y=f(x)是 减函数,当 x>0 时,f′(x)>0,函数 y=f(x)是增加的,且 f(4)=f(-2)=1, 从而 f(x)<1 的解集是(-2,4).

-4-

10.设 f(x)是定义域为 R 的偶函数,且对任意实数 x,恒有 f(x+1)=-f(x), 已知 x∈(0,1)时,f(x)=lo (1-x),则函数 f(x)在(1,2)上 ( A.是增加的,且 f(x)<0 B.是增加的,且 f(x)>0 C.是减少的,且 f(x)<0 D.是减少的,且 f(x)>0 【解析】选 D.由 f(x+1)=-f(x)得 f(x+2)=f(x),又 f(x)是定义域为 R 的偶函数,则 f(x+2)=f(x)=f(-x),则直线 x=1 是函数 f(x)的图像的一 条对称轴,又 x∈(0,1)时,f(x)=lo (1-x)是增加的,且 f(x)>0,则函数 f(x)在(1,2)上是减少的,且 f(x)>0. 二、 填空题(本大题共 5 小题,每小题 5 分,共 25 分.请把正确答案填在 题中横线上) 11.由两曲线 y=sinx(x∈[0,2π ])和 y=cosx(x∈[0,2π ])所围成的封 闭图形的面积为 . )

【解析】由 sinx=cosx 得 tanx=1,所以 x= 或 x= ,则所求面积为 S= (sinx-cosx)dx =2 .

=(-cosx-sinx) 答案:2

12.已知函数 f(x)为奇函数,当 x>0 时,f(x)=log2x,则满足不等式 f(x)>0 的 x 的取值范围是 【解析】由 log2x>0 得 x>1, .

-5-

由 log2x<0 得 0<x<1, 又函数 f(x)为奇函数,则 f(x)>0 的解集为(-1,0)∪(1,+≦). 答案:(-1,0)∪(1,+≦) 13.(2015· 宿州模拟)设函数 f(x)=log3 a 的取值范围是 【解析】f(x)=log3 的, 从而 答案:(log32,1) 14.(2015·合肥模拟)给出下列四个命题: ①函数 y=- 在 R 上单调递增;②若函数 y=x2+2ax+1 在(-∞,-1]上是减 少的,则 a≤1;③若 log0.7(2m)<log0.7(m-1),则 m>-1;④若 f(x)是定义在 R 上的奇函数,则 f(1-x)+f(x-1)=0. 其中正确的序号是 . 解得 log32<a<1. . -a=log3 -a,则函数 f(x)在(1,2)上是减少 -a 在(1,2)内有零点,则实数

【解析】 ①函数 y=- 在 R 上单调递增是错误的,只能说函数 y=- 在每一 个象限上是增加的,故①错;②若函数 y=x2+2ax+1 在(-≦,-1]上是减少 的只需满足对称轴 x=- =-a≥-1,即 a≤1,故②正确;③若 log0.7(2m)<log0.7(m-1),先注意定义域,再利用对数函数单调性解不等 式,2m>m-1,2m>0,m-1>0 三个不等式同时成立,即 m>1,故③错误;④若 f(x)是定义在 R 上的奇函数,则 f(x)+f(-x)=0 成立,把 x 重新看成 1-x 即可,便得到 f(1-x)+f(x-1)=0,故④正确. 答案:②④
-6-

15.已知定义在区间[0,1]上的函数 y=f(x)图象如图所示,对于满足 0<x1<x2<1 的任意 x1,x2 给出下列结论:

①f(x2)-f(x1)>x2-x1; ②x2f(x1)>x1f(x2); ③ <f . .(把所有正确结论的序号都填写在横

其中正确结论的序号是 线上)

【解析】由 f(x2)-f(x1)>x2-x1 可得

>1,即两点(x1,f(x1))与

(x2,f(x2))连线的斜率大于 1,显然①不正确;由 x2f(x1)>x1f(x2)得 > ,即表示两点(x1,f(x1)),(x2,f(x2))与原点连线的斜率的大小,

