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2015届黑龙江省哈尔滨市第六中学高三下学期第三次模拟考试数学(理)试题

时间:2015-06-04

2015 届黑龙江省哈尔滨市第六中学高三下学期第三次模拟考试数学 (理) 试题
第Ⅰ卷(选择题 共 60 分) 一、选择题:本大题共 12 小题,每小题 5 分,在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的. 1. 已知集合 A ? {x | x 2 ? 3x ? 0} , B ? {1, a} ,且 A ? B 有 4 个子集,则实数 a 的取值范围是( A. (0,3) 2.复数 B. (0,1) ? (1,3) ) C. (0,1) D. (??,1) ? (3,??) )

A. 3 ? i

3?i 1 ? 等于( 1 ? 3i i

B. ? 2 i

3. 函数 y ? log 1 (sin 2 x cos A. (k? ? C. (k? ?

?
4

? cos 2 x sin

?

C. 2i

D.0 )

?
8

2

4

) 的单调递减区间是(

, k? ?

5? ), k ? Z 8

B. (k? ? D. (k? ?

?
8

, k? ?

3? ), k ? Z 8

?
8

, k? ?

3? ), k ? Z 8

3? 5? , k? ? ), k ? Z 8 8

4.等比数列{an } 中, a3 ? 9 ,前 3 项和为 S3 ? 3 A. 1 B.-

1 2
a
3

x 2dx ,则公比 q 的值是( ) 1 1 C. 1 或- D. -1 或- 2 2
0

?

3

5. 已知关于 x 的二项式 ( x ?

x

) n 展开式的二项式系数之和
) D. ? 2

为 32,常数项为 80,则 a 的值为( A.1 B. ? 1 C.2 6. 若两个正实数 x , y 满足

y 1 4 ? ? 1 ,且不等式 x ? ? m 2 ? 3m 有解,则实数 4 x y
B. (??,?1) ? (4,??)

D. (??,0) ? (3,??) 7. 执行如图所示的程序框图,若输入 n 的值为 8,则输出 S 的 值为( ) A. 4 B. 8 C. 10 D. 12 ? x ? 0, ? 8.若 A 为不等式组 ? y ? 0, 表示的平面区域,则当 a 从-2 连续变化到 1 时,动直线 x ? y ? a 扫过 A 中的那部分区域的面 ?y ? x ? 2 ? 积为 ( ) A.1 B.

m 的取值范围是( A. (?1,4) C. (?4,1)



3 2

C.

3 4

D.

7 4
3 ,一个内角为 60 ? 的菱形,俯视图为正方 2

9. 如图,一个空间几何体的正视图、侧视图都是面积为 形,那么这个几何体的表面积为( A. 2 3 B. 4 3 ) C. 8

D. 4

A B 的面积与 ?OAC 的面积比值为 3, 10. 已知 O 为正三角形 ABC 内一点, 且满足 OA ? ?OB ? (1 ? ? )OC ? 0 , 若 ?O 则? 的

值为(



A.

1 2

B. 1

C. 2

D. 3

11. 过双曲线

x2 y2 ? 2 ? 1?a ? 0, b ? 0? 的左焦点 F ?? c,0? 作圆 x 2 ? y 2 ? a 2 的切线, 切点为 E , 延长 FE 交抛物线 y 2 ? 4cx 于 2 a b 1 点 P , O 为原点,若 OE ? OF ? OP ,则双曲线的离心率为( ) 2

?

?

A.

1? 5 2

B.

1? 3 2

C.

4 2 ?2 7

D.

4 2?2 7

12.定义在 ? 0, +? ? 上的单调函数 f (x), ?x ? ?0, ?? ?, f ? f ( x) ?log 2 x ??3 ,则方程 f ( x) ? f ?( x) ? 2 的解所在区间是 ( )

A. ? 0, ?

? ?

1? 2?

B. ? ,1?

?1 ? ?2 ?

