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2010江苏高三数学模拟试题及答案

时间:2010-07-27


高三数学模拟试卷
一,填空题:

姓名____

_____.

二,解答题:
15.(本题满分 14 分) ABC 中内角 A, B , C 的对边分别为 a , b, c ,向量 m = (2sin B, 3), n = (cos 2 B, 2 cos

1 1.已知集合 M = {1,1}, N = {x < 2 x +1 < 4, x ∈ Z } ,则 M ∩ N = 2
2.若复数 z = sin α i(1 cos α ),α ∈ [0,π ) 是纯虚数,则α= 2 3.向量 a , b 满足 | a |= 1 , | a b |= 3 , a 与 b 的夹角为 60 , | b |= 2 4.已知函数 y = sin(x + ) cos(x + ) ,则其最小正周期 . .

1

.

m = (2sin B, 3), n = (cos 2 B, 2 cos 2

B 1) 且 m / / n 2

(Ⅰ)求锐角 B 的大小; (Ⅱ)如果 b = 2 ,求 ABC 的面积 SABC 的最大值.

π

π

. .

6

6

5.根据如图所示的算法流程图,可知输出的结果 T 为

6.已知 y = f (x ) 是定义在实数集 R 上的偶函数,且在 [0,+∞ ) 上单调递增.则不 等式 f ( 2 x ) ≤ f ( x + 1) 上的解集为 7.函数 y = cos( . . . . .
D C

π

x ) 的单调递增区间是 3 2

8.若等差数列 {an } 满足 a2 + S3 = 4 , a3 + S5 = 12 ,则 a4 + S 7 的值是 9.函数 f ( x ) = x a x 在[1,4]上单调递增,则实数 a 的最大值为 10.双曲线

x y 2 2 2 = 1 的渐近线与圆 ( x 3) + y = r ( r > 0) 相切,则 r = 6 3

2

2

11.如图,在矩形 ABCD 中, AB = 3 , BC = 1 ,以 A 为圆心,1 为半 径作四分之一个圆弧 DE , 在圆弧 DE 上任取一点 P , 则直线 AP 与线段 BC 有 公共点的概率是 . 12.已知两个不同的平面α , β 和两条不重合的直线,m,n,有下列四个命题: ①若 m // n, m ⊥ α ,则 n ⊥ α

(本题满分 14 分) 正方体 ABCD A1 B1C1 D1 的棱长为 2 ,O 是 AC 与 BD 的交点, E 为 BB1 的中点. 16. (Ⅰ)求证:直线 B1 D ‖平面 AEC ; (Ⅱ)求证: B1 D ⊥ 平面 D1 AC ;
A E B

D1

C1

(Ⅲ)求三棱锥 D D1OC 的体积.

β , 则α // β ; ③若 m ⊥ α , m // n, n β , 则α ⊥ β ; ④若 m // α ,α ∩ β = n, , 则m // n
其中不正确 不正确的命题的个数是 不正确
2 2

②若 m ⊥ α , m ⊥

A1

B1

E D O A B C

.

y x 13 . 如 图 , P 是 椭 圆 + =1 上 的 一 点 , F 是 椭 圆 的 左 焦 点 , 且 25 9 1 OQ = (OP + OF ) ,| OQ |= 4 则点 P 到该椭圆左准线的距离为 . 2
14.定义运算符号" ∏ ":表示若干个数相乘,例如: ∏ i = 1 × 2 × 3 × × n .记 Tn = ∏ ai ,
i =1
i =1

n

n

其中 ai 为数列 { an } 中的第 i 项.若 Tn = n 2 ( n ∈ N ) ,则 an =

.

17.(本题满分 15 分)抛物线 y 2 = 2 px 的准线的方程为 x = 2 ,该抛物线上的每个点到准线 x = 2 的距 离都与到定点 N 的距离相等,圆 N 是以 N 为圆心,同时与直线 l1 : y = x和l2 : y = x 相切的圆. (Ⅰ)求定点 N 的坐标; (Ⅱ)是否存在一条直线 l 同时满足下列条件: ① l 分别与直线 l1和l2 交于 A,B 两点,且 AB 中点为 E ( 4,1) ; ② l 被圆 N 截得的弦长为 2 .

1 19.(本题满分 16 分)已知数列{an}中,a1= ,点(n,2an+1an)(n∈N)在直线 y=x 上. 2 (Ⅰ)计算 a2,a3,a4 的值; (Ⅱ)令 bn=an+1an1,求证:数列{bn}是等比数列; Sn+λTn (Ⅲ)设 Sn,Tn 分别为数列{an},{bn}的前 n 项和,是否存在实数 λ,使得数列{ }为等差数列? n 若存在,试求出 λ 的值;若不存在,请说明理由.

