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数列单元综合测试

时间:2012-02-06


数列单元综合测试
一、选择题 1.在数列 1,3,2,6,5,15,14,x,y,z,122,…中,x,y,z 的值依次是( A.42,41,123 B.13,39,123 C.24,23,123 D.28,27,123 2.已知 a,b,c 成等比数列,a,x,b 和 b,y,c 都成等差数列,且 xy≠0,则 的值为( A.1 C.3 ) B.2 D.4 )

a c + x y

3.设有公差不等于零的等差数列 {a n } 与等比数列 {bn } ,两个数列有关系: a1 = b1 ,

a 3 = b3 , a 7 = b5 ,那么(
A. b11 = a13 C. b11 = a 63

) B. b11 = a31 D. b63 = a11

4.已知数列 {a n } 满足 a1 = 1 ,且 A.等比数列 B.等差数列 C.既等差又等比数列 D.既非等差又非等比数列

a n +1 n + 1 = ,则此数列是( an n



5.已知 a, b ∈ R ,A 为 a、b 的等差中项,G 为 a、b 的等比中项,则 ab 与 AG 的大 小关系是( A.ab=AG C.ab≤AG ) B.ab≥AG D.不能确定

+

6.在数列 a1 , a 2 ,…, a n ,…的每相邻两项中间插入 3 个数,使它们与原数列构成 一个新数列,则新数列的第 29 项( )

A.不是原数列的项 B.是原数列的第 7 项 C.是原数列的第 8 项 D.是原数列的第 9 项 7.数列 {a n } 为一等比数列,首项为 a1 ,公比为 q,则数列 {a n } 为减数列的充要条件 是( ) A.|q|<1 C. a1 > 0 ,q<1 或 a1 < 0 ,q<1 B. a1 > 0 ,q<1 D.以上都不对 )

8.无穷等差数列 {a n } 的公差为 d,则 {a n } 有有限个负数项的条件是( A. a1 > 0 ,d>0 B. a1 > 0 ,d<0 C. a1 < 0 ,d>0 D. a1 < 0 ,d<0 9.在等差数列 {a n } 中, a 4 = 9 , a 9 = ?6 , S n 是其前 n 项和,则( A. S 6 = S 8 C. S 7 = S 8 B. S 6 = S 7 D. S 5 = S 7



10.已知等比数列 {a n } 的公比 q<0,其前 n 项和为 S n ,则 S 8 a9 与 S 9 a8 的大小关系是 ( ) A. S 8 a 9 > S 9 a8 B. S 8 a 9 = S 9 a8 C. S 8 a 9 < S 9 a8 D.不能确定 11.一个等比数列的前 n 项和 S n = a ? ( ) ,则该数列各项和为(
n

1 2



A.

1 2

B.1

C. ?

1 2

D.a∈R )

12.一直角三角形三边边长成等比数列,则( A.三边边长之比为 3:4:5 B.三边边长之比为 1 : 3 : 3

C.较小锐角的正弦值

5 ?1 2 5 ?1 2
n ?1

D.较大锐角的正弦值

13.已知数列 {a n } 的前 n 项和为 S n = 1 ? 5 + 9 ? 13 + 17 ? 21 + L + ( ?1) 则 S15 + S 22 ? S 31 的值是( A.13 C.46 ) B.-76 D.76

(4n ? 3) ,

14.在数列 {a n } 中, a n ≠ 0 ,且满足 a n = A.递增等差数列 B.递增等比数列 C.递减数列 D.以上都不对

3a n ?1 1 (n≥2) ,则数列 { } 是( 3 + 2a n ?1 an



15.数列 1,2,2,3,3,3,4,4,4,4,……中,第 100 项是( A.10 C.14 B.13 D.100



二、填空题 16.若 lgx,lg(3x-2) ,lg(3x+2)成等差数列,则 log x

2 2 2 的值是________。

17.在 7 和 56 之间分别插入实数 a、b 与 c、d,使 7、a、b、56 成等差数列,且使 7、 c、d、56 成等比数列,则 a+b+c+d=__________。 18.在公差为正的等差数列 {a n } 中,若 a1 、 a 2 是方程 x ? a3 x + a 4 = 0 的两个实根,
2

则通项公式 a n = _________ ,前 n 项和 S n = ____________ 。 (m,n∈N) ,若 a1 = 1 , 19.二数列 {a n } 、{bn } 满足 a n + a m = a m + n ,bn ? bm = bn + m , 则 a n = ______ ;若 b1 = 2 ,则 bn = ___________ 。

