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安徽高中数学第二章数列2.4等比数列2.4.1等比数列的概念及通项公式教案

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2.4.1
项目 课题

等比数列的概念及通项公式
内容

2.4.1 等比数列的概念及通项公式 修改与创新 (共 一、知识与技能 1.了解现实生活中存在着一类特殊的数列 2.理解等比数列的概念,探索并掌握等比数列的通项公式 3.能在具体的问题情境中,发现数列的等比关系,并能用有关的知 识解决相应的实际问题; 4.体会等比数列与指数函数的关系 二、过程与方法 教学 目标 1.采用观察、 思考、 类比、 归纳、 探究、 得出结论的方法进行教学 2.发挥学生的主体作用,作好探究性活动 3.密切联系实际,激发学生学习的积极性 三、情感态度与价值观 1.通过生活中的大量实例,鼓励学生积极思考,激发学生对知识的 探究精神和严肃认真的科学态度,培养学生的类比、归纳的能力 2.通过对有关实际问题的解决,体现数学与实际生活的密切联系, 激发学生学习的 兴趣 1 课时)

教学重点 1.等比数列的概念 教学 2.等比数列的通项公式 重、 教学难点 1.在具体问题中抽象出数列的模型和数列的等比关系 难点 2.等比数列与指数函数的关系 教学 多媒体课件 准备 教学过 程 导入新课 师 现实生活中,有许多成倍增长的实例 .如,将一张报纸对折、对折、 再对折、…,对折了三次,手中的报纸的层数就成了 8 层,对折了 5 次

就成了 32 层.你能举出类似的例子吗? 生 一粒种子繁殖出第二代 120 粒种子,用第二代的 120 粒种子可以繁殖 出第三代 120×120 粒种子,用第三代的 120×120 粒种子可以繁殖出第 四代 120×120×120 粒种子, 师 非常好的一个例子! 现实生活中,我们会遇到许多这类的事例 教师出示多媒体课件一:某种细胞分裂的模型

师 细胞分裂的个数也是与我们上述提出的问题类似的实例 .细胞分裂有 什么规律,将每次分裂后细胞的个数写成一个数列,你能写出这个数列 吗? 生 通过观察和画草图,发现细胞分裂的规律,并记录每次分裂所得到的 细胞数,从而得到每次细胞分裂所得到的细胞数组成下面的数列: 1,2,4,8, 教师出示投影胶片 1:“一尺之棰,日取其半,万世不竭 师 这是《庄子·天下篇》中的一个论述,能解释这个论述的含义吗? 生 思考、讨论,用现代语言叙述 师 (用现代语言叙述后)如果把“一尺之棰”看成单位“1”,那么得到 的数列是什么样的呢? 生 发现等比关系, 写出一个无穷等比数列: 1, , , , 教师出示投影胶片 2:计算机病毒传播问题. 一种计算机病毒,可以查找计算机中的地址簿,通过邮件进行传播. 如果把病毒制造者发送病毒称为第一轮,邮件接收者发送病毒称为第二 轮,依此类推.假设每一轮每一台计算机都感染 20 台计算机,那么在不重 复的情况下,这种病毒感染的计算机数构成一个什么样的数列呢? 师 (读题后 )这种病毒每一轮传播的计算机数构成的数列是怎样的呢?

1 2

1 4

1 1 , … 8 16

引导学生发现“病毒制造者发送病毒称为第一轮”“每一轮感染 20 台计 算机”中蕴涵的等比关系 生 发现等比关系,写出一个无穷等比数列: 1,20,20 ,20 ,20 ,… 教师出示多媒体课件二:银行存款利息问题 师 介绍“复利”的背景:“复利”是我国现行定期储蓄中的一种支付利 息的方式,即把前一期的利息和本金加在一起算作本金,再计算下一期 的利息,也就是通常说的“利滚利”.我国现行定期储蓄中的自动转存业 务实际上就是按复利支付利息的 给出计算本利和的公式: 本利和=本金×(1+本金) ,这里 n 为存期 生 列出 5 年内各年末的本利和,并说明计算过程 师 生合作讨论得出“时间”“年初本金”“年末本利和”三个量之间 的对应关系,并写出:各年末本利和(单位:元)组成了下面数列: 10 000×1.019 8,10 000×1.019 8 ,10 000×1.019 8 ,10 000×1.019 8 ,10 000×1.019 8 . 师 回忆数列的等差关系和等差数列的定义,观察上面的数列①②③④, 说说它们有什么共同特点? 师 引导学生类比等差关系和等差数列的概念,发现等比关系 引入课题:板书课题 2.4 等比数列的概念及通项公式 推进新课 [合作探究] 师 从上面的数列①②③④中我们发现了它们的共同特点是:具有等比关 系.如果我们将具有这样特点的数列称之为等比数列,那么你能给等比数 列下一个什么样的定义呢? 生 回忆等差数列的定义,并进行类比,说出: 一般地,如果把一个数列,从第 2 项起,每一项与它前一项的比等于同 一个常数,那么这个数列叫做等比数列
4 5 2 3 2 3 4

n

[教师精讲] 师 同学们概括得很好, 这就是等比数列 有些书籍把等比数列的英文缩写记作 G.P.(Geometric

nce)的定义.
Progression).

