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新人教版A高中数学必修5教案全集_图文

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第一章 解三角形 1.1 正弦定理和余弦定理 正弦定理 从容说课 本章内容是处理三 角形中的边角关系,与初中学习的三角形的边与角的基本关系有密 切的联系, 与已知三角形的边和角相等判定三角形全等的知识也有着密切的联系.教科书 在引入正弦定理内容时, 让学生从已有的几何知识出发,提出探究性问题―在任 意三角形 中有大边对大角,小边对小角的边角关系.我们是否能得到这个边、角 的关系准确量化的表 示呢?‖在引入余弦定理内容时, 提出探究性问题―如果已 知三角形的两条边及其所夹的角, 根据三角形全等的判定方法,这个三角形是大 小、形状完全确定的三角形.我们仍然从量化 的角度来研究这个问题,也就是研 究 如 何从已知的两边和它们的 夹角计算出三角形的另一 边和两个角的问 题‖.这样,用联系的观点,从新的角度看过去的问题,使学生对于过去 的知 识有了新的认识, 同时使新知识建立在已有知识的坚实基础上,形成良好的知识 结 构. 教学重点 1.正弦定理的概念; 正弦定理的证明及其基本应用. 教 学难点 1.正弦定理的探索和证明; 已知两边和其中一边的对角解三角形时 判断解的个数. 教具准备直角三角板一个 三维目标 一、 知识与技能 通过对任意三角形边长和角度关系的探索,掌握正弦定理的内容及其证明方法; 会运用正弦定理与三角形内角和定理解斜三角形的两类基本问题. 二、 过程与方法 让学生从已有的几何知识出发,共同探究在任意三角形中,边与 其对角的关系; 引导学生通过观察、推导、比较,由特殊到一般归纳出正弦 定理; 进行定理基本应用的实践操作. 三、情感态度与价值观 培 养学生在方程思想指导下处理解三角形问题的运算能力; 培养学生探索数学 规律的思维能力,通过三角函数、正弦定理、向量的数量积等知识间 的联系来 体现事物之间的普遍联系与辩证统一. 教学过程 导入新课 师如右图,固定△ABC 的边 CB 及∠B,使边 AC 绕着顶点 C 转动. 思考:∠C 的大小与它的对边 AB 的长度之间有怎样的数量关系? 1 师 生显然, 边 AB 的长度随着其对角∠C 的大小的增大而增大. 等式把这种关系精确地表示出来? 师能否用一个 师在初中,我们已学过如何解直角三角形,下面就首先来探讨直角三角形中, 角与边的等 式关系.如右图,在 Rt△ABC 中,设 BC =A,AC =B,AB =C,根据锐 角三角函数中正弦函数 的定义,有 从而在直角 =sinA, =sinB, 又 sinC=1= ,则 c c c sin A sin B simC 三角形 ABC 中, B simC 推进新课 [ 合作探究 师那么对于任意的三角形,以上关系式是否仍然成 立?(由学生讨论、分析) 生可分为锐角三角形和钝角三角形两种情况: 如右图,当△ABC 是锐角三角形时,设边 AB 上的高是 CD,根据任意角三 角函数的定义, 有 CD=AsinB=BsinA, 则 , 同 理 , 可 得 . 从 而 sin A sin B sin C sin B (当△ABC 是钝角三角形时,解法类似锐角三角形的情况,由学生自己完成) 正弦定理:在一个三角形中,各边和它所对角的正弦的比相等,即 师是否可以用其他方法证明这一等式? 生可以作 △ABC 的外接圆,在 △ABC 中,令 BC=A,AC=B,AB=C,根据直径所对的圆周角是直 角以及同弧所对 的圆周角相等,来证明 这一关系. 师很好!这位同学能充分利用我们以前学过的知识来解决此问题,我们一起来 看下面的证 法 . 在 △ABC 中 , 已知 BC=A,AC=B,AB=C, 作 △ABC 的外接圆 ,O 为圆心,连结 BO 并延长交圆于 B′, 2 设 BB′=2R.则根据直径所对的圆周角是直角以及同弧所对的圆周角相等可以得 到 ∠BAB′=90° ,∠C =∠B′, ∴ ∴ 同理,可得 ∴ sin A sin B sin C 这就是说,对于任意的三角形,上述关系式均成立,因此,我们得到等式 点评:上述证法采用了初中所学的平面几何知识,将任意三角形通过外接圆性质 转化为直角 三角形进而求证,此证法在巩固平面几何知识的同时,易于被学生理 解和接受 ,并且消除了学 生所持的 ―向量方法证明正弦定理是唯一途径‖这一 误解 . 既拓宽了学生的解题思路 , 又为下 一步用向量方法证明正弦定理作了铺 垫 知识拓展 师接下来,我们可以考虑用前面所学的向量知识来证明正弦 定理.从定理内容可以看出,定理 反映的是三角形的边角关系,而在向量知识中,哪 一知识点体现边角关系呢 生向量的数量积的定义式 A· B=|A||B|Cosθ,其中 θ 为两向量的夹角 师回答得很好,但是向量数量积涉及的是余弦关系而非正弦 关系,这两者之间能否转化呢 生 可以通过三角函数的诱导公式 sinθ=Cos(90° -θ)进行转化 师这一转化产生了新角 90° -θ,这就为辅助向量 j 的添加提供了线索,为方便进一步的运算,辅 助向量选取了单位向量 j,而 j 垂直 于三角形一边,且与一边夹角出现了 90° 这一形式,这是 -θ 作辅助向量 j 垂直 于三角形一边的原因 师在向量方法证明过程中,构造向量是基础,并由向量的 加法原则可得 而添加垂直 于 AC 的单位向量 j 是关键,为了产生 j 与 、 AC 、 CB 的数量积, 而在上面向量等式的两边同取与向量 j 的数量积运算 , 也就在情理之中了 师下面,大家再结合课本进一步体会向量法证明正弦定理的过程,并注意总结在证 明过程中 所用到的向量知识点 3 点评: (1)在给予学生适当自学时间后 ,应强调学生注意两向量的夹角是以同起点 为前提,以 及两向量垂直的充要条件的运用 要求学生在巩固向量知识的同 时,进一步体会向量知识的工具性作用 向量法证明过程 △ABC 为锐角 三角形,过点 A 作单位向量 j 垂直于 与 AC ,则 j 与 AB 的夹角为 90°CB 的夹角为 90

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