可以看出结论②正确;结合函数图像,容易判断③的结论是正确的. 答案:②③ 三、 解答题(本大题共 6 小题,共 75 分.解答时应写出必要的文字说明、 证明过程或演算步骤) 16.(12 分)设函数 f(x)=log3(9x)·log3(3x), ≤x≤9. (1)若 m=log3x,求 m 的取值范围. (2)求 f(x)的最值,并给出取最值时对应的 x 的值. 【解析】(1)因为 ≤x≤9,m=log3x 是增加的, 所以-2≤log3x≤2,即 m 的取值范围是[-2,2]. (2)由 m=log3x 得:
-7-

f(x)=log3(9x)·log3(3x) =(2+log3x)·(1+log3x) =(2+m)·(1+m)= 又因为-2≤m≤2, 所以当 m=log3x=- , 即 x= 时 f(x)取得最小值- , 当 m=log3x=2,即 x=9 时 f(x)取得最大值 12. 17.(12 分)设 f(x)是定义在 R 上的奇函数,且对任意实数 x,恒有 f(x+2)=-f(x).当 x∈[0,2]时,f(x)=2x-x2. (1)求证:f(x)是周期函数. (2)当 x∈[2,4]时,求 f(x)的解析式. (3)求 f(0)+f(1)+f(2)+…+f(2015)的值. 【解析】(1)因为 f(x+2)=-f(x), 所以 f(x+4)=-f(x+2)=f(x). 所以 f(x)是周期为 4 的周期函数. (2)当 x∈[-2,0]时,-x∈[0,2]. 由已知得 f(-x)=2(-x)-(-x)2=-2x-x2, 又 f(x)是奇函数, 所以 f(-x)=-f(x)=-2x-x2, 所以 f(x)=x2+2x. 又当 x∈[2,4]时,x-4∈[-2,0], 所以 f(x-4)=(x-4)2+2(x-4). - ,

-8-

又 f(x)是周期为 4 的周期函数, 所以 f(x)=f(x-4)=(x-4)2+2(x-4)=x2-6x+8. 从而求得当 x∈[2,4]时,f(x)=x2-6x+8. (3)f(0)=0,f(2)=0,f(1)=1,f(3)=-1. 又 f(x)是周期为 4 的周期函数, 所以 f(0)+f(1)+f(2)+f(3) =f(4)+f(5)+f(6)+f(7)=… =f(2008)+f(2009)+f(2010)+f(2011) =f(2012)+f(2013)+f(2014)+f(2015)=0. 所以 f(0)+f(1)+f(2)+…+f(2015)=0. 【加固训练】已知定义在实数集上的函数 f(x)满足 xf(x)为偶函 数,f(x+2)=-f(x)(x∈R),且当 1≤x≤3 时,f(x)=(2-x)3. (1)求-1≤x≤0 时,函数 f(x)的解析式. (2)求 f(2016),f(2016.5)的值. 【解析】(1)由 xf(x)为偶函数可知:f(x)是奇函数. 设-1≤x≤0,则 1≤x+2≤2, 又因为 f(x+2)=-f(x),所以 f(x)=x3. (2)f(x+2)=-f(x)? f(x)=-f(x-2), 所以 f(x+2)=f(x-2), 所以 f(x)是周期为 4 的周期函数, 所以 f(2016)=f(0)=0,f(2016.5)=f(0.5)= . 18.(12 分)(2015·重庆模拟)如图,在半径为 30cm 的 圆形(O 为圆心)

-9-

铝皮上截取一块矩形材料 OABC,其中点 B 在圆弧上,点 A,C 在两半径上, 现将此矩形铝皮 OABC 卷成一个以 AB 为母线的圆柱形罐子的侧面(不计 剪裁和拼接损耗),设矩形的边长 AB=xcm,圆柱的体积为 Vcm3.

(1)写出体积 V 关于 x 的函数解析式. (2)当 x 为何值时,才能使做出的圆柱形罐子的体积 V 最大? 【解题提示】(1)根据圆柱的体积公式求解. (2)利用导数求解. 【解析】(1)连接 OB,因为 AB=xcm, 所以 OA= cm,

设圆柱的底面半径为 rcm,则 所以 V=πr2x=π· (2)由(1)知 V= 则 V′= 由 V′= 因此 V= 在(10 . =0,得 x=10 在(0,10 , ·x= (0<x<30),

=2πr,即 4π2r2=900-x2, ,其中 0<x<30.