18.(本题满分 15 分)如图所示,某市政府决定在以政府大楼 O 为中心,正北方向和正东方向的马路为边 界的扇形地域内建造一个图书馆.为了充分利用这块土地,并考虑与周边环境协调,设计要求该图书馆底面 矩形的四个顶点都要在边界上,图书馆的正面要朝市政府大楼.设扇形的半径 OM = R , ∠MOP = 45 , OB 与 OM 之间的夹角为 θ . (Ⅰ)将图书馆底面矩形 ABCD 的面积 S 表示成 θ 的函数; (Ⅱ)若 R = 45m ,求当 θ 为何值时,矩形 ABCD 的面积 S 有最大值?其最大值是多少?(精确到 0.01m2)
Q C M D F

20.(本题满分 16 分)已知函数 f ( x) = a ln x + x 2 (a 为实常数). (Ⅰ)若 a= 2,求证:函数 f (x)在(1,+∞)上是增函数; (Ⅱ)求函数 f (x)在[1,e]上的最小值及相应的 x 值; (Ⅲ)若存在 x∈[1,e],使得 f (x)≤ ( a + 2) x 成立,求实数 a 的取值范围.

B

O

A

P

数学参考答案及评分标准
1.{1} 2. π 8.24 15. 9.2 3.
1 2

设 l 的方程为 y 1 = k ( x 4) , (k ≠ ±1)

4. π

5.10 11.
1 3

6. 1 ,1 3

7.[4kπ + 2π , 4kπ + 8π ], k ∈ Z ,
3 3
n =1, 1, 2 14. an = n , n≥2. ( n 1)2

以 N 为圆心,同时与直线 l1 : y = x和l2 : y = x 相切的圆 N 的半径为 2 , 因为 l 被圆 N 截得的弦长为 2,所以圆心到直线的距离等于 1, 即d =

10. 3

12.1

13. 5
2

2k 1

4 = 1 ,解得 k = 0或 , 3 1+ k
2

-

解:(1)∵ m // n ∴ 2 sin B ( 2 cos 2 即

B 1) = 3 cos 2 B 2

当 k = 0 时,显然不合 AB 中点为 E ( 4,1) 的条件,矛盾! 当k = 由

∴ sin 2 B = 3 cos 2 B

tan 2 B = 3 ……………3 分 2π 3

又∵ B 为锐角 ∴ 2 B ∈ (0, π ) ∴ 2 B = (2)∵ B =

∴B =

π
3

4 时, l 的方程为 4 x 3 y 13 = 0 3

-

…………………………7 分

π
3

, b = 2,由余弦定理得 cos B =

a 2 + c 2 b2 即 a 2 + c 2 ac 4 = 0 ---------10 2ac

4 x 3 y 13 = 0 ,解得点 A 坐标为 (13,13) , y=x 4 x 3 y 13 = 0 13 13 ,解得点 B 坐标为 , , 7 7 y = x



又∵ a 2 + c 2 ≥ 2ac 代入上式得 ac ≤ 4 (当且仅当 a = c = 2 时等号成立)…12 分

显然 AB 中点不是 E ( 4,1) ,矛盾!

S ABC =

1 3 ac sin B = ac ≤ 3 (当且仅当 a = c = 2 时等号成立.)………14 分 2 4

所以不存在满足条件的直线 l .

16. (共 14 分)(Ⅰ)连接 OE ,在 B1 BD 中,

18.

【解】(Ⅰ)由题意可知,点 M 为 PQ 的中点,所以 OM ⊥ AD .

∵ E 为 BB1 的中点, O 为 BD 的中点, ∴ OE ‖ B1 D 又∵ B1 D 平面 AEC ∴直线 B1 D ‖平面 AEC . (Ⅱ)在正方体 ABCD A1 B1C1 D1 中,

设 OM 于 BC 的交点为 F,则 BC = 2 R sin θ , OF = R cos θ .

AB = OF

1 AD = R cos θ R sin θ . 2

所以 S = AB BC = 2 R sin θ ( R cos θ R sin θ ) = R 2 (2 sin θ cos θ 2sin 2 θ ) ∴ B1 B ⊥ AC .

∵ B1 B ⊥ 平面 ABCD , AC 平面 ABCD

∵ BD ⊥ AC 且 BB1 ∩ BD = B ∴ B1 D ⊥ AC ∴ AC ⊥ B1 D
同理可证 B1 D ⊥ AD1 ∵ AC ∩ AD1 = A ∴ B1 D ⊥ 平面 D1 AC .

π π = R 2 (sin 2θ 1 + cos 2θ ) = 2 R 2 sin(2θ + ) R 2 , θ ∈ (0, ) . 4 4 π π π 3π (Ⅱ)因为 θ ∈ (0, ) ,则 2θ + ∈ ( , ). 4 4 4 4 π π π 所以当 2θ + = ,即 θ = 时,S 有最大值. 4 2 8
Smax = ( 2 1) R 2 = ( 2 1) × 452 = 0.414 × 2025 = 838.35 .
故当 θ =

17.

