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高中数学第1章算法初步1.1算法的含义知识导引学案苏教版必修32017101742

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1.1 算法的含义 案例探究 有 8 个小球,其中 7 个重量相同,仅有一个较重,用天平如何称出那个重的小球. 方法 1:把 8 个小球分成四组,依次将每组放在天平上,直到某一组不平衡,就可确定重 的小球,最多需称 4 次. 方法 2:(1)从 8 个小球中任取 6 个小球,将这 6 个小球每边 3 个置于天平上;(2)若 天平平衡,则表明重的小球在剩余的 2 个小球中,只需将那两个小球放在天平上再称 1 次就可 找到重的那个小球;(3)若天平不平衡,则从较重的一边的 3 个球中任取两个球称量,若平 衡,则剩下的那个即为要找的小球,若不平衡,则重的那边就是要找的小球. 我们做任何事情,都是在一定条件下按某种顺序执行一系列操作.解决数学问题也常常如 此,这就是本节内容要研究的算法思想. 自学导引 一般而言,对一类问题机械的、统一的求解方法称为算法. 1.算法概念的理解 (1)算法是指可以用计算机来解决的某一类问题的程序或步骤,这些程序或步骤必须是 明确有效的,而且能在有限步骤之内完成.(2)算法与一般意义上具体问题的解法既有联系, 又有区别,它们之间是特殊与一般的关系,也是抽象与具体的关系.算法的获得要借助一般意 义上具体问题的求解方法,而任何一个具体问题都可以利用这类问题的一般算法来解决.(3) 算法一方面具有具体化、程序化、机械化的特点,同时又有高度的抽象性、概括性、精确性, 所以算法在解决问题中更具条理性、逻辑化特点. 2.算法的五个特点 (1)概括性:写出的算法必须能解决一类问题,并且能重复使用. 例如:给出求解方程组的一个算法. x 2x 2y 1① ① ① y 1① 解析:解这个方程组的步骤是: 第一步:②-①×2 得 5y=3; ③ 第二步:解③得 y= ; 第三步:将 y= 代入①,得 x= 3 3 5 1 . 5 5 像上例二元一次方程组的求解问题,也适用于其他二元一次方程组的求解. (2)正确性与顺序性:算法从初始步骤开始,分为若干明确的步骤,前一步是后一步的 前提,只有执行完前一步才能进行下一步,而且每一步都是正确无误的,从而组成了一个有着 很强逻辑性的序列. (3)有限性:算法有明确的开始和结束界限,终止时表示问题得到解答或指出问题没解, 是在有限步骤内求解某一问题. (4)不唯一性:求解某一问题的算法不是唯一的,可以有不同的算法.当然这些算法有 繁简之分,但是都能解决这一类问题. (5)普遍性:很多具体的问题,都可以设计合理的算法去解决,例如,手算、心算、用 算盘、用计算器算都要经过有限的、事先设计好的步骤来实现.同样的一个工作计划,生产流 1 程都可以视为算法. 疑难剖析 算法是数学及其应用的重要组成部分,是计算科学的重要基础.随着现代信息技术的飞速 发展,算法在科学技术、社会发展中发挥着越来越大的作用,并日益融入社会生活的方方面面, 算法思想已成为现代人应具备的一种数学素养. 算法是高中数学课程的新增内容,其思想方法是非常重要的. 【例 1】 试写出求解二元一次方程组的算法. 思路分析:本题主要考查二元一次方程组的解的算法.不妨设二元一次方程组为 11 1 a x a x 12 22 2 2 1 b① b 2 a x 21 1 a x ① ① 对于求方程的根,解方程组这样的数值性的问题,我们都有具体的计算方法,只要我们把 平时的计算方法严格地按步骤把它描述出来即可.因此我们很容易得到下面的算法. 解:由于是二元一次方程组,故方程组中 a11、a21 不能同时为 0. 第一步,假定 a11≠0(如果 a11=0,可将第一个方程与第二个方程互换 ),①×(- a )+② a 21 11 得到 (a22- a a a 11 21 12 )x2=b2- a b a 11 21 1 . 即方程组可化为 a x 11 1 a x 12 b 2 1 , a b 11 2 a b① 21 1 ① ① (a a 11 22 a a )x 21 12 2 第二步,如果 a11a22-a21a12≠0,解方程④得到 ⑤ a b a b x2= a a 11 11 2 22 a a 21 1 ① 21 12 第三步,将⑤代入③,整理得到 x1= a b a a 11 22 1 22 a b 12 2 ⑥ ① a a 21 12 第四步,输出结果 x1、x2. 如果 a11a22-a21a12=0,则从④可以看出方程组无解或有无穷多组解. 嗣位启示:从本例可以发现,求解某个问题的算法不同于求解一个具体问题的方法,算法 必须能够解决一类问题.并且能够重复使用;算法过程要能一步一步地执行,每一步操作必须 确切,能在有限步后得出结果. 变式训练:1.试写出求一元二次方程 ax2+bx+c=0 的根的算法. 解:第一步:计算 Δ=b2-4ac; 第二步:如果 Δ<0.则原方程无实数解, 否则(Δ≥0) 2 x b b 2 4ac , 1 x b 2a b 4ac ; 2 2 2a 第三步:输出 x1,x2 或无实数解的信息. 2.试写出求 x2-5x-6>0 的解的算法. 解:第一步:求对应方程 x2-5x-6=0 的两根 x1=-1,x2=6. 第二步:写出解集{x|x>6 或 x<-1}. 【例 2】 写出求 1+2+3+4+5+6 的一个算法. 思路分析 1:按照逐一相加的程序进行. 解法 1:第一步:计算 1+2,得 3; 第二步:将第一步中的运算结果 3 与 3 相加得 6; 第三步:将第二步中的运算结果 6 与 4 相加得 10; 第四步:将第三步中的运算结果 10 与 5 相加得 15; 第五步:将第四步中的运算结果 15 与 6 相加得 21. 思路分析 2:可以运用公式 1+2+3+…+n= 解法 2:第一步:取 n=6; n(n 1)

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