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3-4 定积分与微积分基本定理(共54张PPT)

时间:2014-07-06


高考调研

新课标版 · 高三数学(理)

第 4 课时

定积分与微积分基本定理

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1.了解定积分的实际背景,了解定积分的基本思想,了解 定积分的概念. 2.了解微积分基本定理的含义.

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请注意!

本节为新教材新增内容,高考中多以选择填空题形式考查, 主要借助微积分基本定理求定积分或解决几何或物理知识.

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1.定 积 分 的 定 义 如 果 函 数 f(x)在 区 间 [a,b]上 连 续 , 用 分 点 [a,b]等 分 成 a=x0<x1<…<xi- [xi

将 区 间 1<xi<…<xn=b,


n个 小 区 间 , 在 每 个 区 间

1

, xi] 上取一点

ξi (i = 2 1 , , … , n) ,作和式 , 当 n→+∞时 , 上 述 和 式 无 限 接 近 某 个 常 数 , f(x)在 区 间 [a,b]上 定 积 分 , 记 作 .
?b ? ? ?

= 这 个 常 数 叫 做 函 数 f(x)dx=

f(x)dx ?b ? ,即 ? a ?
a

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其定义体现求定积分的四个步骤: ① 分割 ;② 近似代替 ;③ 取和 ;④ 取极限 .

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2.定积分运算律 b k? ? f(x)dx ? b ?a 1 ( ) ? ? kf(x)dx= ?
?a ?b ? ? ?a ?b ? ? ?a


?a

2 ( ) 3 ( )

[f1(x)± f2(xd ] ) x= f(x)dx=
?c ? ? ?a

?b ? ? ?a

?b f1(x)dx± ? f2(x)dx ?

; .

b f(x)dx+? ? f(x)dx(a<c<b) ?
?c

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3.微积分基本定理 一般地,如果 f(x)是 区 间 [a,b]上 的 连 续 函 数 , 并 且
?b ? ? ?a

F′(x)

=f(x), 那 么 基本定理.

f(x)dx=F(x)| b a=F(b)-F(a)

, 这 个 结 论 叫 做 微 积 分

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4.定 积 分 的 几 何 和 物 理 应 用 1 ( ) ①如 图所 示 ,由曲 线 f1(x)≥f2(x)≥0 )及 直 线

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y1 = f1(x) , y2 = f2(x)( 不 妨 设

x=a,x=b(a<b)围 成 图 形 的 面 积 为 :

S= f1(x)dx- f2(x)dx
a a

?b ? ? ?

?b ? ? ?

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②如 图 所 示 , 在 区 间 为 :

[a,b]上,f(x)≤0, 则 曲 边 梯 形 的 面 积

S=| f(x)dx|= -
a

?b ? ? ?

?b ? ? ?

f(x)dx

a

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2 ( ) 作 变 速 直 线 运 动 的 物 体 所 经 过 的 路 程

s, 等 于 其 速 度 函 数

v=v(t)[v(t)≥0]在时间区间[a,b]上的定积分,即 ?b ? v(t)dt ? ?a s= . (3)如果物体在变力 F(x)的作用下做直线运动, 并且物体沿着 与 F(x)相同的方向从 x=a 移动到 x=b(a<b),那么变力 F(x)所做 ?b ? F(x)dx ? 的功 W= ?a .

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1 x 1.? ? (e +2x)dx 等于( ?
?0

) B.e-1 D.e+1

A.1 C.e
答案 C

解析

?1 x x 2 ? ?1 ? (e +2x)dx=(e +x )? ? ?0 ?
0

=(e1+1)-e0=e,故选 C.

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2.一个弹簧压缩 xc m 度压缩 0 c 5 m . A.50 J C.500 J
答案 B

产生 4x N 的 力 , 那 么 将 它 从 自 然 长 ( ) B.0.5 J D.5 J

所 做 的 功 是

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3.2 ( 0 1 3 ·
答案 3

T 2 湖南)若? ? x dx=9,则常数 T 的值为________. ?
?0

1 3 解析 ∵ x dx=3T =9,T>0,∴T=3.
?T ? ? ?0

2

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4.2 ( 0 1 2 · 湖北)已 知 二 次 函 数 ( )

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y=f(x)的 图 像 如 图 所 示 , 则 它

与x轴 所 围 图 形 的 面 积 为

2 π A. 5 3 C.2

4 B.3 π D.2

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答案

B

解析 由题意知二次函数 f(x)=-x2+1, 它 与 的 面 积 为 故选 B.

x 轴所围图形 =

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5.2 ( 0 1 2 ·

山东)设 a>0,若曲线 y= x与直线 x=a,y=0 所

围成封闭图形的面积为 a2,则 a=________.