三、解答题 20.已知数列 {a n } 的前 n 项和是 S n ,且对于任意自然数 n, S n = 6 ? a n ? 通项公式 a n 。

3 2 n?1

。求

50 21.某正项等比数列 a1 , a 2 ,…, a 2 n ,各项和是其偶项和的 3 倍,各项积是 2 。已

知 a n +1 = 4 ,问 n 为何值时,数列 {log 2 a n } 的前 n 项和有最大值?求出这个最大值。

22.已知数列 {a n } 满足 a1 = 1 , a 2 =

2 1 1 2 , + = (n=2,3…) ,求 a n 。 3 a n +1 a n ?1 a n

23.已知两数列:3,7,11,…,139;2,9,16,…,142。试求它们的所有公共项之 和。

24.求数列 {5 n + 2n ? 6} 的前 n 项的和 S n 。

25.求方程 7 ? 3 ? 2 = 1 的正整数解。
x y

26.一个整数被 6 除余 2,被 7 除余 3,从 1 到 1000 中,试求这样数的个数并求它们的 和。

参考答案

1.A 2.B ∴

观察 3,6,15 可发现 x=14×3,y=x-1,z=3y。故选 A。 ∵ b = ac ,2x=a+b,2y=b+c,
2

a c 2a 2c 2a (b + c) + 2c(a + b) 2(ab + bc + 2ac) + = + = = x y a+b b+c (a + b)(b + c) ab + bc + ac + b 2
2(ab + bc + 2ac) = 2 。故选 B。 ab + bc + 2ac
设 a1 = b1 = a ,依题意有 ?

=

3.C

?a + 2d = aq 2 ?a 3 = b3 ? ?? ?a + 6d = aq 4 ?a 7 = b5 ?

消去 d 得 2a = a (3q 2 ? q 4 )



4 2 2 2 若 a=0, d=0 与题意不符, a≠0, 则 故 从①式得 q ? 3q + 2 = ( q ? 1)( q ? 2) = 0 , 2 2 2 若 q = 1 ,则 d=0,故 q ≠ 1 ,从而 q = 2 。且从①式可得 d =

(n + 1)a = aq 11?1 = a ? 2 5 ,故 n=63。故选 C。 2
4.B 由已知等式得

a 。设 b11 = a n ,则 2

a a 2 2 a3 3 a 4 4 n = , = , = ,… n = a1 1 a 2 2 a3 3 a n ?1 n ? 1
这 n-1 个等式相乘得

an = n 又 a1 = 1 ,∴ a n = n a1
∴ {a n } 是等差数列。故选 B。 5.D

a+b , G = ± ab ,则 2 a+b ab ? AG = ab ( ab m ) 的符号不能确定。故选 D。 2
因为 A =

6.C

a1 × × × a 2 × × × a 3 × × × L 原数列的项与后面插入的三个数做一个组,则 7 组

是 28 项,那么第 29 项仍然是原数列的项,显然是第 8 项,故选 C。 7.D 当 q<0 时,数列不单调故 A、B、C 全否,故选 D。 8.C 无穷数列有有限个负项,此数列必为增数列,即 d>0,即是递增数列又有负项, 故一定是首项 a1 < 0 。故选 C。 公差 d =

9.B

a9 ? a 4 a ? a1 = ?3 = 4 9?4 4 ?1

∴ a1 = 18

设 a n = 18 + (n ? 1) ? ( ?3) = 21 ? 3n ≥ 0 ∴n≤7 且 a 6 > 0 , a 7 = 0 则 S 6 = S 7 。故选 B。

10.A

a12 (1 ? q 8 ) 8 a12 (1 ? q 9 ) 7 S 8 a 9 ? S 9 a8 = ?q ? ?q 1? q 1? q = a12 q 7 [(1 ? q 8 ) ? q ? (1 ? q 9 )] 1? q a12 q 7 (q ? q 9 ? 1 + q 9 ) 1? q

=

= ? a12 q 7 > 0
∴ S 8 a 9 > S 9 a8 。故选 A。 当 q≠1 时, S n =

11.B

a1 (1 ? q n ) a a = 1 ? 1 ? qn = m ? m ? qn 1? q 1? q 1? q

m=

a1 1 n ,比较 S n = a ? ( ) 2 1? q
1 1 1 1 ,首项 a1 = S1 = 1 ? ( ) = 2 2 2

得 a=1, q =

∴S =

1 2 1 1? 2

= 1 。故选 B。

12.C

令三边长为 a、b、c,且 a<b<c

较小角为α,则 sin α =

a c

?a 2 + b 2 = c 2 (1) ? 依题意 ? ?b 2 = ac ( 2) ?
(2)代入(1)得 a + ac = c ,
2 2

∵c≠0,则 ( ) +
2

a c

a ?1 = 0 c

解得

a ?1+ 5 = (负值舍去) c 2 a ?1+ 5 = 。故选 C。 c 2

∴ sin α =

13.B

对数列 {S n } 的相邻两项结合后,再求和。注意 n 为奇数时可从第二项起相邻

两项结合。故选 B。 14.A 由 an =

3a n ?1 1 3 + 2a n ?1 1 2 得 = = + 3 + 2a n ?1 a n 3a n?1 a n ?1 3



1 1 2 ? = >0 a n a n ?1 3 1 2 } 是以 为公差的等差数列,且为递增数列。故选 A。 an 3


则{

15.C 16.

n(n + 1) < 100 得 n≤13,∴n+1=14。故选 C。 2

7 8

2 由 (3 x ? 2) = x (3 x + 2) 得 x=2。

17.105 由 a+b=7+56, 56 = 7 q 3 ,c=7q, d = 7q 2 求得。 18.2n n(n+1) 设公差为 d(d>0),根据题意得 ?