C. ?1,2?

D. ?2,3?

第Ⅱ 卷(非选择题 共 90 分) 本卷包括必考题和选考题两部分,第 13 题~第 21 题为必考题,每个试题考生都必须做答,第 22 题~24 题为选考题,考生根 据要求做答. 二、填空题:本大题共 4 小题,每小题 5 分. 13. 已知等差数列{a n } 中, a1 ? a3 ? a8 ?

5? ,那么 cos( a3 ? a5 ) ? 4

. .

14. 5 位同学排队,其中 3 位女生,2 位男生.如果 2 位男生不能相邻,且女生甲不能排在排头,则排法种数为
?

15. 已知球 O 的直径 PQ ? 4 , A, B, C 是球 O 球面上的三点, ?APQ ? ?BPQ ? ?CPQ ? 30 , ?ABC 是正三角形,则三棱 锥 P ? ABC 的体积为 16. 给出下列四个结论: . A D E

(1)如图 Rt ?ABC 中, AC ? 2, ?B ? 90?, ?C ? 30?.

D 是斜边 AC 上的点, CD ? CB . 以 B 为起点任作一条射线 BE 交 AC
于 E 点,则 E 点落在线段 CD 上的概率是

3 ; 2

B

C

(2)设某大学的女生体重 y?kg ? 与身高 x?cm? 具有线性相关关系,根据一组样本数据 xi , yi ?i ? 1,2,?, n? ,用最小二乘法建

?

?

? ? 0.85x ? 85,71,则若该大学某女生身高增加1cm ,则其体重约增加 0.85kg ; 立的线性回归方程为 y
(3)若 f ( x) 是定义在 R 上的奇函数,且满足 f ?x ? 2? ? ? f ?x ? ,则函数 f ( x) 的图像关于 x ? 1 对称;
2 (4)已知随机变量? 服从正态分布 N 1, ? , P ?? ? 4 ? ? 0.79, 则 P?? ? ?2? ? 0.21.

?

?

其中正确结论的序号为 三、解答题:本大题共 70 分,解答应写出必要的文字说明,证明过程或演算步骤. 17. (本小题满分 12 分) “德是”号飞船返回舱顺利到达地球后,为了及时将航天员救出,地面指 挥中心在返回舱预计到达的区域安排了同一条直线上的三个救援中心(记为 B, C , D ) .当返回舱距地面 1 万米的 P 点时(假定以后垂直下落,并在 A 点 着陆) , C 救援中心测得飞船位于其南偏东 60 ? 方向,仰角为 60 ? , B 救援中 心测得飞船位于其南偏西 30 ? 方向,仰角为 30 ? . D 救援中心测得着陆点 A 位 于其正东方向. (1)求 B, C 两救援中心间的距离; (2) D 救援中心与着陆点 A 间的距离.
D C A 东

P 北 B

18.(本小题满分 12 分) 我国新修订的 《环境空气质量标准》 指出空气质量指数在 0 ? 50 为 优秀,各类人群可正常活动.市环保局对我市 2014 年进行为期一年的空 气质量监测, 得到每天的空气质量指数, 从中随机抽取 50 个作为样本进 行分析报告,样本数据分组区间为 ? 5,15? , ?15, 25? , ? 25,35? , 0.032

频率 组距

a

? 35, 45? ,由此得到样本的空气质量指数频率分布直方图,如图.
(1) 求 a 的值; (2) 根据样本数据,试估计这一年度的空气质量指数的平均值; (3) 如果空气质量指数不超过15 ,就认定空气质量为“特优等

0.020 0.018

O

5 15 25

35

45 空气质量指数

级”,则从这一年的监测数据中随机抽取 3 天的数值,其中达到“特优等级”的天数为? ,求? 的分布列和数学期望.

