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2010年广州市普通高中毕业班综合测试(二)理科数学

时间:2013-05-10


2010年广州市普通高中毕业班综合测试(二)
数学
注意事项: 1.答卷前,考生务必用2B铅笔在“考生号”处填涂考生号。用黑色字迹的钢笔或签 字笔将自己所在的市、县/区、学校以及自己的姓名和考生号、试室号、座位号填写 存答题卡上。用2B铅笔将试卷类型(A)填涂在答题卡相应位置上。 2.选择题每小题选出答案后,用2B铅笔把答题卡上对应题目选项的答案信息点涂黑; 如需改动,用橡皮擦干净后,再选涂其他答案,答案不能答在试卷上。 3.非选择题必须用黑色字迹的钢笔或签字笔作答,答案必须写在答题卡各题目指定区 域内的相应位置上;如需改动,先划掉原来的答案,然后再写上新的答案;不准使 用铅笔和涂改液。不按以上要求作答的答案无效。 4.作答进做题时,请先用2B铅笔填涂选做题的题号对应的信息点,再作答。漏涂、错涂、多涂的,答案 无效。 5.考生必须保持答题卡的整洁。考试结束后,将试卷和答题卡一并交回。 一、选择题:本大题共8小题,每小题5分,满分40分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题 目要求的。 1.已知i为虚数单位,若复数(a—1)+(a+1)i为实数,则实数a的值为 A. -l B O C l D不确定 2.已知全集U=AUB中有m个元素,(CuA)u(CuB)中有n个元素,若 A ? B 非空,则 A ? B 的元素个数为 A mn B.m+n C m-n D n-m 3.已知向量 a ? (sin x, cos x) ,向量 b ? (1, 3) ,则 a ? b 的最大值为 A 1 B 3 C 3 D 9 4.若m,n是互不相同的空间直线, a 是平面,则下列命题中正确的是 A、 若m//n,n ? a,则m//a B、 若m//n,n//a,则m//a C、 若m//n,n ? a,则m ? a D、 若m ? n,n ? a,则m ? a 5.在如图1所示的算法流程图中,若 f ( x) ? 2x , g ( x) ? x3 ,则 h(2) 的值为

(理)

2010.4

本试卷共8页,21小题,满分150分。考试用时120分钟。

(注:框图中的赋值符号“=”也可以写成“ ?”或“=”) A.9 B.8 C.6 D.4

? x ? y ? 1 ? 0, ? 6.已知点 p ( x, y ) 的坐标满足 ? x ? y ? 3 ? 0, O为坐标原点,则 PO 的最小值为 ? x ? 2. ?
A、

2 2

B、

3 2 2

C、 5

D、 13

7.已知函数 f ( x) ? x sin x ,若 x1 , x2 ? ? ? A、 x1 ? x2 B、 x1 ? x2

? ? ?? 且 f ( x1 ) ? f ( x2 ) ,则下列不等式中正确的是 , ? 2 2? ? 2 2 C、 x1 ? x2 ? 0 D、 x1 ? x2

8.一个人以6米/秒的匀速度去追赶停在交通灯前的汽车,当他离汽车25米时交通灯由红变绿,汽车开 始作变速直线行驶(汽车与人的前进方向相同),汽车在时刻t的速度为v(t)=t米/秒,那么,此人 A、可在7秒内追上汽车 B、可在9秒内追上汽车 C、不能追上汽车,但其间最近距离为14米 D、不能追上汽车,但其间最近距离为7米 二、填空题:本大题共7小题,考生作答6小题,每小题5分,满分30分. (一)必做题(9-13题) 9.若函数 f ( x) ? cos( wx ) cos( 10.已知椭圆C的离心率 e ?

?
2

? wx)( w ? 0) 的最小正周期为丌,则w的值为__________.

3 ,且它的焦点与双曲线 x 2 ? 2 y 2 ? 4 的焦点重合,则椭圆C的方程为 2

_____________________. 11.甲、乙两工人在一天生产中出现废品数分别是两个随机变量 ? 、? ,其分布列分别为:

若甲、乙两人的日产量相等,则甲、乙两人中技术较好的是_________. 12.图2是一个有n层(n≥2)的六边形点阵,它的中心是一个点,算作第一层,第2层每边有2个点,第3 层每边有3个点,?,第n层每边有n个点,则这个点阵的点数共有____个.

n 2 13.已知 ( x ? ) 的展开式中第5项的系数与第3项的系数比为56:3,则该展开式中 x 的系数为

2 x

________. (二)选做题(14-15题,考生只能从中选做一题) 14.(坐标系与参数方程选做题)已知直线l的参数方程为 ?

? x ? 1? t (参数t ? R) , ? y ? 4 ? 2t

圆C的参数方程为 ?