?a1 + a 2 = a3 ?2a1 + d = a 2 + 2d 即? ?a1 a 2 = a 4 ?a1 (a1 + d ) = a1 + 3d

∴ a1 = 2 ,d=2,∴ a n = 2n , S n = n( n + 1) 。 19. a n = n

bn = 2 n

设 n=1 代入条件得, (1) a m +1 ? a m = 1 , (2) 20.解:∵ S n = 6 ? a n ?

bm +1 = 2。 bm

3 2 n?1



∴ a n = S n ? S n ?1 = ? a n + a n ?1 +
n

3 2 n ?1

,即 2 a n ? 2
n

n ?1

a n ?1 = 3 。

∴ {2 a n } 是以 2a1 = 3 为首项,3 为公差的等差数列, ∴ 2 ? a n = 3 + ( n ? 1) × 3 = 3n
n

∴ an =

3n 2n a 3aq 1 = ,解得 q = ,∵ a n +1 = 4 , 2 1? q 1? q 2

21.解:依题意有

∴ a n = 8 , 1 ? a 2 L a 2 n = ( a n a n +1 ) = ( 2 ) = 2 , a ∴n=10, 11 = a1 q 10 = a
n 5 n 50

a1 = 4, 210

∴ a1 = 2 , a n = 2 则
12

13? n

,log 2 a n = 13 ? n 令 13-n<0, n>13,a13 = 1 ,log 2 a13 = 0 , 得

故 {log 2 a n } 的前 12 项和与前 13 项和相等且最大,此和为 12+11+…+2+1=78。 22.解:由 a1 = 1 , a 2 =

2 1 1 2 , + = 得 3 a n +1 a n ?1 a n

1 a n +1

?

1 1 1 1 1 1 1 3 1 = ? = ? =L = ? = ?1 = 。 a 2 a1 2 a n a n a n?1 a n ?1 a n ? 2 2 2 。 n +1

∴ an =

23. 数列 3, 11, 139 是首项为 3, 解: 7, …, 公差为 4 的等差数列, 通项公式 a n = 4n ? 1 (n≤35,n∈N) ;数列 2,9,16,…,142 是首项为 2,公差为 7 的等差数列,通项公式

bm = 7 m ? 5 (m≤21,m∈N) 。找公共项,即建立关系式 4n-1=7m-5,确定此不定方
程的自然数解,且 n≤35,m≤21。 两数列的公共项构成了一个首项为 23, 公差为 28 的等差数列, 通项公式 C k = 28k ? 5 (k≤5,k∈N) ,则 S 5 = 23 × 5 +

1 × 5 × 4 × 28 = 395 。 2
2
n

24.解: S n = (5 + 2 × 1 ? 6) + (5 + 2 × 2 ? 6) + L + (5 + 2n ? 6)

= (5 + 5 2 + L + 5 n ) + (2 × 1 + 2 × 2 + L + 2n) + [(?6) + (?6) + L + (?6)] = 5 n (5 ? 1) + n 2 ? 5n 。 4

25.解:当 1≤y≤4 时可试得方程有两组解 x=1,y=1 和 x=2,y=4。当 y≥5 时由

7 x ? 3 ? 2 y = 1即

7x ?1 7x ?1 = 2 y ?1 ,得 = 7 x ?1 + 7 x ?2 + L + 1 = 2 y ?1 ,故 x 必须是偶数, 7 ?1 7 ?1

则可设 x=2m(m∈N) , 则

7 2m ? 1 3? 2y = 7 2m ?2 + 7 2m ?4 + L + 1 = 2 = 2 y ?4 ,故 m 必为偶数,再设 x=4n(n 72 ?1 7 ?1

7 4n ? 1 3? 2y 3? 2y 4n?4 4 n ?8 y ∈N) ,则 4 =7 +7 +L+1 = 4 = ,显然 3 ? 2 不能被 5 整除, 7 ?1 7 ? 1 48 × 50
因此 y≥5 时,方程无整数解。∴原方程仅有两组解 x=1,y=1 和 x=2,y=4。 26.解:设满足题设条件的数为 a n ,则 a n + 4 是同时能被 6 和 7 整除的数,所以数列

{a n + 4} 是以 42 为公差的等差数列,故 {a n } 也是以 42 为公差的等差数列,且 a1 = 38 , a n = 38 + 42 ? (n ? 1) 。∵38+42· (n-1)≤1000,∴n≤23,
∴S =

23(76 + 22 × 42) = 11500 。∴满足条件的数有 23 个,它们的和为 11500。 2


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