解:(1)因为抛物线 y = 2 px 的准线的方程为 x = 2
2

所以 p = 4 ,根据抛物线的定义可知点 N 是抛物线的焦点, 所以定点 N 的坐标为 ( 2,0) (2)假设存在直线 l 满足两个条件,显然 l 斜率存在,

π 时,矩形 ABCD 的面积 S 有最大值 838.35m2. 8

19.

1 3 解析 : (Ⅰ)由题意,2an+1-an=n,又 a1=2,所以 2a2-a1=1,解得 a2= 4 ,

同理 a3=

11 35 ,a4= . 8 16

(3 分)

(Ⅱ)因为 2an+1-an=n, 所以 bn+1=an+2-an+1-1= an+1+n+1 n-an+1-1 -an+1-1= , 2 2

a a a 是减函数; 当 a < x ≤ e 时, f ′( x) > 0 ,此时 f (x) 是增函数.故 [ f ( x )] min = f ( a ) = ln( ) . 2 2 2 2 2

b n+ 1 1 bn=an+1-an-1=an+1-(2an+1-n)-1=n-an+1-1=2bn+1,即 = bn 2 3 3 1 又 b1=a2-a1-1=- ,所以数列{bn}是以- 为首项, 为公比的等比数列.(8 分) 4 4 2 3 1 - ×(1- n ) 2 4 3 1 n-1 1 n+1 1 3 (Ⅲ)由(2)得,bn=- ×( ) =-3×( ) ,Tn= =3×( )n+1- . 1 4 2 2 2 2 1- 2 1 1 又 an+1=n-1-bn=n-1+3×( )n+1,所以 an=n-2+3×( )n, 2 2 1 1 ×(1- n ) 2 2 n(n+1) n2-3n 3 -2n+3× = +3- n . 所以 Sn= 2 2 1 2 1- 2

若 a ≤ 2e 2 , f ′(x) 在 [1, e] 上非正(仅当 a = 2e 2 ,x=e 时, f ′( x) = 0 ),故函数 f (x) 在 [1, e] 上是减 函数,此时 [ f ( x)] min = f (e) = a + e 2 .…………………………………8 分 综上可知,当 a ≥ 2 时, f (x) 的最小值为 1,相应的 x 值为 1;当 2e 2 < a < 2 时, f (x)

的最小值为

a a a a ln( ) ,相应的 x 值为 ;当 a ≤ 2e 2 时, f (x) 的最小值为 a + e 2 ,相应的 x 值为 e . 2 2 2 2

(3)不等式 f ( x) ≤ (a + 2) x , 可化为 a ( x ln x) ≥ x 2 2 x .∵ x ∈ [1, e] , ∴ ln x ≤ 1 ≤ x 且等号不能同时取, (12 分) 所以 ln x < x ,即 x ln x > 0 ,因而 a ≥ 令 g ( x) =

x 2 2x ( x ∈ [1, e] )…………………12 分 x ln x

Sn+λTn 由题意,记 cn= .要使数列{cn}为等差数列,只要 cn+1-cn 为常数. n Sn+λTn cn= = n ( n2-3n 3 1 3 1 +3- n )+λ[3×( )n+1- ] 1- n 2 2 2 2 2 n-3 3 = +(3- λ)× , n 2 2 n 1 1- 2n-1 n-1 1- n 1 2n

x 2 2x ( x 1)( x + 2 2 ln x) ( x ∈ [1, e] ),又 g ′( x) = ,………………14 分 x ln x ( x ln x) 2

当 x ∈ [1, e] 时, x 1 ≥ 0, ln x ≤ 1 , x + 2 2 ln x > 0 ,从而 g ′( x) ≥ 0(仅当 x=1 时取等号),所以 g (x) 在 [1, e] 上为增函数,故 g (x) 的最小值为 g (1) = 1 ,所以 a 的取值范围是 [ 1,+∞) . ……16 分

cn-1=

n-4 3 +(3- λ)× 2 2

, 1- - 1 n-1 2 ). n-1 (16 分)

1 3 则 cn-cn-1= +(3- λ)×( 2 2

Sn+λTn 1 }为等差数列 故当 λ=2 时,cn-cn-1= 为常数,即数列{ 2 n

20.

【解析】(1)当 a = 2 时, f ( x) = x 2 2 ln x ,当 x ∈ (1,+∞) , f ′( x) = 解析】

2( x 2 1) >0, x

故函数 f (x) 在 (1,+∞) 上是增函数.………………………………………………4 分 (2) f ′( x) =

2x 2 + a ( x > 0) ,当 x ∈ [1, e] , 2 x 2 + a ∈ [a + 2, a + 2e 2 ] . x

若 a ≥ 2 , f ′(x) 在 [1, e] 上非负(仅当 a = 2 ,x=1 时, f ′( x) = 0 ),故函数 f (x) 在 [1, e] 上是增函数, 此时 [ f ( x)] min = f (1) = 1 . 若 2e 2 < a < 2 ,当 x = …6 分

a a 时, f ′( x) = 0 ;当 1 ≤ x < 时, f ′( x) < 0 ,此时 f (x) 2 2


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