? x ? 2cos ? ? 2 (参数? ? ?0, 2? ?) , ? y ? 2sin ?

则直线l被圆C所截得的弦长为______________. 15.(几何证明选讲选做题)如图3,半径为5的圆O的两条弦AD和BC相交于点P, OD ? BC ,P为AD的 中点,BC=6,则弦AD的长度为_____________.

三、解答题:本大题共6小题,满分80分.解答须写出文字说明、证明过程和演算步骤. 16.(本小题满分12分) 已知 tan(

?
4

? a) ? 2, tan ? ?

(1)求 tan ? 的值; (2)求

1 . 2

sin(? ? ? ) ? 2sin ? cos ? 的值. 2sin ? sin ? ? cos(? ? ? )

17.(本小题满分12分) 如图4,在直角梯形ABCD中, ?ABC ? ?DAB ? 90? , ?CAB ? 30? ,BC=1.AD=CD,把 ?DAC 沿对 角线AC折起后如图5所示(点D记为点P),点P在平面ABC上的正投影E落在线段AB上,连接PB. (1)求直线PC与平面PAB所成的角的大小; (2)求二面角P-AC-B的大小的余弦值.

18.(本小题满分14分) 一射击运动员进行飞碟射击训练, 每一次射击命中飞碟的概率p与运动员离飞碟的距离S (米) 成反比, 每一个飞碟飞出后离运动员的距离s(米)与飞行时间t(秒)满足 s ? 15(t ? 1)(0 ? t ? 4) ,每个飞碟允许该运动员射击两次(若第一次射击命中,则不再进行第二次射击). 该运动员在每一个飞碟飞出0.5秒时进行第一次射击,命中的概率为

4 ,当第一次射击没有命中飞碟,则 5

在第一次射击后0.5秒进行第二次射击,子弹的飞行时间忽略不计. (1)在第一个飞碟的射击训练时, 若该运动员第一次射击没有命中, 求他第二次射击命中飞碟的概率; (2)求第一个飞碟被该运动员命中的概率; (3)若该运动员进行三个飞碟的射击训练(每个飞碟是否被命中互不影响),求他至少命中两个飞碟 的概率. 19.(本小题满分14分)

已知抛物线C: x2 ? 2 py( p ? 0) 的焦点为F,A、B是抛物线C上异于坐标原点O的不同两 点,抛物线C在点A、B处的切线分别为 l1 、 l2 ,且 l1 ? l2 , l1 与 l2 相交于点D. (1)求点D的纵坐标; (2)证明:A、B、F三点共线; (3)假设点D的坐标为 ( , ?1) ,问是否存在经过A、B两点且与 l1 、 l2 都相切的圆,若存在,求出该同的 方程;若不存在,请说明理由. 20(本小题满分l4分)
3 2

3 2





。。

? , ? (? ? ? ) ,函数f(x)在区间 ?? , ? ? 上是单调的.
(1)求a的值和b的取值范围;

已知函数 f ( x) ? x ? x ? ax ? b(a, b ? R) 的一个极值点为x=1.方程 ax 2 ? x ? b ? 0 的两个实根为

(2)若 x1 , x2 ??? , ? ? ,证明: f ( x1 ) ? f ( x2 ) ? 1.

21(本小题满分14分) 已知数列{an}和{bn}满足 a1 ? b1 ,且对任意 n ? N 都有 an ? bn ? 1,
*

an?1 b ? n2 . an 1 ? an

(l)求数列{an}和{bn}的通项公式; (2)证明:

a a a2 a3 a4 a a a ? ? ? ? ? n?1 ? ln(1 ? n) ? 1 ? 2 ? 3 ? ? ? n . b2 b3 b4 bn?1 b1 b2 b3 bn

2010 年广州市普通高中毕业班综合测试(二)

数学(理科)试题参考答案及评分标准
说明: 参考答案与评分标准指出了每道题要考查的主要知识和能力, 1. 并给出了一种或几种解法供参考, 如果考生的解法与参考答案不同,可根据试题主要考查的知识点和能力比照评分标准给以相应的 分数. 2.对解答题中的计算题,当考生的解答在某一步出现错误时,如果后继部分的解答未改变该题的 内容和难度,可视影响的程度决定后继部分的得分,但所给分数不得超过该部分正确解答应得分 数的一半;如果后继部分的解答有较严重的错误,就不再给分. 3.解答右端所注分数,表示考生正确做到这一步应得的累加分数. 4.只给整数分数,选择题和填空题不给中间分. 一、选择题:本大题主要考查基本知识和基本运算.共 8 小题,每小题 5 分,满分 40 分. 题号 答案 1 A 2 C 3 C 4 C 5 B 6 B 7 D 8 D

