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历届国际物理奥林匹克竞赛试题与解答第5届

时间:2010-04-25


历届国际物理奥林匹克竞赛试题与解答第 5 届
(1971 年于保加利亚的索菲亚) 【题 1】质量为 m1 和 m2 的物体挂在绳子的两端, 的滑轮,如图 5.1.斜面质量为 m,与水平面的夹角为 初态静止.求放开后斜面的加速度和物体的加速度.斜 什么?摩擦可以忽略. 解:我们用 a 表示双斜面在惯性参照系中的加速度(正 绳子跨过双斜面顶部 1 和2.整个系统

m1 m
α1

m2

面保持静止的条件是

α2

号表示向右的方向) .

用 a0 表示物体相对斜面的加速度(正号表示左边物体 m下降)两个物体在惯性系中的加速度 a1 和 a2 可由矢量 a 和 a0 相加得到(如解 图 5.1

图 5.1) .用 F 表示绳子中的张力. 对沿斜面方向的分量应用牛顿第二定律. 下降的力是 m1gsin1-F 在惯性系中,沿斜面方向的加速度分量为 a0-acos1 所以,对此斜面分量,牛顿第二定律为: m1(a0-acos1)=m1gsin1-F 同样,对于 m2 有 m2(a0-acos2)=F-m2gsin2 两式相加: 1cos1+m2cos2)a=(m1+m2)a0-(m1sin1-m2sin2)g (m 我们用动量守恒原理来研究斜面的运动. 解图 5.1

a a0 a a1 m1
α1

m

m2

a0
α2

a2 使物体 m1 加速

a

(1)

斜面在惯性系中的速度为 v(向右) .物体相对斜面的速度为 v0.故斜面上两物体在惯性系中的速度的水平 分量(向左)分别为:v0 cos1-v 和 v0 cos2-v

利用动量守恒原理:m1(v0 cos1-v)+m2(v0 cos2-v)=m v 对匀加速运动,速度与加速度成正比,因此有:m1(a0 cos1-a)+m2(a0 cos2-a)=m a 所以 a =

m1 cos α 1 + m2 cos α 2 a0 m + m1 + m2

(2)

上式给出了有关加速度的信息.很明显,只有当两物体都静止,即两个物体平衡时,斜面才静止,这是动量 守恒原理的自然结果. 由方程(1)和(2) ,可得到加速度为:

a0 =

(m + m1 + m2 )(m1 sin α 1 m2 sin α 2 ) g (m1 + m2 )(m + m1 + m2 ) (m1 cos α 1 + m2 cos α 2 ) 2

a=

(m1 cos α 1 + m2 cos α 2 )(m1 sin α 1 m2 sin α 2 ) g (m1 + m2 )(m + m1 + m2 ) (m1 cos α 1 + m2 cos α 2 ) 2


如果 m1sin1=m2sin2 则两个加速度均为零.

m1 sin α 2 = m2 sin α 1

【题 2】在一个带活塞的圆筒内装配着著名的托里拆利装置.在水银柱上方有氢气,在圆筒内有空气.第一 步,水银柱高度 h1=70cm,空气压强 pk1=1.314atm=133.4kPa=100cmHg,温度为 00C=273K.第二步,向上 提升活塞,直至水银柱高度降为 h2=40cm,这时空气压强为 pk2=0.79atm=80kPa=60cmHg.第三步,保持体积 不变,提高温度到 T3,此时水银柱的高度为 h3=50cm.最后,第四步,温度为 T4,水银柱的高度为 h4=45cm, 空气压强没有改变.求出最后一步中氢气的温度和压强. 解:我们将空气和氢气的数据列成表.两者温度是相同的.玻璃管的长度用 L 表示.为了简单起见,我们以装有 氢气的管子长度的厘米数来度量氢气的体积.压强全部用 cmHg 为单位给出(见解图 5.2 第一步至第四步) .