19. (本小题满分 12 分) 如图,在四棱锥 P ? ABC D 中,平面 PAD ? 平面 ABC D , AB // CD ,在锐角 ?PAD 中 PA ? PD ,并且

BD ? 2 AD ? 8 , AB ? 2DC ? 4 5 .
(1)点 M 是 PC 上的一点,证明:平面 MBD ? 平面 PAD ; (2)若 PA 与平面 PBD 成角 60 ? ,当面 MBD ? 平面 ABCD 时, 求点 M 到平面 ABCD 的距离.

20.(本小题满分 12 分)

x2 ? y 2 ? 1 的左,右顶点分别为 A, B ,圆 x 2 ? y 2 ? 4 上有一动点 P ,点 P 在 x 轴 已知椭圆 E : 4
的上方, C ?1,0? ,直线 PA 交椭圆 E 于点 D ,连接 DC, PB . (1)若 ?ADC ? 90 ,求△ ADC 的面积 S ; (2)设直线 PB, DC 的斜率存在且分别为 k1 , k 2 ,若 k1 ? ?k 2 ,求 ? 的取值范围.
?

21. (本小题满分 12 分) 设函数 f ( x) ?

x ? a ln(1 ? x), g ( x) ? ln(1 ? x) ? bx . 1? x

(1)若函数 f ( x) 在 x ? 0 处有极值,求函数 f ( x) 的最大值; (2)①是否存在实数 b ,使得关于 x 的不等式 g ( x) ? 0 在? 0, ?? ? 上恒成立?若存在,求出 b 的取值范围;若不存在,说明理 由; ②证明:不等式 ?1 ? ?

k 1 ? ln n ? ? n ? 1, 2, ???? 2 k ? 1 2 k ?1

n

考生在题(22) (23) (24)中任选一题作答,如果多做,则按所做的的第一题计分.做题时用 2B 铅笔在答题卡上把所选题 目对应的题号涂黑. 22.(本小题满分 10 分)选修 4—1:几何证明选讲 如图,已知 C 点在⊙ O 直径的延长线上, CA 切⊙ O 于 A 点, DC 是 ?ACB 的平分线,交 AE 于 F 点,交 AB 于 D 点. (Ⅰ)求 ?ADF 的度数; (Ⅱ)若 AB ? AC ,求 AC : BC .

23.(本小题满分 10 分)选修 4—4:坐标系与参数方程 在平面直角坐标系 xOy 中,直线 l 的参数方程为 ?

? x ? ?2 ? t ? y ? 2 ? 3t

( t 为参数) ,直线 l 与曲线

C : ( y ? 2) 2 ? x 2 ? 1 交于 A, B 两点.
(1)求| AB | 的长; (2) 在以 O 为极点,x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系, 设点 P 的极坐标为 ( 2 2 , 距离.

3? ) ,求点 P 到线段 AB 中点 M 的 4

24.(本小题满分 10 分)选修 4—5:不等式选讲 已知实数 a, b, c 满足 a ? 0, b ? 0, c ? 0 ,且 abc ? 1 . (Ⅰ)证明: (1 ? a)(1 ? b)(1 ? c) ? 8 ; (Ⅱ)证明: a ? b ?

c?

1 1 1 ? ? . a b c

哈尔滨市第六中学 2015 届高三第三次模拟考试 数学试卷(理工类)答案 一.选择题 1.B 二.填空题 13. 2.D 3.B 4.C 5.C 6.B 7.B 8.D 9.D 10.A 11.A 12.C

1 2

14.

9 3 4

15.40

16.②③④

三.解答题 17. 解: (1)由题意知 PA ? AC, PA ? AB ,则 ?PAC , ?PAB 均为直角三角形??????1 分

3 ??????????2 分 3 在 Rt?PAB 中, PA ? 1, ?PBA ? 30? ,解得 AB ? 3 ??????????3 分
在 Rt?PAC 中, PA ? 1, ?PCA ? 60? ,解得 AC ?

30 万米. ??????????5 分 3 1 3 (2) sin ?ACD ? sin ?ACB ? , cos ?ACD ? ? ,??????????7 分 10 10
又 ?CAB ? 90? , BC ?

