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广东省广州市重点学校备战2017高考数学一轮复习 圆锥曲线试题精选28

时间:2016-07-30

圆锥曲线 28
1.设双曲线 率为( A.

x2 y2 ? 2 ? 1 的一条渐近线与抛物线 y=x 2 +1 只有一个公共点,则双曲线的离心 2 a b

). B. 5 C.

5 4

5 2

D. 5

【命题立意】:本题考查了双曲线的渐近线的方程和离心率的概念,以及直线与抛物线的位置 关系,只有一个公共点,则解方程组有唯一解.本题较好地考查了基本概念基本方法和基本技 能.

2.下列曲线中离心率为 6 的是 2 (A)

x2 y 2 ? ?1 2 4

(B)

x2 y 2 ? ?1 4 2

2 2 (C) x ? y ? 1

4

6

(D) x ? y ? 1
4 10

2

2

c2 3 b2 3 b2 1 6 ? ,1 ? ? , ? ,选 B [解析]由 e ? 得 2 a 2 a2 2 a2 2 2
3.双曲线

x2 y2 =1 的焦点到渐近线的距离为 4 12
(B)2 (C) 3 (D)1

(A) 2 3

解析:双曲线 A

x2 y2 =1 的焦点(4,0)到渐近线 y ? 3x 的距离为 d ? 4 12

3?4?0 2

? 2 3 ,选

-1-

4.设抛物线 y 2 =2x 的焦点为 F,过点 M( 3 ,0)的直线与抛物线相交于 A,B 两点,与抛物 线的准线相交于 C, BF =2,则 ? BCF 与 ? ACF 的面积之比

S?BCF = S?ACF

(A)

4 5

(B)

2 3

(C)

4 7

(D)

1 2

【考点定位】本小题考查抛物线的性质、三点共线的坐标关系,和综合运算数学的能力, 中档题。
6

C

4

2

F: (0.51 , 0.00 )

A F

-5

5

10

x=-0.5
-2

B

-4

解析:由题知
-6

S ?BCF S ?ACF

1 BC 2 ? 2xB ? 1 , ? ? 1 2xA ? 1 AC xA ? 2 xB ?

又 | BF |? x B ?

1 3 ? 2 ? xB ? ? yB ? ? 3 2 2

由 A 、 B 、 M 三点共线有

0 ? 2xA yM ? y A y ? yB 0? 3 ? ? M 即 ,故 x A ? 2 , 3 xM ? x A xM ? xB 3 ? xA 3? 2



S ?BCF 2 x B ? 1 3 ? 1 4 ? ? ? ,故选择 A。 S ?ACF 2 x A ? 1 4 ? 1 5

x2 y 2 5.过双曲线 2 ? 2 ? 1 (a ? 0, b ? 0) 的右顶点 A 作斜率为 ?1 的直线,该直线与双曲线的两 a b

-2-

条渐近线的交点分别为 B, C .若 AB ? A. 2 答案:C B. 3

??? ?

? 1 ??? BC ,则双曲线的离心率是 ( 2
C. 5

) D. 10

解 析 : 对 于 A? a,0? , 则 直 线 方 程 为 x ? y ? a ? 0 , 直 线 与 两 渐 近 线 的 交 点 为 B , C ,

? a2 ab ? a2 ab B? , ,? ), ? , C( a ?b a ?b ? a?b a?b ?
??? ? ? ? ab ab ? 2a 2b 2a 2b ??? 则有 BC ? ( 2 , ? ), AB ? ?? , ?, a ? b2 a 2 ? b2 ? a ?b a ?b ? ??? ? ??? ? 因 2 AB ? BC,?4a2 ? b2 ,?e ? 5 .

6.设已知抛物线 C 的顶点在坐标原点,焦点为 F(1,0),直线 l 与抛物线 C 相交于 A,B 两点。 若 AB 的中点为(2,2) ,则直线 ? 的方程为_____________.

7.若圆 x ? y ? 4 与圆 x ? y ? 2ay ? 6 ? 0 (a>0)的公共弦的长为 2 3 ,
2 2 2 2

则a

? ___________



【考点定位】本小题考查圆与圆的位置关系,基础题。 解析:由知 x ? y ? 2ay ? 6 ? 0 的半径为 6 ? a ,由图可知 6 ? a 2 ? (?a ? 1) 2 ? ( 3 ) 2
2 2

2

解之得 a ? 1 8. 如图, 在平面直角坐标系 xoy 中,A1 , A2 , B1 , B2 为椭圆

x2 y 2 ? ? 1(a ? b ? 0) 的四个顶点, a 2 b2

F 为其右焦点, 直线 A1B2 与直线 B1F 相交于点 T, 线段 OT 与椭圆的交点 M 恰为线段 OT 的
中点,则该椭圆的离心率为 .

