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赣县中学高中数学竞赛数论第6六讲同余(上)

时间:2017-09-27

赣县中学高中数学竞赛------数论

第6讲
一、知识要点: 1、同余



余(一)

①、定义:设 m ? N ? ,如果两个整数 a , b 除以 m 的余数相同,那么称 a与b 对模 m 同余, 记作: a ? b(modm) ,读作 a 同余 b 模 m ,否则记为 a ②、同余的基本性质 ⑴、反身性: a ? a(modm) ; ⑵、对称性: a ? b(modm) ? b ? a(modm) ; ⑶、传递性:若 a ? b(modm) , b ? c(modm), 则 a ? c(modm) ; ⑷、定理 1:设 a1 ? b1 (modm) , a2 ? b2 (modm) ,则 (ⅰ) 、 a1 ? a2 ? b1 ? b2 (modm) ; (ⅱ) 、 a1a2 ? b1b2 (modm) ; ⑸、推论 1:若 ak ? bk (modm) , k ? 1,2,?? n ,则 (ⅰ) 、 (ⅱ) 、 ? a k ?? bk (modm) ; ? ak ?? bk (modm) ;
k ?1 k ?1 k ?1 k ?1 n n n n

b(mod m)

⑹、推论 2:若 a ? b(modm) ,则 a n ? b n (modm) ;

m o d ⑺、定理 2: 若 a1a2 ? b1b2 (

m) , m o d m) ; 则 a1 ? b1 ( a2 ? b2 (modm) 且 (a2 , m) ? 1,

⑻、推论 3:若 ac ? bc(modm)且(m, c) ? 1, 则 a ? b(modm) ; ⑼、定理 3:若 a ? b(modm1 ), a ? b(modm2 ),??a ? b(modmn ) 且 M ? [m1 , m2 ,??mn ] 则 a ? b(modM ) (10)、定理 4: (费马小定理) :设 p 为素数,且 p
p (11) 、推论:设 p 为素数,则 a ? a(mod p)

a ,则 a p?1 ? 1(mod p)

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赣县中学高中数学竞赛------数论

二、要点分析: 三、例题讲解:
n n n n 例 1、试证: 1992 2000 ? 200 ? 449 ? 257

例 2、求 19922000 被 29 除的余数 例 3、求使 2 ? 1 为 7 的倍数的所有正整数 n
n

例 4、求 3 除余 2 且 7 除余 4 的二位数和三位数之和 例 5、试求不定方程 x1 ? x2 ? ?? ? x14 ? 1599的所有整数解 例 6、设 p 为大于 5 的素数,求证在数列 1,11,111,1111,……中有无穷多项是 p 的倍数
4 4 4

第6讲
1、 当 2
100

同余(一)练



班级:_____________姓名:_________________ 被 13 整除时,余数是_________.

2、 1 ? 3 ? 5 ? ?? 2005 的末三位数字为_______. 3、 若 a 2 ? b 2 ? 0(mod3), 则( ) A、 3 a 且 3 b B、 3 a 且 3

b C、 3 a 且 3 b D、 3 a 且 3 b

4、 22225555 ? 55552222 ? _______(mo d 7) 5、 数列 {an } 定义如下: 则 a4 a0 ? 1, a1 ? 2, an?2 ? an ? an?1 , 0 2
2

除以 7 的余数是_____.

6、 试证明:任何大于 5 的质数的平方除以 30 时,余数只能是 1 或 19
n n 7、 求最小的正整数 a ,使得存在正奇数 n ,满足 2009 (55 ? a ? 32 )

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