AC 2 ? BC 2 ?

又 ?CAD ? 30? ,所以 sin ?ADC ? sin(30? ? ?ACD) ? 在 ?ADC 中,由正弦定理,

3 3 ?1 2 10

.??????????9 分

18.(1) 解:由题意,得 ? 0.02 ? 0.032 ? a ? 0.018 ? ? 10 ? 1 , 解得 a ? 0.03 . (2)解: 50 个样本中空气质量指数的平均值为

AC AD ??????????10 分 ? sin ?ADC sin ?ACD AC ? sin ?ACD 9 ? 3 AD ? ? 万米??????????12 分 sin ?ADC 13
?????1 分 ?????2 分

X ? 0.2 ?10 ? 0.32 ? 20 ? 0.3 ? 30 ? 0.18 ? 40 ? 24.6

?????3 分

由样本估计总体,可估计这一年度空气质量指数的平均值约为 24.6 . ????4 分 (3)解:利用样本估计总体,该年度空气质量指数在 ? 5,15? 内为“特优等级”, 且指数达到“特优等级”的概率为 0.2 ,则?

? 1? B ? 3, ? . ? 5?
2

???5 分 ???6 分

? 的取值为 0,1, 2,3 ,
3 0 3

64 48 ?4? 1?1? ? 4? , P ?? ? 1? ? C3 , P ?? ? 0 ? ? C ? ? ? ? ??? ? ? ? 5 ? 125 ? 5 ? ? 5 ? 125 1 ? 1 ? ? 4 ? 12 3?1? , P ?? ? 3? ? C3 . ?????10 分 P ?? ? 2 ? ? C ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? 5 ? ? 5 ? 125 ? 5 ? 125
2 3 2 3

∴? 的分布列为:

?

0
64 125

1

2

3
1 125
??11 分

48 125

12 125

∴ E? ? 0 ?

64 48 12 1 3 ? 1? ? 2? ? 3? ? . 125 125 125 125 5 1 3 ? ) 5 5

???12 分

(或者 E? ? 3 ?

19.解法一(1)因为 BD ? 2 AD ? 8 , AB ? 4 5 ,由勾股定理得

BD ? AD ,因为平面 PAD ?平面 ABCD ,平面 PAD ? 平面
ABCD = AD , BD ? 面 ABCD ,所以 BD ? 平面 PAD
BD ? 面 MBD ,所以平面 MBD? 平面 PAD
???6 分

M

(2)如图,因为 BD ? 平面 PAD,所以平面 PBD ? 平面 PAD, 所以 ?APD ? 60? ,做 PF ? AD 于 F ,所以 PF ? 面 ABCD ,

PF ? 2 3 ,设面 PFC ? 面 MBD = MN ,面 MBD ?平面 ABCD 所
以面 PF // 面 MBD ,所以 PF // MN ,取 DB 中点 Q ,得 CDFQ 为平行四边形,由平面 ABCD 边长得 N 为 FC 中点,所以 MN ?

1 PF ? 3 2

???12 分 z

解法二(1)同一 (2)在平面 PAD 过 D 做 AD 垂线为 z 轴,由(1) ,以 D 为原点,

DA, DB 为 x , y 轴建立空间直角坐标系,设平面 PBD 法向量为

u ? ( x, y, z) ,设 P(2,0, a) ,锐角 ?PAD 所以 a ? 2 ,由
u ? DP ? 0, u ? DB ? 0 ,解得 u ? (?a,0,2) , PA ? (2,0,?a) ,
| cos ? PA, u ?|? 4a 3 2 3 ? ? 2 (舍) ,解得 a ? 2 3 或 a ? 2 3 a ?4 2
x y

设 PM ? ? PC ,解得 M (2 ? 4?,4?,2 3 ? 2 3? ) 因为面 M BD ?平面 ABCD , AD ? BD ,所以面 MBD 法向量为 DA ? (0,0,4) ,所以 DA ? DM ? 0 ,解得 ? ? 到平面 ABD 的距离为竖坐标 3 . ???12 分