解析: 考查椭圆的基本性质,如顶点、焦点坐标,离心率的计算等。以及直线的方程。
-3-

直线 A1B2 的方程为: 直线 B1F 的方程为:

x y ? ? 1; ?a b

x y 2ac b(a ? c ) ? ? 1 。二者联立解得: T ( , ), c ?b a?c a?c

x2 y 2 ac b(a ? c) 则M( , ) 在椭圆 2 ? 2 ? 1(a ? b ? 0) 上, a b a ? c 2(a ? c)

c2 (a ? c) 2 ? ? 1, c 2 ? 10ac ? 3a 2 ? 0, e2 ? 10e ? 3 ? 0 , (a ? c)2 4(a ? c)2
解得: e ? 2 7 ? 5 9.巳知椭圆 G 的中心在坐标原点,长轴在 x 轴上,离心率为 焦点的距离之和为 12,则椭圆 G 的方程为 解析: e ? .

3 ,且 G 上一点到 G 的两个 2

x2 y2 3 ? ? 1. , 2a ? 12 , a ? 6 , b ? 3 ,则所求椭圆方程为 36 9 2

x2 y 2 ? ? 1 的左焦点, A(1, 4), P 是双曲线右支上的动点,则 PF ? PA 10.以知 F 是双曲线 4 12
的最小值为 。

11.已知椭圆 C1 : 长为 1 .

y 2 x2 ? ? 1 (a ? b ? 0) 的右顶点为 A(1, 0) ,过 C1 的焦点且垂直长轴的弦 a 2 b2

(I)求椭圆 C1 的方程; (II)设点 P 在抛物线 C2 : y ? x ? h (h ? R) 上, C2 在点 P 处
2

的切线与 C1 交于点 M , N .当线段 AP 的中点与 MN 的中 点的横坐标相等时,求 h 的最小值.

-4-

?b ? 1 y2 ?a ? 2 ? 2 解析: (I)由题意得 ? b ,? ? , 所求的椭圆方程为 ? x 2 ? 1, 4 ?2 ? ? 1 ?b ? 1 ? a
(II) 不妨设 M ( x1 , y1 ), N ( x2 , y2 ), P(t , t 2 ? h), 则抛物线 C2 在点 P 处的切线斜率为 y?
x ?t

? 2t ,

直 线 MN 的 方 程 为 y ? 2tx ? t 2 ? h , 将 上 式 代 入 椭 圆 C1 的 方 程 中 , 得

12.本题满分 10 分) 在平面直角坐标系 xoy 中,抛物线 C 的顶点在原点,经过点 A(2,2) ,其焦点 F 在 x 轴上。 (1)求抛物线 C 的标准方程;

(2)求过点 F,且与直线 OA 垂直的直线的方程;

(3)设过点 M (m, 0)(m ? 0) 的直线交抛物线 C 于 D、E 两点,ME=2DM,记 D 和 E 两点间的距 离为 f ( m) ,求 f ( m) 关于 m 的表达式。 解析: [必做题]本小题主要考查直线、抛物线及两点间的距离公式等基本知识,考查运算求 解能力。满分 10 分。

-5-

13. (本小题满分 14 分) 设椭圆 E:

x2 y 2 ? ? 1 (a,b>0)过 M(2, 2 ) ,N( 6 ,1)两点,O 为坐标原点, a 2 b2

(I)求椭圆 E 的方程; (II)是否存在圆心在原点的圆,使得该圆的任意一条切线与椭圆 E 恒有两个交点 A,B,且

??? ? ??? ? OA ? OB ?若存在,写出该圆的方程,并求|AB |的取值范围,若不存在说明理由。
解:(1)因为椭圆 E:

x2 y 2 ? ? 1 (a,b>0)过 M(2, 2 ) ,N( 6 ,1)两点, a 2 b2

2 ?4 ?1 1 ? 2 ?1 ? 2 ? ? ?a 2 ? 8 x2 y 2 ?a b ? a2 8 ? ?1 所以 ? 解得 ? 所以 ? 2 椭圆 E 的方程为 8 4 ?b ? 4 ? 6 ? 1 ?1 ?1 ?1 ? ? ? a 2 b2 ? b2 4
(2)假设存在圆心在原点的圆,使得该圆的任意一条切线与椭圆 E 恒有两个交点 A,B,