L

70cm

40cm

50cm

45cm





1 ph1 V h1 100cmHg V k1 273K

2 ph2 V h2 60cmHg V k2 273K 解图 5.2 =

3 ph3 V h3 pk3 V k3 T3 =

4 ph4 V h4 pk4 V k4 T4

氢气压强 氢气体积 空气压强 空气体积 两者温度

从第一步到第二步,对氢气应用玻意耳定律: (L-70) (100-70)=(L-40) (60-40) 由此式求得玻璃管的长度 L=130cm, 因此,氢气在第一步至第四步中体积分别为:V h1=60cm,V h2=90cm,V h3=80cm,V h4=85cm 从第二步到第三步,氢气的状态方程为: (60 40) × 90 = ( p h 3 50) × 80 273 T3 对空气应用盖吕萨克定律:

pk 3 60 = 273 T3

从第三步到第四步,我们只有向上提升活塞,以便使空气压强保持不变.氢气的状态方程为:

( p k 3 50) × 80 ( p k 4 45) × 85 = T3 T4
解以上方程组,得:pk3=pk4=80cmHg, T3=364K, 所以氢气的压强为:ph3=30cmHg ph4=35cmHg T4=451K,

算出空气的体积比为:V k1:V k2:V k4=6:10:12.4 (注:cmHg 为实用单位,应转换成国际单位 Pa) 【题 3】四个等值电阻 R,四个 C=1F 的电容器以及四个电池分别在立方体的各边连接起来,如图 5.3 所 示.各电池的电压为 U1=4V,U2=8V,U3=12V,U4=16V,它们的内电阻均可忽略. (a)求每个电容器的电 压 和 电 与 B 点短 上 的 电 解: (a)
R B R U2 _ + C3 C4 A U _ 3+ D U4 _ + E R C U1 _ + C1 F R C2 H C2 A F U2 _ + R B R C4 U4 _ +

量, (b)若 H 点
G C1 C C3 D _ + U1 U3 _ + R H R E G

路,求电容器 C2 量. 将这个网络展开 (如解图 5.3.1) . 不能通过电容 只 在 图

成平面图 由于电流 器,所以 图 5.3

解图 5.3.1

中 A-B-C-G-H-E-A 回路的导线中有电流.在这个回路中,电压为 12V,电阻为 4R. 因此电流为: I =

U 4 U1 4R

于是就知道了电阻和电源两端的电压.设 A 点的电势为零,就能很容易地算出各点的电势. A B C G (U4-U1)/4 (U4-U1)/2 (U4-U1)/2+U1 0V 3V 6V 10 V

H E D F

(U4-U1)/2+U1+(U4-U1)/4 (U4-U1)/2+U1+(U4-U1)/2 (U4-U1)/2+U1+(U4-U1)/4-U3 (U4-U1)/4-U3+U2

13 V 16 V 1V 11 V

从每个电容器两端的电势差,可以算出其电量如下: C1 C2 C3 C4 (11-10)V=1V, (16-11)V=5V, (6-1)V=5V, (1-0)V=1V, 1×10-6C. 5×10-6C. 5×10-6C. 1×10-6C.

C R B

_ + U1

G
C4 各有 0.5×10-6 J, 电

我们可以算出各电容器的储能量 CU 2/2.电容器 C1 和 容器 C2 和 C3 各有 12.5×10-6 J. (b)H 点与 B 点连接,我们得到两个分电路.如解图
C2

U2 _ +

R H R U4 _ +
与 B 点的电势是 U4 5.3.2.在下方的分电

R A

U 路中,电流为 4 ,E 点相对 A 点的电势是 U4=16 V,H 点 2R
/2=8 V.F 点的电势为

E

U4 + U 2 =16 V 2
解图 5.3.2

于是,电容器 C2 两极板的电势均为 16 V,结果 C2 上无电量.

【题 4】在直立的平面镜前放置一个半径为 R 的球形玻璃鱼缸,缸壁很薄,其中心距离镜面 3R,缸中充满 水. 远处一观察者通过球心与镜面垂直的方向注视鱼缸. 近处以速度 v 沿缸壁游动.求观察者看到的鱼的两个像 射率为 n =
2v K1 T1 v O A

一条小鱼在离镜面最 的相对速度.水的折
B

4 .如图 5.4(a) ,5.4(b) 3

解:鱼在 1 秒钟内 游过的距离为 v. 我们把这个距离 出两个不同的像. 考虑近轴光线和 的正弦用角度本 图 5.4(b) 去近似. 在 T1 点游动的鱼只经过一个折射面就形成一个像,如图 5.4(a)所示.从 T1 点以角度 r=∠A T1O 发出的光 线,在 A 点水中的入射角为 r,在空气中的折射角为 n r.把出射光线向相反方向延长,给出虚像的位置在 K1,
T2 v r E F O

图 5.4(a)
β
C D B

β
K2

当作物,而必须求 在计算中,我们只 小角度,并将角度 身

显然∠K1A T1=n r-r=(n-1)r 从三角形 K1 T1 A,有:

K 1T1 (n 1)r = = n 1 K1 A r
K1AT1≈K1O-R

利用通常的近似:K1A≈K1O+R, 于是

K 1O R = n 1 K 1O + R
n R 2n

所以这个虚像与球心的距离为 K 1O = 水的折射率 n =

4 ,从而 K1O=2R.若折射率大于 2,则像是实像.有像距与物距之商得到放大率为 3

K 1O n = T1O 2 n
对水来说,放大率为 2. 以与速度 v 相应的线段为物,它位于在 E 处的平面镜前的距离为 2R 处,它在镜后 2R 远的 T2 处形成一个与 物同样大小的虚像.T2 离球心的距离为 5R.在一般情形下,我们假设 T2O=kR.T2 处的虚像是我们通过球作为 一个透镜观察时的(虚)物.因此,我们只要确定 T2 的实像而无需再去考虑平面镜.如图 5.4(b)所示. 我们需要求出以 r 角度从 T2 发出的光线在 C 点的入射角 β,其中 r=∠CT2F. 在三角形 T2OC 中, 玻璃中的折射角为:

β
r

= =

T2 O kR = =k CO R

β=k r

β
n

kr = ∠DCO = ∠CDO n

需要算出∠DOB. 因为:∠COF=β-r=k r-r=r(k-1) 而且∠COD 与 C 点和 D 点的两角之和相加,或与∠COF 和∠DOB 之和相加,两种情况都等于 1800,因此

∠DOB + r (k + 1) =

2kr n 2k 即 ∠DOB = r ( k + 1) n
从三角形 DOK2,有

OK 2 = DK 2

β
r( 2k k + 1) n

=

k 2k k +1 n

此外

OK 2 k = , OK 2 R 2k k +1 n nk R n(2k 1) 2k

因此像距为: OK 2 =

若 k=5,n=

4 10 ,得 OK 2 = R 3 3

放大率为

OK 2 n = OT2 n(2k 1) 2k
4 2 ,则放大率为 3 3 2 v 向下运动. 3

若 k=5,n=

综合以上结果,如鱼以速度 v 向上运动,则鱼的虚像以速度2v 向上运动,而鱼的实像以速度 两个像的相对速度为2v+

2 8 v= v, 3 3

是原有速度的 8 3 倍. 我们还必须解决的最重要的问题是:从理论上已经知道了像是如何运动的,但是观察者在做此实验时,他将 看到什么现象呢? 两个像的速度与鱼的真实速度值,从水中的标尺上的读数来看,是一致的,实际上观察到两个反向的速度, 其中一个是另一个的三倍,一个像是另一个像的三倍.我们应当在远处看,因为我们要同时看清楚鱼缸后远处的 一个像.两个像的距离 8.33R.用肉眼看实像是可能的,只要我们在比明视距离远得多的地方注视它即可.题目 中讲到"在远处的观察者",是指他观察从两个不同距离的像射来光线的角度变化.只要观察者足够远,尽管有距 离差,但所看到的速度将逐渐增加而接近

8 .他当然必须具有关于鱼的实际速度(v)的一些信息. 3

两个像的相对速度与物的原始速度之比的普遍公式为:

2n (k 1)(n 1) 2 n 2k (n 1) n

用一个充满水的圆柱形玻璃缸, 一面镜子和一支杆, 这个实验很容易做到. 沿玻璃缸壁运动的杆代表一条鱼. 【实验题】测量作为电流函数的给定电源的有用功率.确定电源的内阻 Rb 和电动势 U0.画出作为外电阻 R 函数的有用功率,总功率以及效率的曲线. 解答:端电压为 U =

U0R R + Rb

电流为 I =

U0 U = R + Rb R

总功率为 P0=U0I 有用功率为:P=U I 效率为 η=

P P0

利用以上公式,得到要求的六个函数,如解图 5.4(a)――(f)所示.

P

P

(a)
I

(b)
R

P=U0I-RbI

2

U 02 R P= ( Rb + R) 2
P0

P0

(c)
I

(d)
R

P0=U0I

U 02 P0= Rb + R

η
(e)
I

η

(f)
R

=1-

Rb I U0

=

R Rb + R

测出适当选择的两个值,由以上公式便可求出 Rb 和 U0.这些数据应该是独立于外负载,所以这样的测量并 不可靠,大负载时尤其如此.


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