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2.3.1 直线与平面垂直的判定与性质4

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直线与平面垂直
的判定与性质

观察实例,发现新知 旗杆与地面的关系, 给人以直线与平面 垂直的形象。

观察实例,发现新知 房屋的屋柱与地面的 关系,给人以直线与 平面垂直的形象。

实例引入
生活中有很多直线与平面垂直的实例

大桥的桥柱与水面垂直

直棱柱的侧棱与底面的位置关系

引入新课 一条直线与一个平面垂直的意义是什么?
A

α

B

旗杆AB所在直线 直线垂直于平面内的 与地面内任意一条过点 B的直线垂直.

任意一条直线.B的直线B1C1也垂直. 与地面内任意一条不过点

直线与平面垂直

定义:
如果直线 l 与平面? 内的任意一条直线都垂直, 我们说直线 l 与平面 ? 互相垂直, 记作 l ? ? .
平面 ? 的垂线

垂足

l
P

直线 l 的垂面

?
直线与平面的 一条边垂直

思考:
1.如果一条直线 l 和一个平面内的无数条直线都垂 直,则直线 l 和平面 α互相垂直( ? )
l
C

?

B

2. a ? ? , b ? ? ? a ? b
性质定理

(? )

直线 l 垂直于平面α ,则直线 l 垂直于 平面α中的任意一条直线

线线垂直

线面垂直

直线与平面垂直 探究: 除定义外,如何判定一条直线与平面垂直呢?
A A 如图,准备一块三角形的纸片,做一个试验: A

l
P
C C C

A
D

?
B B
D D

? C ?

B B

D

当且仅当折痕 AD 是 BC 边上的高时,AD所在直 过 ?ABC 的顶点 A翻折纸片,得到折痕AD,将翻 ? 线与桌面所在平面 垂直. 折后的纸片竖起放置在桌面上(BD,DC于桌面接触)

3.归纳:

l

一条直线与一个平面内的两条相
交直线都垂直,则该直线与此平

面垂直。

b
a

A

符号语言:

a ? ? , b ? ? , a ? b ? A, l ? a, l ? b ? l ? ?
(1)定理中的“两条相交直线”这一条件不可忽视; (2)定理体现了“直线与平面垂直”与“直线与直线垂直” 互相转化的数学思想。

直线与平面垂直判定定理

一条直线与一个平面内的两条相交直线都垂直, 则该直线与此平面垂直.

? ? ? a ?? ?? l ?? ? b ?? a ?b ? A ? ?
线线垂直 判定定理

l?a l ?b

l

b

?

A

a

线面垂直

4.直线和平面所成角
1.斜线 和平面相交,但不垂直的直线叫做平面的斜线 2.斜足 斜线和平面相交的交点 3.斜线在平面内的射影 过斜线上斜足以外的一点向平 面引垂线,过垂足和斜足的直线 P

平面的斜线和它在平面内 的射影所成的锐角,叫做 直线和平面所成的角

?
O

B

A

说明:
1.若直线垂直平面,则直线和平面所 成的角为90° 2.若直线和平面平行,或直线在平面 内,则直线和平面所成的角为0 ° 直线和平面所成角的取值范围为 [0°,90°]

异面直线所成角的取值范围?

斜线

P 垂线

例1

已知

PO ? ? , a ? ? , a ? AO 求证 a ? PA
D1 A1
1





a

?
斜线在平面上的射影

C1 B1 C

找垂线 得射影

分别指出对角线A1C 与六个面所成的角. A

D

B

1

问题探究 1.如果直线垂直于平面内的两条平行线,这条直 线垂直于这个平面吗? 提示:不一定垂直.两条相交直线就可确定唯一 平面.若是平行直线,如图,直角三角尺的一直 角边放在平面 α内,另一直角边与 α 倾斜一个角度, 则 在 α 内 , 与 直 角 边 AC 平 行 的 直 线 会 有 无 数 条.也说明一条直线垂直于平面内无数直线,直 线不一定垂直于平面.

2.过一点垂直于某个平面的直线有几条?过一点垂
直于某直线的平面有几个?

提示:都是唯一一个.
3.若直线l垂直于平面α,那么l与平面α内的直线有

什么关系?
提示:l垂直于平面内的所有直线.