二、填空题:本大题主要考查基本知识和基本运算.本大题共 7 小题,考生作答 6 小题,每小题 5 分,满 分 30 分.其中 14~15 题是选做题,考生只能选做一题. 9.1 10.

x2 y 2 ? ?1 8 2

11. 乙

2 12. 3n ? 3n ? 1

13. 180

14.

8 5 5

15. 2 5

三、解答题:本大题共6小题,满分80分.解答须写出文字说明、证明过程和演算步骤. 16. (本小题满分 12 分) (本小题主要考查两角和与差的三角公式等知识, 考查化归与转化的数学思想方法和运算求解能力)

?? ? (1)解法 1:∵ tan ? ? ? ? ? 2 , ?4 ?
1 ? tan ? ? 2. 1 ? tan ?
解得 tan ? ?

tan


?

4

? tan ?

1 ? tan
1 . 3

?
4

? 2.

?2 分

tan ?



?4 分

解法 2:∵ tan ?

?? ? ?? ? ? 2 , ?4 ?
1 . 3

∴ tan ? ? tan ??

?? ? ? ?? ?? ? ? ? ? 4? ?? 4

? ?? ? tan ? ? ? ? ? tan 4 ?4 ? ? ? ?? ? 1 ? tan ? ? ? ? tan 4 ?4 ?

?2 分

?

2 ?1 1 ? 2 ?1

?

?4 分

(2)解:

sin ?? ? ? ? ? 2sin ? cos ?

2sin ? sin ? ? cos ?? ? ? ?
?

?

sin ? cos ? ? cos ? sin ? ? 2sin ? cos ? 2sin ? sin ? ? cos ? cos ? ? sin ? sin ?
?8 分

?6 分

?

cos ? sin ? ? sin ? cos ? cos ? cos ? ? sin ? sin ?

s i n ? ?? ? ? c o s ? ?? ? ?

? t a n ? ?? ? ? ?

tan ? tan ? ? 1 ? t a n t ?n ? a

?10 分

1 1 ? 2 3 ? 1. ? 1 1 7 1? ? 2 3

?12 分

17. (本小题满分 12 分) (本小题主要考查空间线面关系、空间角等知识, 考查数形结合、化归与转化的数学思想方法,以及空 间想象能力、推理论证能力和运算求解能力) 方法一: (1) 解:在图 4 中, ∴ AB ? ∵ ?ABC ? ?DAB ? 90? , ?CAB ? 30? , BC ? 1,

BC 1 ? ? 3, ? tan 30 3 3

AC ?

BC 1 ? ? 2 , ?DAC ? 60? . ? 1 sin 30 2
?2 分

∵ AD ? CD ,
D

∴△ DAC 为等边三角形. 在图 5 中,

∴ AD ? CD ? AC ? 2 .

∵点 E 为点 P 在平面 ABC 上的正投影,
C

∴ PE ? 平面 ABC .∵ BC ? 平面 ABC ,∴ PE ? BC . ∵ ?CBA ? 90 , ∴ BC ? AB .∵ PE ? AB ? E, PE ? 平面 PAB , AB ? 平面 PAB , ∴ BC ? 平面 PAB .(数学驿站 www.maths168.com) ∴ ?CPB 为直线 PC 与平面 PAB 所成的角. 在 Rt△ CBP 中, BC ? 1, PC ? DC ? 2 , ∴ sin ?CPB ? ?4 分
A
?

图4
B

P

BC 1 ? . PC 2

? ? ∵ 0 ? ?CPB ? 90 ,

? ? ∴ ?CPB ? 30 .∴直线 PC 与平面 PAB 所成的角为 30 . ?6 分

(2) 解:取 AC 的中点 F , 连接 PF , EF .∵ PA ? PC , ∴ PF ? AC .∵ PE ? 平面 ABC , AC ? 平面 ABC , ∴ PE ? AC .∵ PF ? PE ? P, PF ? 平面 PEF , PE ? 平面 PEF , ∴ AC ? 平面 PEF .∵ EF ? 平面 PEF ,∴ EF ? AC . ∴ ?PFE 为二面角 P ? AC ? B 的平面角. 在 Rt△ EFA 中, AF ?
? ∴ EF ? AF ? tan 30 ?

