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历届国际物理奥林匹克竞赛试题与解答第6届

时间:2010-04-25


历届国际物理奥林匹克竞赛试题与解答第6届
(1972 年于罗马尼亚的布加勒斯特) 【题1】给定三个圆柱,它们的长度、外径和质量均相同。第 二个是空心圆筒,壁有一定厚度;第三个是同样壁厚的圆筒, 里面充满一种密度与筒壁相同的液体。如将它们放在倾角 α 所示, 求出并比较这些圆柱的线加速度。 研究光滑滚动与又滚 与斜面的摩擦系数为 μ,液体与筒壁之间的摩擦可以忽略。 解: 沿斜面方向作用在圆柱上的力是: 作用于质心重力的分量 触点的摩擦力 S,如图 6.1 所示。产生的加速度 a : ma=mg sin?-S 纯滚动时的角加速度为: 1 , 3 , 5
S R mg sin ? ?

一个是实心圆柱;第 但两端用薄片封闭, 为的斜面上, 如图 6.1 又滑两种情况。圆柱

mg sin?和作用于接

?=
转动的运动方程为:

a R a I R

RS ?
以上方程组的解为:

a?

g sin ? I 1? mR 2
mg sin ? ? I mR 2

S?

I 1? mR 2

(1)

当 S 达到最大可能值 μmg cos?时,也就到了纯滚动的极限情形,这时:

I 2 ?mg cos? h ? mg sin ? h mR I 1? mR 2
即维持纯滚动的极限条件为

tan? h ? ? (1 ?

mR 2 ) I

(2)

下面我们来研究三个圆柱体的纯滚动情形。 (Ⅰ)实心圆柱的转动惯量为

I?

1 mR 2 2 2 g sin ? , 3

从(1)式和(2)式分别得到

a?
角加速度为:β=

tan ah=3μ

a R

(Ⅱ)设空心圆筒壁的密度是实心圆柱密度的 n 倍。因已知圆柱的质量是相等的,故可以算出圆筒空腔的半 径 r:

??R 2 L ? n??L( R 2 ? r 2 )


r 2 ? R2
转动惯量为:

n ?1 n 2n ? 1 n

I ? 0.5n??LR 2 ? R 2 ? 0.5n??LR 2 ? r 2 ? 0.5mR 2
由(1)式和(2)式分别算出:

a?
角加速度为:β=

2n g sin ? , 4n ? 1

tan? h ?

4n ? 1 ? 2n ? 1

a R

(Ⅲ)对充满液体的圆筒,因液体与筒壁之间无摩擦力,故液体不转动。总质量为 m,但转动惯量只需对圆筒壁 计算:

I ? 0.5n??LR 2 ? R 2 ? 0.5n??LR 2 ? r 2 ? 0.5mR 2
由(1)式和(2)式分别算出:

2n ? 1 n

a?
角加速度为:β=

2n2 g sin ? , 2n 2 ? 2n ? 1

t a?h ? n

2n 2 ? 2n ? 1 ? 2n ? 1

a R

现在比较三个圆柱体的运动特点:线加速度和角加速度之比为:

1∶ 极限角正切之比为: 1∶

3n 2 3n ∶ 4n ? 1 2n 2 ? 2n ? 1

2n 2 ? 2n ? 1 4n ? 1 ∶ 3(2n ? 1) 3(2n ? 2)

如果斜面倾角超过极限角,则圆柱又滑又滚。此时三个圆柱体的摩擦力均为 μmg cos?,故线加速度相同,

为: a=g(sin?-?cos??) 角加速度由 ?=

R?mg cos? 给出,但转动惯量在三种情况下各不相同。因此,若圆柱体又滚又滑,则三种情况 I 2? cos? g R 2? cos? n ?2 ? ? g R 2n ? 1

下的角加速度分别为:

?1 ?