例1 在正方体 ABCD- A1B1C1D1中,求证: BD1⊥平面

ACB1. 【思路点拨】

解答本题从结论出发,要证BD1⊥平面ACB1, 只需证明BD1垂直于平面ACB1内某两条相交直线即可.由于平面 ACB1内的三条线段AC、B1C、AB1与BD1的相对位置相同,因此 只须证明BD1垂直于其中的任意一条,其余的同理可证. 【证明】 连结BD,∴AC⊥BD. 又∵DD1⊥平面ABCD, AC?平面ABCD, ∴DD1⊥AC, 又∵DD1∩BD=D, ∴AC⊥平面D1DB, 又∵BD1?平面D1DB, ∴AC⊥BD1. 同理可证BD1⊥AB1, 又∵AB1∩AC=A,

例2 在正方体ABCD-A′B′C′D′中,求:

(1)直线A′B和平面ABCD所成的角
(2)直线A′B和平面A′B′CD所成的角
D’ A’ B’ O

C’

D A B

C

例3

如图,在长方体ABCD-A1B1C1D1中,AA1= AD = a , AB = 2a ,在棱 D1C1 上是否存在点 E ,使得 DE⊥面BCE.

【思路点拨】 猜想 D1C1 的中点,寻求 DE ⊥面 BCE的条件.
【解】 若取 D1C1 的中点 E, ∵ BC⊥ CD, BC⊥ CC1, ∴ BC⊥面 CDD1C1. 又 DE? 面 CDD1C1,∴ DE⊥ BC. 在△ CDE 中, CD= 2a, CE= DE= 2a, 则有 CD2= CE2+ DE2, ∴∠ DEC=90° .∴ DE⊥ EC. 又 BC∩ EC= C, BC? 平面 BCE, EC? 平面 BCE, ∴ DE⊥平面 BCE.

例3练习 在正方体ABCD—A1B1C1D1 中, 1. 两直线与一个平面所成的角相等,它们平行吗 ? 求直线 A1B与平面A1B1CD所成的角 2.两平行直线和一个平面所成的角相等吗?

D1
A1
Q

C1

D1
A1

C1 B1 F

B1
P

D
1

C A

D
O

C B E
1

A

B

变式:(1)求直线AC与平面A1B1CD所成的角 (2)E,F分别是BC,CC1的中点,求EF与面ACC1A1 所成的角.

三、实际应用,巩固深化
例1:有一根旗杆AB高8米,它的顶端A挂有一条长10 米的绳子,拉紧绳子并把它的下端放在地面上的两点 (和旗杆脚不在同一条直线上)C、D,如果这两点

都和旗杆脚B的距离是6米,那么旗杆就和地面升起垂
直,为什么? 课堂练习:已知三角形ABC, 直线l ⊥AB,l ⊥AC,求证l ⊥BC。
C B D A

例2:直线a、b和平面α有以下三种关系:(1)

a // b,(2)a ⊥α,(3)b ⊥α,
如果任意取其中两个作为前提,另一个作为

结论构造命题,能构成几个命题?并判断其
真假。如果是真命题,请予以证明;如果是

假命题,请举一个反例。

命题1:如图,已知a // b,a ⊥α, 求证:b ⊥α。
a b

α

? 归纳(直线与平面垂直的判定定理2) ? 两条互相平行的直线,如果有一条与一个平面 垂直,则另一条也与这个平面垂直。

命题2:如图,已知直线a ⊥α ,b ⊥α ,

那么a // b。

a

b

α

归纳(直线与平面垂直的性质):

垂直于同一平面的两条直线平行。

课堂练习
1.如图,在三棱锥V—ABC中,VA=VC, AB=BC, 求证:VB⊥AC。 V

A B

C

六.课堂小结.
1. 定义:如果一条直线垂于一个平面内的任何一条 直线,则此直线垂直于这个平面.

直线与平面垂直的判定方法:
2.判定定理:如果一条直线垂直于一个平面内的两条 相交直线,那么此直线垂直于这个平面。

线面垂直?线线垂直
3. 如果两条平行直线中的一条垂直于一个平面,那 么另一条也垂直于同一个平面。 4.如果直线和平面所成的角等于90°,则这条直线和 平面垂直

“平面化”是解决立体几何问题的一般思路。


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