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排列组合知识点总结

时间:2016-07-04


圆梦教育中心 排列组合 1,排列 排列定义:从 n 个不同元素中,任取 m(m≤n)个元素(被取出的元素各不 相同) ,按照一定的顺序排成一列,叫做从 n 个不同元素中取出 m 个元素的 一个排列。 排列数定义;从 n 个不同元素中,任取 m(m≤n)个元素的所有排列的个 数 Am n

n! 公式 An = (n ? m)! 规定 0! =1
m

2,组合 组合定义 从 n 个不同元素中,任取 m(m≤n)个元素并成一组,叫做从 n 个不同元素中取出 m 个元素的一个组合 组合数 从 n 个不同元素中,任取 m(m≤n)个元素的所有组合个数 C n
n! C = m !(n ? m)!
m n m

性质 C = C
n

m

n?m n

C

m n ?1

? Cn ? Cn

m

m?1

3,分类计数原理 :完成一件事有几类方法,各类办法相互独立每类办法又有 多种不同的办法(每一种都可以独立的完成这个事情) 分步计数原理 方法 . 排列组合题型总结 直接法 1 . 特殊元素法 例 1:用 1, 2, 3 , 4, 5 , 6 这 6 个数字组成无重复的四位数,试求满足下列 条件的四位数各有多少个 ? 完成一件事,需要分几个步骤,每一步的完成有多种不同的

( 1)数字 1 不排在个位和千位 ( 2)数字 1 不在个位,数字 6 不在千位。 分析: ( 1)个位和千位有 5 个数字可供选择 A5 ,其余 2 位有四个可供选择 A4 ,
2 2 由乘法原理: A5 A4 =240 2
2

2 .特殊位置法 ( 2)当 1 在千位时余下三位有 A5 =60, 1 不在千位时,千位有 A4 种选法,个
1 2 1 1 2 位有 A4 种,余下的有 A4 ,共有 A4 A4 A4 =192 所以总共有 192+60=252

3

1

二 间接法 当直接法求解类别比较大时,应采用间接法。如上例中( 2 )可
4 3 2 用间接法 A6 ? 2 A5 ? A4 =252

例 1: 有五张卡片,它的正反面分别写 0 与 1,2 与 3,4 与 5,6 与 7 ,8 与 9 , 将它们任意三张并排放在一起组成三位数,共可组成多少个不同的三位数?
3 3 3 分析: :任取三张卡片可以组成不同的三位数 C5 ? 2 ? A3 个,其中 0 在百
2 2 2 位 的 有 C4 ? 2 ? A2 个 , 这 是 不 合 题 意 的 。 故 共 可 组 成 不 同 的 三 位 数

3 3 2 2 2 C5 ? 23 ? A3 - C4 ? 2 ? A2 =432

例 2: 三个女生和五个男生排成一排 女生必须全排在一起 有多少种排法( 捆绑法) 女生必须全分开 (插空法 须排的元素必须相邻) 两端不能排女生 两端不能全排女生 如果三个女生占前排,五个男生站后排,有多少种不同的排法 插空法 当需排元素中有不能相邻的元素时,宜用插空法。 在一个含有 8 个节目的节目单中,临时插入两个歌唱节目,且

例3

保持原节目顺序,有多少中插入方法? 分析:原有的 8 个节目中含有 9 个空档,插入一个节目后,空档变为

10 个,故有 A9 ? A10 =100 中插入方法。
1 1

捆绑法

当需排元素中有必须相邻的元素时,宜用捆绑法。

1 .四个不同的小球全部放入三个不同的盒子中,若使每个盒子不空,则不 同的放法有 种( C4 A3 )
2 3

,2,某市植物园要在 30 天内接待 20 所学校的学生参观,但每天只能安排一 所学校,其中有一所学校人数较多,要安排连续参观 2 天,其余只参观一天, 则植物园 30 天内不同的安排方法有( C29 ? A28 ) (注意连续参观 2 天,即需把
1 19

30 天种的连续两天捆绑看成一天作为一个整体来选有 C 29 其余的就是 19 所学 校选 28 天进行排列) 阁板法 例5 名额分配或相同物品的分配问题,适宜采阁板用法

1

某校准备组建一个由 12 人组成篮球队,这 12 个人由 8 个班的学生组 种 。

成,每班至少一人,名额分配方案共

分析:此例的实质是 12 个名额分配给 8 个班,每班至少一个名额,可在 12 个名额种的 11 个空当中插入 7 块闸板,一种插法对应一种名额的分配方式, 故有 C11 种
7

五 平均分推问题 eg 6 本不同的书按一下方式处理,各有几种分发?

平均分成三堆, 平均分给甲乙丙三人 一堆一本,一堆两本,一对三本 甲得一本,乙得两本,丙得三本(一种分组对应一种方案) 一人的一本,一人的两本,一人的三本 分析:1 ,分出三堆书( a1,a2),(a3,a4) , ( a5,a6)由顺序不同可以有 A3 =6
3

种,而这 6 种分法只算一种分堆方式,故 6 本不同的书平均分成三堆方式有

C62C42C22 =15 种 A33
2,六本不同的书,平均分成三堆有 x 种,平均分给甲乙丙三人 就有 x A 种
3 3

CCC
6 4 3 3 3 3 1 6

2

2

2 2 2 3 3

3, C C C
6 5

1

2

5, A C C C
5

一.

合并单元格解决染色问题

Eg 如图 1 , 一个地区分为 5 个行政区域, 现给地图着色, 要求相邻区域不 得 使用同一颜色,现有四种颜色可供选择,则不同的着色方法共有 数字作答) 。 分析:颜色相同的区域可能是 2、 3、 4 、 5. 下面分情况讨论 : (ⅰ )当 2、 4 颜色相同且 3 、 5 颜色不同时,将 2 、 4 合并成一个单元格, 此时不同的着色方法相当于 4 个元素 ①③⑤的全排列数 A4 4 种(以

(ⅱ)当 2、4 颜色不同且 3、5 颜色相同时,与情形(ⅰ)类似同理可得 A4 种 4 着色法. (ⅲ)当 2、4 与 3、5 分别同色时,将 2、4;3、5 分别合并,这样仅有三个单 元格 ①
3 ? 从 4 种颜色中选 3 种来着色这三个单元格,计有 C 3 种方法. 4 A3 3 3 ? C 4 A3 =48+24=72(种) 由加法原理知:不同着色方法共有 2 A4 4


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