我们今后也常用 G.P.这个缩写表示等比数列.定义中的这个常数叫做等 比数列的公比(common ratio),公比通常用字母 q 表示(q≠0). 请同学们想一想,为什么 q≠0 呢? 生 独立思考、合作交流、自主探究 师 假设 q=0,数列的第二项就应该是 0,那么作第一项后面的任一项与 它的前一项的比时就出现什么了呢? 生 分母为 0 了 师 对了,问题就出在这里了,所以,必须 师 那么,等比数列的首项能不能为 0 呢? 生 等比数列的首项不能为 师 是的,等比数列的首项和公比都不能为 0,等比数列中的任一项都不 会是 [合作探究] 师类比等差中项的概念,请同学们自己给出等比中项的概念 生 如果在 a 与 b 中间插入一个数 G,使 a、G、b 成等比数列,那么 G 叫 做 a、b 的等比中项. 师 想一想,这时 a、b 的符号有什么特点呢?你能用 a、b 表示 G 吗? 生 一起探究,a、b 是同号的

G b ? ,G=± ab ,G2=ab a G

师 观察学生所得到的 a、b、G 的关系式,并给予肯定 补充练习:与等差数列一样,等比数列也具有一定的对称性,对于等差 数列来说,与数列中任一项等距离的两项之和等于该项的 2 倍,即 a n-k+a
n+k

=2an.对于等比数列来说,有什么类似的性质呢?
2

生 独立探究,得出:等比数列有类似的性质:a n-k·a n+k=an [合作探究] 探究:

(1)一个数列 a1,a2,a3,…,an,…(a1≠0)是等差数列,同时还能不能是等比

数列呢? (2)写出两个首项为 1 的等比数列的前 5 项,比较这两个数列是否相同? 写出两个公比为 2 的等比数列的前 5 项,比较这两个数列是否相同? (3)任一项 an 及公比 q 相同,则这两个数列相同吗? (4)任意两项 am、an 相同,这两个数列相同吗? (5)若两个等比数列相同,需要什么条件? 师 引导学生探究,并给出(1)的答案, (2)(3)(4)可留给学生回答 生 探究并分组讨论上述问题的解答办法,并交流(1)的解答 [教师精讲] 概括总结对上述问题的探究,得出: (1)中,既是等差数列又是等比数列的数列是存在的,每一个非零常数列 都是公差为 0,公比为 1 的既是等差数列又是等比数列的数列 概括学生对(2)(3)(4)的解答 (2)中,首项为 1,而公比不同的等比数列是不会相同的;公比为 2,而 首项不同的等比数列也是不会相同的 (3)中,是指两个数列中的任一对应项与公比都相同,可得出这两个数列 相同; (4)中,是指两个数列中的任意两个对应项都相同,可以得出这两个数列 相同; (5)中,结论是:若两个数列相同,需要“首项和公比都相同 (探究的目的是为了说明首项和公比是决定一个等比数列的必要条件;为 等比数列的通项公式的推导做准备 [合作探究] 师回顾等差数列的通项公式的推导过程,你能推导出等比数列的通项公 式吗? 生 推导等比数列的通项公式 [方法引导] 师 让学生与等差数列的推导过程类比,并引导学生采用不完全归纳法得 出等比数列的通项公式

具体的,设等比数列{an}首项为 a1,公比为 q,根据等比数列的定义,我 们有:

a2=a1q,a3=a2q=a1q2,…,an=a n-1q=a1q n-1,
即 an=a1q
n-1

师 根据等比数列的定义,我们还可以写出

a a2 a3 a4 ? ? ? ... ? n ? q a1 a2 a3 an?1
进而有 an=an-1q=a n-2q =a n-3q =…=a1q 亦得
2 3

n-1

an=a1qn-1
师 观察一下上式,每一道式子里,项的下标与 q 的指数,你能发现有什 么共同的特征吗? 生 把 an 看成 anq ,那么,每一道式子里,项的下标与 q 的指数的和都是
0