-6-

? y ? kx ? m ??? ? ??? ? ? 且 OA ? OB , 设 该 圆 的 切 线 方 程 为 y ? kx ? m 解 方 程 组 ? x 2 y 2 得 ?1 ? ? 4 ?8

x2 ? 2(kx ? m)2 ? 8 ,即 (1 ? 2k 2 ) x2 ? 4kmx ? 2m2 ? 8 ? 0 ,
则△= 16k 2m2 ? 4(1 ? 2k 2 )(2m2 ? 8) ? 8(8k 2 ? m2 ? 4) ? 0 ,即 8k 2 ? m2 ? 4 ? 0

4km ? x1 ? x2 ? ? ? ? 1 ? 2k 2 ? 2 ? x x ? 2m ? 8 1 2 ? 1 ? 2k 2 ?
y1 y2 ? (kx1 ? m)(kx2 ? m) ? k 2 x1 x2 ? km( x1 ? x2 ) ? m2 ?

,

k 2 (2m2 ? 8) 4k 2 m2 m2 ? 8k 2 2 ? ? m ? 1 ? 2k 2 1 ? 2k 2 1 ? 2k 2

? 要 使 O A

? ? ??

? ? ?? O ,B 需 使 x1 x2 ?

y1 ?y 0 2 , 即

2m2 ? 8 m2 ? 8k 2 ? ?0 , 所 以 1 ? 2k 2 1 ? 2k 2

3m2 ? 8k 2 ? 8 ? 0 , 所 以 k 2 ?

? m2 ? 2 3m2 ? 8 ? 0 又 8k 2 ? m2 ? 4 ? 0 , 所 以 ? 2 ,所以 8 ? 3m ? 8

m2 ?

8 2 6 2 6 ,即 m ? 或m?? , 因为直线 y ? kx ? m 为圆心在原点的圆的一条切 3 3 3

线, 所以圆的半径为 r ?

m 1? k 2

,r ?
2

m2 ? 1? k 2

m2 8 2 6 ? ,r ? ,所求的圆为 2 3m ? 8 3 3 1? 8

x2 ? y 2 ?

8 2 6 2 6 ,此时圆的切线 y ? kx ? m 都满足 m ? 或m? ? ,而当切线的斜率 3 3 3

不存在时切线为 x ? ?

x2 y 2 2 6 2 6 2 6 ? ?1 的 两 个 交 点 为 ( 与椭圆 ,? )或 8 4 3 3 3

(?

??? ? ??? ? 8 2 6 2 6 ,? ) 满足 OA ? OB ,综上, 存在圆心在原点的圆 x 2 ? y 2 ? ,使得该圆的 3 3 3 ??? ? ??? ?

任意一条切线与椭圆 E 恒有两个交点 A,B,且 OA ? OB .

4km ? x1 ? x2 ? ? ? ? 1 ? 2k 2 因为 ? , 2 ? x x ? 2m ? 8 1 2 ? 1 ? 2k 2 ?
-7-

所以 ( x1 ? x2 ) ? ( x1 ? x2 ) ? 4 x1 x2 ? (?
2 2

4km 2 2m2 ? 8 8(8k 2 ? m2 ? 4) , ) ? 4 ? ? 1 ? 2k 2 1 ? 2k 2 (1 ? 2k 2 )2

| AB |? ( x1 ? x2 )2 ? ? y1 ? y2 ? ? (1 ? k 2 )( x1 ? x2 ) 2 ? (1 ? k 2 )
2

8(8k 2 ? m2 ? 4) (1 ? 2k 2 )2

?

32 4k 4 ? 5k 2 ? 1 32 k2 ? 4 ? [1 ? ], 3 4k ? 4k 2 ? 1 3 4k 4 ? 4k 2 ? 1

【命题立意】:本题属于探究是否存在的问题,主要考查了椭圆的标准方程的确定,直线与椭圆 的位置关系直线与圆的位置关系和待定系数法求方程的方法 ,能够运用解方程组法研究有关 参数问题以及方程的根与系数关系.

-8-


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