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浙江专版高中数学课时跟踪检测九综合法和分析法新人教A版选修2 2(含答案)

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课时跟踪检测(九) 综合法和分析法 层级一 学业水平达标 1 1 1.若 a>b>1,x=a+ ,y=b+ ,则 x 与 y 的大小关系是( a b ) A.x>y C.x≥y B.x<y D.x≤y 1 解析:选 A 因为函数 y=x+ 在[1,+∞)上是增函数,又因为 a>b>1,∴x>y. x 1 1 x y 2.已知 a,b,x,y 均为正实数,且 > ,x>y,则 与 的大小关系为( a b x+a y+b A. C. ) x y > x+a y+b x x+a y+b < B. D. x y ≥ x+a y+b x x+a y+b ≤ y y 解析:选 A ∵a,b 均为正数, 1 1 ∴由 > 得 0<a<b, a b 又∵x>y>0, ∴xb>ay. ∴xy+xb>xy+ay. 即 x(y+b)>y(x+a). 两边同除正数(y+b)(x+a), 得 x x+a y+b > y ,故选 A. 3.在不等边三角形中,a 为最大边,要想得到∠A 为钝角的结论,三边 a,b,c 应满足 什么条件( 2 2 ) 2 A.a <b +c C.a >b +c 2 2 B.a =b +c D.a ≤b +c 2 2 2 2 2 2 2 b2+c2-a2 2 2 2 解析:选 C 由 cos A= <0,得 b +c <a . 2bc ln 2 ln 3 ln 5 4.若 a= ,b= ,c= ,则( 2 3 5 A.a<b<c C.c<a<b ) B.c<b<a D.b<a<c ln x 1-ln x 解析: 选 C 利用函数单调性. 设 f(x)= , 则 f′(x)= , ∴0<x<e 时, f′(x) 2 x x 1 ln 4 >0,f(x)单调递增;x>e 时,f′(x)<0,f(x)单调递减.又 a= ,∴b>a>c. 4 5. 设 f(x)是定义在 R 上的奇函数, 且当 x≥0 时,f(x)单调递减, 若 x1+x2>0, 则 f(x1) +f(x2)的值( A.恒为负值 C.恒为正值 ) B.恒等于零 D.无法确定正负 解析:选 A 由 f(x)是定义在 R 上的奇函数, 且当 x≥0 时,f(x)单调递减, 可知 f(x)是 R 上的单调递减函数, 由 x1+x2>0,可知 x1>-x2,f(x1)<f(-x2)=-f(x2),则 f(x1)+f(x2)<0. 6.命题“函数 f(x)=x-xln x 在区间(0,1)上是增函数”的证明过程“对函数 f(x)= x-xln x 取导得 f′(x)=-ln x,当 x∈(0,1)时,f′(x)=-ln x>0,故函数 f(x)在区 间(0,1)上是增函数”应用了________的证明方法. 解析:该证明过程符合综合法的特点. 答案:综合法 7.如果 a a+b b>a b+b a,则正数 a,b 应满足的条件是________. 解析:∵a a+b b-(a b+b a) =a( a- b)+b( b- a)=( a- b)(a-b) =( a- b) ( a+ b). ∴只要 a≠b,就有 a a+b b>a b+b a. 答案:a≠b 8.若不等式(-1) a<2+ ________. 1 1 1 3 3 解析:当 n 为偶数时,a<2- ,而 2- ≥2- = ,所以 a< ,当 n 为奇数时,a>- n n 2 2 2 1 1 3 2- ,而-2- <-2,所以 a≥-2.综上可得,-2≤a< . n n 2 3? ? 答案:?-2, ? 2? ? 1 1 9.已知 a>0, - >1. n 2 - n+1 n 对任意正整数 n 恒成立,则实数 a 的取值范围是 b a (1)求证:0<b<1; (2)求证: 1+a> 1 1-b . 2 1 1 1 1 证明:(1)由 a>0, - >1 可得 > +1>1, b a b a 所以 0<b<1. (2)因为 a>0,0<b<1,要证 1+a> 只需证 1+a· 1-b>1, 即证 1+a-b-ab>1, 即证 a-b-ab>0,即 1 1-b , a-b >1, ab 1 1 又 - >1,这是已知条件,所以原不等式得证. b a 10.已知数列{an}的首项 a1=5,Sn+1=2Sn+n+5,(n∈N ). (1)证明数列{an+1}是等比数列. (2)求 an. 解:(1)证明:由条件得 Sn=2Sn-1+(n-1)+5(n≥2)① 又 Sn+1=2Sn+n+5,② ②-①得 an+1=2an+1(n≥2), 所以 * an+1+1 = an+1 an+ +1 = an+1 an+ an+1 =2. 又 n=1 时,S2=2S1+1+5,且 a1=5, 所以 a2=11,所以 a2+1 11+1 = =2, a1+1 5+1 所以数列{an+1}是以 2 为公比的等比数列. (2)因为 a1+1=6,所以 an+1=6×2 所以 an=3×2 -1. 层级二 应试能力达标 1 1 1.使不等式 < 成立的条件是( n n-1 =3×2 , n a b ) B.a<b D.a>b 且 ab>0 A.a>b C.a>b 且 ab<0 1 1 1 1 b-a 解析:选 D 要使 < ,须使 - <0,即 <0. a b a b ab 若 a>b,则 b-a<0,ab>0;若 a<b,则 b-a>0,ab<0. 2.对任意的锐角 α ,β ,下列不等式中正确的是( A.sin(α +β )>sin α +sin β B.sin(α +β )>cos α +cos β 3 ) C.cos(α +β )>sin α +sin β D.cos(α +β )<cos α +cos β 解析:选 D 因为 α ,β 为锐角,所以 0<α

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