n
师 非常正确,这里不仅给出了一个由 an 倒推到 an 与 a1,q 的关系,从而 得出通项公式的过程,而且其中还蕴含了等比数列的基本性质,在后面 我们研究等比数列的基本性质时将会再提到这组关系式 师 请同学们围绕根据等比数列的定义写出的式子

a a2 a3 a4 ? ? ? ... ? n ? q ,再思考 a1 a2 a3 an?1
如果我们把上面的式子改写成

a a a2 a ? q, 3 ? q, 4 ? q,..., n ? q a1 a2 a3 an?1

那么我们就有了 n-1 个等式,将这 n-1 个等式两边分别乘到一起(叠乘), 得到的结果是

an ? q n ?1 ,于是,得 an=a1q n-1 a1

师 这不又是一个推导等比数列通项公式的方法吗? 师 在上述方法中,前两种方法采用的是不完全归纳法,严格的,还需给 出证明.第三种方法没有涉及不完全归纳法,是一个完美的推导过程,不 再需要证明

师 让学生说出公式中首项 a1 和公比 q 的限制条件 生 a1,q 都不能为 [知识拓展] 师 前面实例中也有“细胞分裂”“计算机病毒传播”“复利计算”的 练习和习题,那里是用什么方法解决问题的呢? 教师出示多媒体课件三:前面实例中关于“细胞分裂”“计算机病毒传 播”“复利计算”的练习或习题. 某种储蓄按复利计算成本利息,若本金为 a 元,每期利率为 r,设存 期是 x,本利和为 y 元. (1)写出本利和 y 随存期 x 变化的函数关系式; (2)如果存入本金 1 000 元,每期利率为 2.25%,试计算 5 期后的 本利和. 师 前面实例中关于“细胞分裂”“计算机病毒传播”“复利计算”的 问题是用函数的知识和方法解决问题的 生 比较两种方法,思考它们的异同 [教师精讲] 通过用不同的数学知识解决类似的数学问题,从中发现等比数列和指数 函数可以联系起来. (1)在同一平面直角坐标系中,画出通项公式为 an=2 数 y=2 的图象,你发现了什么?
n ?1 (2)在同一平面直角坐标系中,画出通项公式为 a n ? ( ) 的数列的图象
x-1

n-1

的数列的图象和函

1 2

和函数 y=(

1 x-1 ) 的图象,你又发现了什么? 2

生 借助信息技术或用描点作图画出上述两组图象,然后交流、讨论、归 纳出二者之间的关系 师 出示多媒体课件四:借助信息技术作出的上述两组图象

观察它们之间的关系,得出结论:等比数列是特殊的指数函数,等 比数列的图象是一些孤立的点 师 请同学们从定义、通项公式、与函数的联系 3 个角度类比等差数列与 等比数列,并填充下列表格: 等差数列 定 义 从第二项起,每一项与它 前一项的差都是同一个常 数 首项、 公差(公比) 取值有无限制 通项公式 相应图象的特点 没有任何限制 等比数列 从第二项起,每一项 与它前一项的比都是 同一个常数 首项、 公比都不能为 0

an=a1+(n-1)d
直线 y=a1+(x-1)d 上孤立 的点

an=a1q n-1
函数 y=a1q 图象上孤 立的点
x-1

[例题剖析] 【例 1】某种放射性物质不断变化为其他物质,每经过一年,剩留的这种 物质是原来的 84%,这种物质的半衰期为多长(精确到 1 年)? 师 从中能抽象出一个数列的模型,并且该数列具有等比关系

【例 2】 根据右图中的框图,写出所打印数列的前 5 项,并建立数列的 递推公式,这个数列是等比数列吗? 师 将打印出来的数依次记为 a1(即 A),a2,a3, 可知 a1=1;a2=a1×

1 1 ;a3=a2× 2 2

于是,可得递推公式

?a1 ? 1, ? ? 1 an ? an?1 (n>1) ? 2 ?
由于

an 1 ? ,因此,这个数列是等比数列 a n ?1 2

生 算出这个数列的各项,求出这个数列的通项公式 练习: 1.一个等比数列的第 3 项和第 4 项分别是 12 和 18,求它的第 1 项和第 2 项 师 启发、引导学生列方程求未知量 生 探究、交流、列式、求解 2.课本第 59 页练习第 1、2 题 课堂小结 本节学习了如下内容: 1.等比数列的定义 2.等比数列的通项公式 3.等比数列与指数函数的联系 布置作业 课本第 60 页习题 2.4 A 组 第 1、2 题 等比数列的概念及通项公式 板书设 计 1.等比数列的定义 2.等比数列的通项公式 实例剖析 从三个角度类比等差数列表 练习:1.(学生板演) 例1 例2

教学反 思


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