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高中数学北师大版必修5 第三章3.1 基本不等式 作业 含解析

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[学业水平训练] 1.若 a,b∈R,且 ab>0,则下列不等式中,恒成立的是( A.a +b >2ab 1 1 2 C. + > a b ab 2 2 ) B.a+b≥2 ab b a D. + ≥2 a b ) 答案:D 2.若实数 a、b 满足 0<a<b,且 a+b=1,则下列四个数中最大的是( 1 A. 2 C.2ab B.a2+b2 D.a 2 1 ?a+b? =2×1=1, 解析: 选 B.∵a+b=1, a+b>2 ab, ∴2ab< .∵a2+b2>2· 又 0<a<b, 2 4 2 ? 2 ? 1 且 a+b=1,∴a< ,∴a2+b2 最大. 2 3.某厂产值第二年比第一年增长 p%,第三年比第二年增长 q%,又这两年的平均增长 p+q 率为 s%,则 s 与 的大小关系是( 2 p+q A.s= 2 p+q C.s> 2 ) p +q B.s≤ 2 p+q D.s≥ 2 1+p%+1+q%?2 ? p%+q%?2 2 ? ? =?1+ 2 ? , 解析:选 B.由已知得(1+s%)2=(1+p%)(1+q%)≤? p%+q% 于是 1+s%≤1+ . 2 p+q 故 s≤ . 2 4.(2013· 高考福建卷)若 2x+2y=1,则 x+y 的取值范围是( A.[0,2] B.[-2,0] C.[-2,+∞) D.(-∞,-2] 解析:选 D.∵2x+2y≥2 2x y,2x+2y=1, + ∴2 2x y≤1, 1 + - ∴2x y≤ =2 2, 4 + ) ∴x+y≤-2, 即(x+y)∈(-∞,-2]. 5.已知 a,b 都是正数,设 M= A.M>N C.M=N 解析:选 D.∵a>0,b>0,∴ b>0, a b + ,N= a+ b,则( b a B.M<N D.M≥N ) a b + b≥2 a, + a≥2 b. b a 于是 故 a b + b+ + a≥2 a+2 b. b a a b + ≥ a+ b,即 M≥N. b a 1 1 6. 已知 a, b, x, y 都是正实数, 且 + =1, x2+y2=8, 则 ab 与 xy 的大小关系是________. a b 1 1 2 解析:∵ + ≥ ,∴ab≥4. a b ab 而 x2+y2≥2xy,则 xy≤4.∴ab≥xy. 答案:ab≥xy 7.若 a>1,0<b<1,则 logab+logba 的取值范围是________. 解析:∵a>1,0<b<1,∴logab<0,logba<0. ∴-(logab+logba)=(-logab)+(-logba)≥2. 当且仅当-logab=-logba, 即 a>1,0<b<1,ab=1 时等号成立. ∴logab+logba≤-2. 答案:(-∞,-2] 1 8.已知 M=x+ ,N=51-x2(x>3),则 M 与 N 的大小关系是________. x-3 解析:∵x>3,∴x-3>0, 1 ∴M=x-3+ +3≥2 x-3 1 (x-3)· +3=5, x-3 又∵1-x2<0,∴N=51-x2<5 即 N<5. ∴M>N. 答案:M>N 9.已知 f(x)=ax(a>0 且 a≠1),当 x1≠x2 时,比较 f? 解:∵f(x)=ax,∴f? x x1+x2? x + =a 2 , ? 2 ? 1 2 x1+x2? f(x1)+f(x2) 的大小. 2 ? 2 ?与 1 1 [f(x )+f(x2)]= (ax1+ax2). 2 1 2 ∵a>0 且 a≠1,x1≠x2, ∴ax1>0,ax2>0,且 ax1≠ax2, 1 ∴ (ax1+ax2)> 2 即 f? ax1·ax2=a x1+x2 2 , x1+x2? 1 ? 2 ?<2[f(x1)+f(x2)]. 10.已知 a,b,c 为不全相等的正实数,求证:a+b+c> ab+ bc+ ca. 证明:∵a>0,b>0,c>0, ∴a+b≥2 ab,b+c≥2 bc,c+a≥2 ac. 于是 2(a+b+c)≥2 ab+2 bc+2 ca, 即 a+b+c≥ ab+ bc+ ca. ∵a,b,c 为不全相等的正实数,等号不成立, ∴a+b+c> ab+ bc+ ca. [高考水平训练] 1.(2014· 亳州检测)已知 0<a<b,且 a+b=1,则下列不等式中正确的是( A.log2a>0 b a ) 1 - B.2a b< 2 D.log2a+log2b<-2 C.2a b< + 1 2 1 解析:选 D.∵0<a<b,且 a+b=1,∴0<a< <b<1. 2 1 对于 A,有 log2a<log2 , 2 ∴log2a<-1,故 A 错误; 1 对于 B,∵a+b=1, <b<1, 2 ∴-1<1-2b<0. 又 y=2x 在 R 上为增函数, ∴2a b=21 - -2b 1 - >2 1= ,故 B 错误; 2 b a a b=2 · 对于 C,2a b≥22 + b a 2 =4,故 C 错误; a+b 1 对于 D,∵0<a<b<1,且 a+b=1,∴ > ab,∴ab< .又∵log2a+log2b=log2(ab), 2 4 1 ∴log2a+log2b<log2 ,即 log2a+log2b<-2,故选 D. 4 2.已知 a>0,b>0,a+b=4,则下列各式中正确的是________. 1 1 1 1 1 1 ① + ≤ ;② + ≥1;③ ab≥2;④ ≥1. a b 4 a b ab a+b 1 1 1 1 a+b 解析:由 a>0,b>0,知 ≥ ab,又 a+b=4,∴ab≤4,∴ ≥ ,∴ + = = 2 ab 4 a b ab 4 1 1 ≥1,即 + ≥1. ab a b 答案:② 3.设 a>0,b>0 且满足 ab=a+b+3,求 a+b 的取值范围. (a+b)2 解:∵a+b+3

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