1 ,所以 M 2

20.(1)依题意, A(?2,0) .设 D( x1 , y1 ) ,则 由 ?ADC ? 90 得 k AD ? k CD ? ?1, ?
?

x12 ? y12 ? 1 . 4

y1 y ? 1 ? ?1 , x1 ? 2 x1 ? 1

x12 1? y12 2 4 ? ? 2 ? ?1 , 解得 x1 ? , x1 ? ?2(舍去) 3 ?x1 ? 2? ? ?x1 ? 1? x1 ? x1 ? 2

? y1 ?

2 2 1 2 2 ?3 ? 2 . , S? ? 3 2 3
2 2

????5 分

(2)设 D?x2 , y 2 ? , ? 动点 P 在圆 x ? y ? 4 上, ? k PB ? k PA ? ?1 . 又 k1 ? ?k 2 , ?

y ?x ? 2??x2 ? 1? = ? ?x2 ? 2??x2 ? 1? ?1 ? ? ? 2 , 即? ? ? 2 2 y2 x2 ? 1 x2 y2 1? 2 x2 ? 2 4

=?

?x 2 ? 2??x 2 ? 1?
1 2 4 ? x2 4

?

?

=4?

x2 ? 1 ? 1 ? ?. = 4? 1? ? x2 ? 2 ? x 2 ? 2 ? ?

又由题意可知 x2 ? ?? 2,2? ,且 x2 ? 1 , 则问题可转化为求函数 f ?x ? ? 4?1 ?

? ?

1 ? ??x ? ?? 2,2?, 且x ? 1? 的值域. x ?2?
从而 ? 的取值范围为 ?? ?,0? ? ?0,3? ??12 分

由导数可知函数 f ?x ? 在其定义域内为减函数,

? 函数 f ?x ? 的值域为 ?? ?,0? ? ?0,3?
21.(1)由已知得: f ?( x) ?

1

?1 ? x ?

2

?

a ,且函数 f ( x) 在 x ? 0 处有极值 1? x
∴ f ( x) ?

∴ f ?(0) ?

1

?1 ? 0 ?
1

2

?

a ? 0 ,即 a ? 1 1? 0

x ? ln(1 ? x), 1? x

∴ f ?( x) ?

?1 ? x ?

2

?

1 ?x ? 1 ? x ?1 ? x ?2

当 x ? ? ?1, 0 ? 时, f ?( x) ? 0 , f ( x) 单调递增; 当 x ? ? 0, ?? ? 时, f ?( x) ? 0 , f ( x) 单调递减; ∴函数 f ( x) 的最大值为 f (0) ? 0 (2)①由已知得: g ?( x) ?

1 ?b 1? x

(i)若 b ? 1 ,则 x ? ? 0, ?? ? 时, g ?( x) ?

1 ?b ? 0 1? x

∴ g ( x) ? ln(1 ? x) ? bx 在? 0, ?? ? 上为减函数, ∴ g ( x) ? ln(1 ? x) ? bx ? g (0) ? 0 在 ? 0, ?? ? 上恒成立; (ii)若 b ? 0 ,则 x ? ? 0, ?? ? 时, g ?( x) ?

1 ?b ? 0 1? x

∴ g ( x) ? ln(1 ? x) ? bx 在? 0, ?? ? 上为增函数, ∴ g ( x) ? ln(1 ? x) ? bx ? g (0) ? 0 ,不能使 g ( x) ? 0 在 ? 0, ?? ? 上恒成立; (iii)若 0 ? b ? 1 ,则 g ?( x) ? 当 x ? ? 0,

1 1 ? b ? 0 时, x ? ? 1 , 1? x b

? 1 ? ? 1 ? ? 1? 时, g ?( x) ? 0 ,∴ g ( x) ? ln(1 ? x) ? bx 在 ?0, ? 1? 上为增函数, ? b ? ? b ?
∴不能使 g ( x) ? 0 在 ? 0, ?? ? 上恒成立; ????8 分

此时 g ( x) ? ln(1 ? x) ? bx ? g (0) ? 0 , 综上所述, b 的取值范围是 x ? ?1, ?? ? ②由以上得: 取x ?

x ? ln(1 ? x) ? x( x ? 0) 1? x
令 xn ?