A

F

C

E B

图5
?8 分

1 AC ? 1, ?FAE ? 30? , 2

3 2 3 , AE ? EF 2 ? AF 2 ? . 3 3

在 Rt△ PFA 中, PF ?

PA2 ? AF 2 ? 22 ?12 ? 3 .

3 EF 1 1 ? 3 ? .∴二面角 P ? AC ? B 的大小的余弦值为 . ?12 分 在 Rt△ PEF 中, cos ?PFE ? 3 PF 3 3
方法二: 解:在图 4 中, ∵ ?ABC ? ?DAB ? 90? , ?CAB ? 30? , BC ? 1, ∴ AB ?

BC 1 ? ? 3, ? tan 30 3 3

AC ?

BC 1 ? ? 2 , ?DAC ? 60? . ? 1 sin 30 2
∴ AD ? CD ? AC ? 2 . ?2 分
D

∵ AD ? CD ,∴△ DAC 为等边三角形. 在图 5 中,

∵点 E 为点 P 在平面 ABC 上的射影,

∴ PE ? 平面 ABC .∵ BC ? 平面 ABC ,∴ PE ? BC . ∵ ?CBA ? 90? , ∴ BC ? AB .∵ PE ? AB ? E, PE ? 平面 PAB , AB ? 平面 PAB , ∴ BC ? 平面 PAB . 连接 EC , 在 Rt△ PEA 和 Rt△ PEC 中, PA ? PC ? 2, PE ? PE , ∴Rt△ PEA ? Rt△ PEC .∴ EA ? EC . ∴ ?ECA ? ?EAC ? 30 .∴ ?CEB ? 60 . 在 Rt△ CBE 中, EB ?
? ?

图4
C

?4 分
A B

z P

BC 1 3 . ? ? ? tan 60 3 3
y A C

∴ AE ? AB ? EB ?

2 3 . 3

在 Rt△ PEA 中, PE ?

PA2 ? AE 2 ?

2 6 . 3

?6 分
E B x 图5

以点 E 为原点, EB 所在直线为 x 轴,与 BC 平行的直线为 y 轴,

EP 所在直线为 z 轴,建立空
间直角坐标系 E ? xyz ,则 E ? 0,0,0? , A ? ?

? 2 3 ? ? 3 ? ? 3 ? , 0, 0 ? , B ? ? ? ? 3 , 0, 0 ? , C ? 3 ,1, 0 ? , ? ? ? 3 ? ? ? ? ? ?

??? ? ??? ? ? ??? ? 3 ? ? 2 6 ? ???? 2 6? 2 6? P ? 0, 0, ,1, ? ? .∴ BC ? ? 0,1,0 ? , EP ? ? 0, 0, ? , AC ? 3,1, 0 , PC ? ? ?. ? ? 3 ? 3 ? 3 ? 3 ? ? ? ? ? ? ? ??? ??? ? ? ??? ??? ? ? ??? ??? ? ? BC ?PC 1 ? (1)∵ cos BC , PC ? ??? ??? ? , ∴ BC , PC ? 30 . ∴ 直线 PC 与平面 PAB 所成的角为 ? ? 2 BC PC

?

?

30? .?9 分
(2) 设平面 PAC 的法向量为 n ? ? x, y, z ? ,

???? ?n?AC ? 0, ? 由 ? ???? ?n?PC ? 0. ?

? 3 x ? y ? 0, ? 得? 3 2 6 x? y? z ? 0. ? 3 ? 3

? 2? 2 . ∴n ? ? 1, ? 3, ? ? 为平面 PAC 的一个法向量. ? 2 ? 2 ? ? ??? ? ??? ? ??? ? ? n?EP 1 2 6? ∵ EP ? ? 0, 0, ??? ? ? . ? ? 为平面 ABC 的一个法向量, ∴ cos n, EP ? ? 3 3 ? n EP ? ?
令 x ?1, 得 y ? ? 3 , z ? ? ∵二面角 P ? AC ? B 的平面角为锐角, ∴二面角 P ? AC ? B 的平面角的余弦值为 18. (本小题满分 14 分) (本小题主要考查古典概型、二项分布等知识, 算求解能力和应用意识) (1)解:依题意设 p ? 考查或然与必然的数学思想方法,以及数据处理能力、运 ?2 分

1 .?12 分 3

k k ( k 为常数 ) ,由于 s ? 15 ?t ?1??0 ? t ? 4 ? ,∴ p ? ? 0 ? t ? 4? . s 15 ? t ? 1? 4 k 4 , 则 ? ,解得 k ? 18 . 5 5 15 ? ? 0.5 ? 1?
?4 分

当 t ? 0.5 时, p1 ? ∴p?