)上是增加的, 时,V 有最大值.

,30)上是减少的.所以当 x=10

- 10 -

19.(12 分)已知函数 f(x)=lo (x2-2ax+3). (1)若 f(x)的定义域为 R,求 a 的取值范围. (2)若 f(-1)=-3,求 f(x)的单调区间. (3)是否存在实数 a,使 f(x)在(-∞,2)上是增加的?若存在,求出 a 的范 围?若不存在,说明理由. 【解析】(1)因为 f(x)的定义域为 R, 所以 x2-2ax+3>0 对 x∈R 恒成立, 因此必有Δ<0,即 4a2-12<0. 解得<a< . , ).

故 a 的取值范围是(-

(2)由 f(-1)=-3 得 lo (4+2a)=-3. 所以 4+2a=8,所以 a=2. 这时 f(x)=lo (x2-4x+3),

由 x2-4x+3>0 得 x>3 或 x<1, 故函数定义域为(-≦,1)∪(3,+≦). 令 g(x)=x2-4x+3. 则 g(x)在(-≦,1)上是减少的,在(3,+≦)上是增加的, 又 y=lo x 在(0,+≦)上是减少的, 所以 f(x)的单调递增区间是(-≦,1),单调递减区间是(3,+≦). (3)不存在实数 a,使 f(x)在(-≦,2)上是增加的,理由如下: 令 g(x)=x2-2ax+3,要使 f(x)在(-≦,2)上是增加的,应使 g(x)在(-≦,2) 上是减少的,且恒大于 0.

- 11 -

因此



a 无解.

所以不存在实数 a,使 f(x)在(-≦,2)上是增加的. 20.(13 分)(2015·池州模拟)已知 f(x)=xlnx,g(x)=-x2+mx-3. (1)求 f(x)在[t,t+2](t>0)上的最小值. (2)若对一切 x∈(0,+∞),2f(x)≥g(x)成立,求实数 m 的取值范围. 【解析】(1)f′(x)=lnx+1,令 f′(x)=0,得 x= . 当 x∈ 当 x∈ ,f′(x)<0,f(x)是减少的; ,f′(x)>0,f(x)是增加的.

因为 t>0,t+2>2> , ①当 0<t< 时,f(x)min=f =- ;

②当 t≥ 时,f(x)min=f(t)=tlnt. 所以 f(x)min= (2)由 2xlnx≥-x2+mx-3 得 m≤2lnx+x+ . 设 h(x)=2lnx+x+ (x>0), 则 h′(x)= .

令 h′(x)=0,得 x=1 或 x=-3(舍), 当 x∈(0,1)时,h′(x)<0,h(x)是减少的; 当 x∈(1,+≦)时,h′(x)>0,h(x)是增加的, 所以 h(x)min=h(1)=4. 所以 m≤h(x)min=4. 【误区警示】解答本题第(2)问时,易忽略 x>0 的条件,导致求导数的方

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程时产生增根. 21.(14 分)(2015·景德镇模拟)设函数 f(x)=lnx- ax2-bx. (1)当 a=b= 时,求函数 f(x)的最大值. (2)令 F(x)=f(x)+ ax2+bx+ (0<x≤3)其图像上任意一点 P(x0,y0)处切线 的斜率 k≤ 恒成立,求实数 a 的取值范围. 【解析】(1)依题意知 f(x)的定义域为(0,+≦), 当 a=b= 时,f(x)=lnx- x2- x, f′(x)= - x- = ,

令 f′(x)=0,解得 x=1.(因为 x>0) 当 0<x<1 时,f′(x)>0,此时 f(x)是增加的; 当 x>1 时,f′(x)<0,此时 f(x)是减少的, 所以 f(x)的极大值为 f(1)=- ,即为最大值. (2)F(x)=lnx+ ,x∈(0,3],则有 k=F′(x0)= 立, 所以 a≥ 当 x0=1 时,所以 a≥ . ,x0∈(0,3]; +x0 取得最大值 , ≤ ,在 x0∈(0,3]上恒成

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