1 1 1 1 得: ? ln(1 ? ) ? n 1? n n n

?k
k ?1

n

2

k ? ln n , ?1

则 x1 ?

n 1 ? n 1 1 1 ? ? ln ?1 ? ? ?? 2 ? 0. , xn ? xn ?1 ? 2 ?? 2 n ?1 2 n ?1 n ? n ?1 ? n ?1 n

?

?

因此 xn ? xn ?1 ? ??? ? x1 ? 又 ln n ? 故 xn ?
n

1 . 2
n ?1

?? ?ln k ? ln ? k ? 1? ? ? ? ln1 ? ? ln ?1 ? k ? ? ?
k ?2 k ?1

?

1?

?k
k ?1

n

n ?1 k n ? 1 ? n ?1 ? k ? 1 ?? ? ln ? ln ?1 ? ? ? ? 2 ? ?1 ? ? ? ? ? 2 2 ? 1 k ?1 ? k ? k ?1 ? k ? 1 ? k ?? n ? 1

n ?1 n ?1 n ?1 1? 1 1 1 ? k ? ?? 2 ? ? ? ?? 2 ?? ? ?1 ? ? ? 1 k? n k ?1 ? k ? 1 k ?1 ? k ? 1? k k ?1 ? k ? 1? k

??12 分

O 的切线,所以 ?B ? ?EAC ????1 分 22. (1)因为 AC 为⊙ 因为 DC 是 ?ACB 的平分线,所以 ?ACD ? ?DCB ????2 分 所以 ?B ? ?DCB ? ?EAC ? ?ACD ,即 ?ADF ? ?AFD ,????3 分 O 的直径,所以 ?DAE ? 90? ????4 分. 又因为 BE 为⊙
所以 ?ADF ?

(2)因为 ?B ? ?EAC ,所以 ?ACB ? ?ACB ,所以 ?ACE ∽ ?BCA , 所以

1 (180? ? ?DAE) ? 45? .????5 分 2

在 ?ABC 中,又因为 AB ? AC ,所以 ?B ? ?? ACB ? 30? ,???8 分

AC AE ,???7 分 ? BC AB

Rt?ABE 中,

AC AE 3 ? ? tan B ? tan 30? ? ???10 分 BC AB 3

1 ? x ? ?2 ? t ? 2 ? 23.解(1)直线 l 的参数方程化为标准型 ? ( t 为参数) ?? 2 分 3 ?y ? 2 ? t ? 2 ?
代入曲线 C 方程得 t ? 4t ? 10 ? 0
2

设 A, B 对应的参数分别为 t1 , t 2 ,则 t1 ? t 2 ? ?4 , t1t 2 ? ?10 , 所以| AB |?| t1 ? t 2 |? 2 14 (2)由极坐标与直角坐标互化公式得 P 直角坐标 (?2,2) , 所以点 P 在直线 l , 中点 M 对应参数为 ?? 5 分 ?? 6 分

t1 ? t 2 ? ?2 , 2
??10 分

由参数 t 几何意义,所以点 P 到线段 AB 中点 M 的距离| PM |? 2

24.(1) 1 ? a ? 2 a ,1 ? b ? 2 b ,1 ? c ? 2 c ,相乘得证——————5 分 (2)

1 1 1 ? ? ? ab ? bc ? ac a b c

ab ? bc ? 2 ab2 c ? 2 b , ab ? ac ? 2 a 2b c ? 2 a , bc ? ac ? 2 ab c 2 ? 2 c 相加得证——————10



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