18 6 ? ? 0 ? t ? 4? . 15 ? t ? 1? 5 ? t ? 1?

当 t ? 1 时, p2 ?

6 3 3 ? .∴该运动员第二次射击命中飞碟的概率为 . 5 5? 2 5

?6 分

(2) 解:设“该运动员第一次射击命中飞碟”为事件 A ,“该运动员第二次射击命中飞碟”为事 件 B ,则“第一个飞碟被该运动员命中”为事件: A ? AB . ∵ P ? A? ? ?7 分

4 3 , P ? B? ? , 5 5

∴ P A ? AB ? P ? A ? ? P A P ? B ?

?

?

? ?

?

4 ? ? ?1 ? 5 ?

4? 3 2 3 . ?? ? 5? 5 2 5
?10 分

∴第一个飞碟被该运动员命中的概率为

23 . 25

(3) 解:设该运动员进行三个飞碟的射击训练时命中飞碟的个数为 ? , 则 ? ? B ? 3, ∴至少命中两个飞碟的概率为 P ? P ?? ? 2? ? P ?? ? 3? ?12 分 ?14 分

? ?

23 ? ?. 25 ?

2 ? 23 ? 15341 ? 23 ? 2 . ? C 3 p2 ?1 ? p ? + C 3 p 3 ? 3 ? ? ? ? ? ? ? ? 3 ? 25 ? 25 ? 25 ? 15625

2

3

19. (本小题满分 14 分) (本小题主要考查直线、圆、抛物线、曲线的切线等知识, 学思想方法,以及推理论证能力和运算求解能力) (1) 解:设点 A 、 B 的坐标分别为 ? x1 , y1 ? 、 ? x2 , y2 ? , ∵ l1 、 l2 分别是抛物线 C 在点 A 、 B 处的切线, ∴直线 l1 的斜率 k1 ? y '
x ? x1

考查数形结合、化归与转化、函数与方程的数

?

x1 ,直线 l2 的斜率 k2 ? y ' p
得 x1 x2 ? ? p2 . ①

x ? x2

?

x2 . p

∵ l1 ? l2 , ∴ k1k2 ? ?1,

?2 分

2 x12 x2 ∵ A 、 B 是抛物线 C 上的点,∴ y1 ? , y2 ? . 2p 2p

∴ 直线 l1 的方程为 y ?

x12 x1 x2 x ? ? x ? x1 ? ,直线 l2 的方程为 y ? 2 ? 2 ? x ? x2 ? . 2p p 2p p
x1 ? x2 ? ?x ? 2 , p ? 解得 ? ∴点 D 的纵坐标为 ? . 2 ?y ? ? p . ? ? 2
? ? p? ?. 2?

? x2 x y ? 1 ? 1 ? x ? x1 ? , ? 2p p ? 由? 2 ? y ? x2 ? x2 ? x ? x ? , 2 ? 2p p ?

?4 分

(2) 证法 1:∵ F 为抛物线 C 的焦点, ∴ F ? 0,

∴ 直线 AF 的斜率为 k AF

x12 p p ? y1 ? 2 2 2 ? 2 p 2 ? x1 ? p , ? x1 ? 0 x1 2 px1

直线 BF 的斜率为 kBF

2 x2 p p ? y2 ? 2 2 2 2 2 2 2 ? 2 p 2 ? x2 ? p .∵ k ? k ? x1 ? p ? x2 ? p ? AF BF 2 px1 2 px2 x2 ? 0 x2 2 px2

?6 分

?

2 x2 ? x12 ? p 2 ? ? x1 ? x2 ? p 2 ?

2 px1 x2

x1 x2 ? x1 ? x2 ? ? p 2 ? x1 ? x2 ? ? p2 ? x1 ? x2 ? ? p 2 ? x1 ? x2 ? ? 0. ? ? 2 px1 x2 2 px1 x2
?8 分

∴ k AF ? kBF .∴ A 、 B 、 F 三点共线. 证法 2:∵ F 为抛物线 C 的焦点,

??? ? ? p 2 ? x12 ? p x12 ? ? ? p? ∴ F ? 0, ? . ∴ AF ? ? ? x1 , ? ? ? ? ? x1 , ?, 2 2p ? ? 2p ? ? 2? ?