2? cos? n 2 ?3 ? ? g R 2n ? 1

【题2】有两个底面积为 1dm2 的圆筒,如图 6.2 所示,左方圆筒装有一种气体,气体的质量 4g,体积 22.4L, 压强 1atm,温度 00C。右方圆筒装有同种气体,气体的质量 7.44g,体积 22.4L,压强 1atm,温度 00C。左方圆 筒筒壁绝热,右方圆筒靠一个大热库维持温度 00C。整个系统在真空中。放开活塞,它移动了 5dm 后达到平衡并 静止。试问右方圆筒中的气体吸收了多少热量?气体等容比热为 0.75cal/g?K。

0 0C
图 6.2 解:放开连杆前,右方气体压强为: 7.44/4=1.86(atm) 在达到平衡时,左方气体体积为 22.4+5=17.4(dm3) ,右方气体体积为 22.4+5=27.4(dm3) 。左方气体经绝热 过程升高温度到 T,压强为 p。右方气体经等温膨胀到同一压强。等温膨胀由下式表示: 1.86× 22.4=× 27.4 解得: p=1.521 atm 对左方气体应用绝热过程定律,得: 1× 22.4k=1.521× 17.4k 由此可求得比热之商 k 如下

(

22.4 k ) ? 1.521 17.4

1.2874k=1.521 k=1.66

(看来它是一种单原子气体:氦。 ) 左方气体的温度可从状态方程算出:

1 ? 22.4 1.521 ? 17.4 ? 273 T
解得: T=322.5K t=49.50C

在这个过程中,右方气体的温度没有改变,它吸收了 0.75× 49.5=148.5 cal 4× 的热量,这些热量表现为气体的内能 。 (注:此处是指左方气体的内能。因为右方气体等温膨胀,所吸收的热量等于它对左方气体所作的功。左方气体 绝热压缩,右方气体对它所作的功等于左方气体内能的增量。 ) 【题3】将焦距为 f 的一个透镜,沿其表面的垂直方向切割成两部分。把两个半透镜移开一段小距离 δ,如果在 透镜的一方距离 t >f 处放置一个单色点光源,问在透镜 的屏幕上将出现多少干涉条纹? 解:由两部分透镜所产生的像是相干光源,所以可以发生 源的距离为 d,若光程差等于波长 λ,则在 h 远处的屏幕 强,如解图 6.1 所示。即: dsin?=λ 由于?是小角,取近似 sin ? ? 解图 6.1
d


的另一方距离 H 处
?
S

干涉。设两个点光
h

上将出现第一个极

S ,各级极强的间距为: h dS ?h ??, S? h d

下面计算两个焦点的位置。 一个点光源位于焦距为 f 的透镜前 t 距离处,它产生的实像位于 k ?

tf ,如解图 6.2 所示。 t? f

K1

A B D

?

d K2

t

k H

h

解图 6.2

若切口的宽度为 δ,则两实像点间的距离可从下列比例式中得到:

d

?
因此 d ? ?

?

t?k t

t?k ?t ? t t? f

像点 K1 和 K2 是相干光源。它们发射出来的光束的干涉在屏幕上观察到。条纹的间距为 S ? 已知。屏幕到像点的距离为: h ? H ? k ? 在此实验中,条纹间距为: S ?

?h
d

,其中 d 为

H (t ? f ) ? tf t? f

? ?H (t ? f ) ? tf ? t?

干涉条纹出现在 K1 和 K2 发出的两束光交叠处。由相似三角形求得两束光交叠部分的直径为 D ? ? 用 S 除 D,得条纹数目为 N ?

h?t t

D ?2 H ?t ? ? S ? H (t ? f ) ? tf

如果 f =10cm,t=20cm,δ=0.1cm,λ=0.5μm,H=50cm,则得 N=46.6 。 当屏幕比 A 点更近时,对 D 必须另作计算。如屏幕在 B 点以内,则无干涉条纹。 【实验题】给定两个圆柱体,它们的大小、形状、材料均相同,其一是实心体,另一个内部有一个与圆柱轴 平行的圆柱形空腔。后者两端用薄片封闭。试确定材料密度,以及空腔轴与圆柱轴之间的距离。 解答:实心圆柱体的密度可由其质量和体积确定。其次我们测量有空腔的圆柱体的质量,根据两个圆柱体质 量之差,算出空腔的体积和直径。为求出两轴的距离,可以用几种方法。例如,把圆柱体放在水平面上。确定使 它恢复平衡的力矩最大时的位置,这时两轴构成的平面是水平面,由于知道了空腔的大小,便可算出轴间距离。 另一种方法在于测定圆柱体对空腔最近或最远的那条母线的转动惯量。 1 , 3 , 5


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