2 ??? ? ? p 2 ? x2 p x2 ? ? BF ? ? ? x2 , ? 2 ? ? ? ? x2 , 2 2p ? ? 2p ?

? ?. ?

p 2 ? x12 p2 ? x2 ? x x ? x2 x 2p ? 2 12 ? 1 2 12 ? 1 , ∵ 2 p 2 ? x2 p ? x2 ? x1 x2 ? x2 x2 2p
∴ A 、 B 、 F 三点共线. ?8 分

?6 分∴ AF // BF .

??? ??? ? ?

证法 3:设线段 AB 的中点为 E , 则 E 的坐标为 ? 抛物线 C 的准线为 l : y ? ?

? x1 ? x2 y1 ? y2 ? , ?. 2 ? ? 2
y

p . 2

作 AA ? l , BB1 ? l , 垂足分别为 A1 , B1 . 1 ∵ 由(1)知点 D 的坐标为 ?

B E

p? ? x1 ? x2 ,? ?, 2? ? 2

F
A

O D

x

∴ DE ? l .∴ DE 是直角梯形 AA B1B 的中位线. 1 ∴ DE ?

A1

B1

l

1 ? AA1 ? BB1 ? . 2

?6 分

根据抛物线的定义得: AA ? AF , BB1 ? BF ,∴ DE ? 1 ∵ AD ? DB , E 为线段 AB 的中点,∴ DE ? ∴ A 、 B 、 F 三点共线. (3)解: 不存在. 证明如下: 假设存在符合题意的圆,设该圆的圆心为 M , ?8 分

1 ? AA1 ? BB1 ? ? 1 ? AF ? BF ? . 2 2

1 1 1 AB .∴ AB ? ? AF ? BF ? ,即 AB ? AF ? BF . 2 2 2

依题意得 MA ? AD, MB ? BD ,且 MA ? MB , 10 分

由 l1 ? l2 ,得 AD ? BD .∴ 四边形 MADB 是正方形.∴ AD ? BD . ∵点 D 的坐标为 ?

p ?3 ? , ?1? , ∴ ? ? ?1 ,得 p ? 2 . 2 ?2 ?
2

把点 D ?

x x ?3 ? ?3 ? , ?1? 的坐标代入直线 l1 , 得 ?1 ? 1 ? 1 ? ? ? x1 ? 解得 x1 ? 4 或 x1 ? ?1 , 4 2 ?2 ?2 ? ?
? ? 1? 4? ? ? 1? 4?

∴点 A 的坐标为 ? 4, 4 ? 或 ? ?1, ? .同理可求得点 B 的坐标为 ? 4, 4 ? 或 ? ?1, ? . 由于 A 、 B 是抛物线 C 上的不同两点,不妨令 A ? ?1, ? , B ? 4,4? .

? ?

1? 4?

3? ?1 ? 125 ? ∴ AD ? ? ?1 ? ? ? ? ? 1? ? , 2? ?4 ? 16 ?

2

2

3? 125 2 ? BD ? ? 4 ? ? ? ? 4 ? 1? ? . ?13 分 2? 4 ?

2

∴ AD ? BD , 这与 AD ? BD 矛盾. ∴经过 A 、 B 两点且与 l1 、 l2 都相切的圆不存在. 20. (本小题满分 14 分) (本小题主要考查函数和方程、 函数导数、 不等式等知识, 考查函数与方程、 化归与转化的数学思想方法, 以及抽象概括能力、推理论证能力和运算求解能力) (1) 解:∵ f ? x ? ? x ? x ? ax ? b ,
3 2
3 2

?14 分

∴f

'

? x? ? 3x2 ? 2x ? a .
'

∵ f ? x ? ? x ? x ? ax ? b 的一个极值点为 x ? 1 , ∴ a ? ?1 . 当 x ? ? 时, f ?2 分
'

∴ f ?1? ? 3?1 ? 2 ?1 ? a ? 0 .
2

∴f

'

? x? ? 3x2 ? 2x ? 1 ? ?3x ? 1?? x ? 1? ,
f ' ? x ? ? 0 ;当 x ? 1 时, f ' ? x ? ? 0 ;

1 3

? x? ? 0 ;当 ? 3 ? x ? 1 时,
1?

1

∴函数 f ? x ? 在 ? ??, ? ? 上单调递增, 在 ? ? ,1? 上单调递减,在 ?1, ?? ? 上单调递增. 3? ? ? 3 ?
2 2 ∵方程 ax ? x ? b ? 0 的两个实根为 ? , ? , 即 x ? x ? b ? 0 的两根为 ? , ?

?

? 1 ?

?? ? ? ? ,

∴? ?

1 ? 1 ? 4b 1 ? 1 ? 4b . ∴ ? ? ? ? 1, ?? ? ?b , ? ? ? ? ? 1 ? 4b . ?4 分 ,? ? 2 2

∵ 函数 f ? x ? 在区间 ?? , ? ? 上是单调的, ∴区间 ?? , ? ? 只能是区间 ? ??, ? ? , ? ? ,1? , ?1, ?? ? 之一的子区间. 3 3 由于 ? ? ? ? 1, ? ? ? ,故 ?? , ? ? ? ? ? ,1? . 若 ? ? 0 ,则 ? ? ? ? 1,与 ? ? ? ? 1 矛盾.
2 ∴ ?? , ? ? ? ?0,1? .∴方程 x ? x ? b ? 0 的两根 ? , ? 都在区间 ?0,1? 上.

? ?

1? ? 1 ? ? ? ?
? 1 ? ? 3 ?

6分

令 g ? x ? ? x ? x ? b , g ? x ? 的对称轴为 x ?
2

1 ? ? 0,1? , 2

? g ? 0 ? ? ?b ? 0, 1 ? ? 1 ? 则 ? g ?1? ? ?b ? 0, 解得 ? ? b ? 0 .∴实数 b 的取值范围为 ? ? , 0 ? . 4 ? 4 ? ? ? ? 1 ? 4b ? 0. ?

?8 分

说明:6 分至 8 分的得分点也可以用下面的方法.
∵? ?

1 ? 1 ? 4b 1 1 ? 1 ? 4b 1 ? ,? ? ? 且函数 f ? x ? 在区间 ?? , ? ? 上是单调的, 2 2 2 2

?1 ? 1 ? 4b 1 ?? , ? 1 ? 2 3 ? ?? ? ? 3 , ?1 ? 1 ? 4b ? ? ? 1 ? ? 1, ∴ ?? , ? ? ? ? ? ,1? .由 ? ? ? 1, 即? 2 ? 3 ? ? ? ? ? 1 ? 4b ? 0. ?1 ? 4b ? 0. ? ? ? ? ?
解得 ?

?6 分

1 ? 1 ? ? b ? 0 . ∴实数 b 的取值范围为 ? ? , 0 ? . 4 ? 4 ?

?8 分

(2)证明:由(1)可知函数 f ? x ? 在区间 ?? , ? ? 上单调递减, ∴函数 f ? x ? 在区间 ?? , ? ? 上的最大值为 f ∵ x1 , x2 ??? , ? ? ,

?? ? ,

最小值为 f

?? ? .

∴ f ? x1 ? ? f ? x2 ? ? f ?? ? ? f ? ? ?

? ? ? 3 ? ? 2 ? ? ? b ? ? ? ? 3 ? ? 2 ? ? ? b ? ? ? ? 3 ? ? 3 ? ? ?? 2 ? ? 2 ? ? ?? ? ? ?
2 ? ?? ? ? ? ??? ? ? ? ? ?? ? ?? ? ? ? ? 1? ? ? 1 ? 4b ? ? b ? 1? ? ?

? 1 ? 4b ? ?1 ? b ? .
令 t ? 1 ? 4b , 则 b ? 设 h ?t ? ?
' ∴ h ?t ? ?

?10 分

1 2 ? t ? 1? , 1 ? 4b ? ?1 ? b ? ? 1 ? 5t ? t 3 ? . 4 4
∵?

1 ? 5t ? t 3 ? , 则 h' ? t ? ? 1 ? 5 ? 3t 2 ? . 4 4 1 ? 5 ? 3t 2 ? ? 0 . 4
∴ ∴函数 h ? t ? ?

1 ?b?0, 4

∴0 ? t ?1.

1 ? 5t ? t 3 ? 在 ? 0,1? 上单调递增.?12 分 4
?14 分

∴ h ?t ? ? h ?1? ? 1 . 21. (本小题满分 14 分)

f ? x1 ? ? f ? x2 ? ? 1 .

(本小题主要考查导数及其应用、数列、不等式等知识, 考查化归与转化、分类与整合的数学思想方法, 以及抽象概括能力、推理论证能力、运算求解能力和创新意识) (1)解:∵对任意 n?N 都有 an ? bn ? 1 ,
*

an?1 b ? n2, an 1 ? an




an?1 b 1 ? an 1 . ? n2 ? ? 2 an 1 ? an 1 ? an 1 ? an

1 1 1 1 ? ? 1 ,即 ? ?1. an?1 an an ?1 an

?2 分

∴数列 ?

?1? 1 ? 是首项为 ,公差为 1 的等差数列. a1 ? an ?
1 . 2


∵ a1 ? b1 , 且 a1 ? b1 ? 1,

∴ a1 ? b1 ?

1 ? 2 ? ? n ? 1? ? n ? 1 . an

?4 分

∴ an ?

1 , n ?1

bn ? 1 ? an ?

n . n ?1


?6 分

(2)证明: ∵ an ?

1 , n ?1

bn ?

n , n ?1

an 1 ? . bn n

∴所证不等式

a a a2 a3 a4 a a a ? ? ? ? ? n?1 ? ln ?1 ? n ? ? 1 ? 2 ? 3 ? ? ? n , b2 b3 b 4 bn ?1 b1 b2 b 3 bn



1 1 1 1 1 1 1 ? ? ?? ? ? ln ?1 ? n ? ? 1 ? ? ? ? ? . 2 3 4 n ?1 2 3 n 1 1 1 ? ??? . 2 3 n 1 x ' ?1 ? ? .当 x ? 0 时, f ? x ? ? 0 , 1? x 1? x

① 先证右边不等式: ln ?1 ? n ? ? 1 ?

' 令 f ? x ? ? ln ?1 ? x ? ? x , 则 f ? x ? ?

所以函数 f ? x ? 在 ?0,??? 上单调递减. ∴当 x ? 0 时, f ? x ? ? f ? 0? ? 0 , 分别取 x ? 1, 即 ln ?1 ? x ? ? x . ?8 分

1 1 1 , ,? , . 2 3 n

得 ln ?1 ? 1? ? ln ?1 ? 即 ln ??1 ? 1?? 1 ? ?

? ?

1? 1 1 1 ? 1? ? 1? ? ? ln ?1 ? ? ? ? ? ln ?1 ? ? ? 1 ? ? ? ? ? . 2? 2 3 n ? 3? ? n?

? ?

? ?

1? ? 1? 1 1 1 ? 1 ?? ?? ?? 1 ? ?? ?1 ? ? ? ? 1 ? ? ? ? ? . ? 2? ? 3? 2 3 n ? n ??

也即 ln ? 2 ?

? ?

3 4 n ?1? 1 1 1 ? ??? ? ? 1? ? ??? . 2 3 n ? 2 3 n
1 1 1 ? ??? . 2 3 n
?10 分

即 ln ?1 ? n ? ? 1 ?

② 再证左边不等式:

1 1 1 1 ? ? ??? ? ln ?1 ? n ? . 2 3 4 n ?1 x 1 1 x , 则 f ' ? x? ? . ? ? 2 2 1? x 1 ? x ?1 ? x ? ?1 ? x ?

令 f ? x ? ? ln ?1 ? x ? ? 当 x ? 0 时, f
'

? x? ? 0 ,
即 ln ?1 ? x ? ?

所以函数 f ? x ? 在 ?0,??? 上单调递增. ∴当 x ? 0 时, f ? x ? ? f ? 0? ? 0 , 分别取 x ? 1,

x . 1? x

?12 分

1 1 1 , ,? , . 2 3 n

得 ln ?1 ? 1? ? ln ?1 ? 即 ln ??1 ? 1?? 1 ? ?

? ?

1? 1 ? 1? ? 1? 1 1 . ? ? ln ?1 ? ? ? ? ? ln ?1 ? ? ? ? ? ? ? 2? 1? n ? 3? ? n? 2 3

? ?

? ?

1 1? ? 1? ? 1 ?? 1 1 ?? ?? 1 ? ?? ?1 ? ? ? ? 2 ? 3 ? ? ? 1 ? n . ? 2? ? 3? ? n ??
即 ln ?1 ? n ? ?

也即 ln ? 2 ? ∴

? ?

3 4 n ?1? 1 1 1 . ? ??? ? ? ? ??? 2 3 n ? 2 3 1? n

1 1 1 ? ??? . 2 3 1? n
?14 分

a a a2 a3 a4 a a a ? ? ? ? ? n?1 ? ln ?1 ? n ? ? 1 ? 2 ? 3 ? ? ? n . b2 b3 b 4 bn ?1 b1 b2 b 3 bn


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