4 答案 9

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【 解 析 】 所 以
?2 ? ? ?1

1 1 ( ) 函 数 y=2x -x 的 一 个 原 函 数 是
2 2

2 3 y=3x -lnx,

1 2 3 (2x -x )dx=(3x -lnx)| 2 1

1 6 2 1 4 = 3 -n 2 l -3= 3 -n 2 l.

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2 ( )

?3 ? ? ?2

1 2 1 ?3 ( x+ ) dx=? (x+x +2 d ) x ? x ?
2

1 2 =(2x +lnx+2x)| 3 2 9 =(2+n 3 l +6)-(2+n 2 l +4 ) 3 9 =ln2+2.

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5 ( ) y= 1-x2,∴x2+y2=1,y≥0. ∴ ∴
?1 ? ? ?

0

1 1-x dx 几何意义为4个圆的面积.
2

?1 ? ? ?0

1 1-x dx=4π.
2

14 【答案】 1 ( ) 3 -n 2 l

n 2 l ( )

3 9 1 1 π ( ) -4 4 ( ) 2 5 ( ) 4 2+2 3

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探 究 1 1 ( ) 求 定 积 分 借 助 微 积 分 基 本 定 理 , 关 键 是 求 出 被 积 函 数 的 原 函 数 , 求 一 个 函 数 的 原 函 数 与 求 一 个 函 数 的 导 数 是 互 逆 运 算 , 因 此 应 注 意 掌 握 一 些 常 用 函 数 的 导 数 . 此 外 , 如 果 被 积 函 数 是 绝 对 值 函 数 与 分 段 函 数 , 那 么 可 以 利 用 定 积 分 的 性 质
c ?b =? 根 据 函 数 的 定 义 域 , 将 积 分 区 间 分 解 为 若 干 ? f(x)dx+? f(x)dx, ? ?
?a ?c ?b ? ? ?a

f(x)dx

部 分 , 代 入 相 应 的 解 析 式 , 分 别 求 出 积 分 值 , 相 加 即 可 . 2 ( ) 对 于 不 便 求 出 被 积 函 数 的 原 函 数 的 , 可 考 几 何 意 义 求 解 .
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虑用定积分的

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思 考 题 1 求 下 列 积 分 .

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3 x 2 2 ?2 2 ?2 ?2 |2 【解析】 1 ( ) ? d ) x = ? (x +2x+1 ? x dx+? 2xdx+? 1dx= 1+ ? ? ? ? 3 ? ? ? ? 1 1 1 1

19 2 2 2 | | x 1+x 1= . 3

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3 ( ) 本 题 由 于 方 程 过 于 复 杂 , 因 而 可 采 用 定 积 分 的 几 何 意 义 表 示 , 而 后 计 算 更 为 简 便
?1 ? ? ?0 ?1 ? ? ?

( 1-?x-1?2-x)dx=

0

2 2 2 1 ?1 1-?x-1?2 dx - ? 1 - ? x - 1 ? d x 表 示 圆 ( x - 1 ) + y ? xdx. ? ? ?
?0 ?0

=1 与 x=0,x=1,y=0 围 成 的 图 形 的 面 积 =x 与 x=0,x=1,y=0 围 成 的 图 形 面 积 π-2 4 . 19 【答案】 1 ( ) 3 2 1 ( )

π ?1 S1=4.? xdx 表 示 y ? ?
0

1 S2=2.∴S=S1-S2=

π-2 1 -eπ 3 ( ) 4
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例 2 求由曲线 y=x2 和直线 y=x 和 y=2x 围成的图形的面 积.

【 解 析 】

方 法 一 : 如 图

1 ( ) 所 示 , 所 求 的 面 积

S= S△A O C +

S1,其中 S1 是线段 AC、BC 和 抛 物 线 段
2 ? ?y=x , 由? ? ?y=x 2 ? ?y=x , 和? ? ?y=2x

AB 围成的区域的面积.

分别解出 O、A、B 三点的横坐标分

别是 0、1、2.

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3 x2 x 因 为 ( 2 )′=x,(x2- 3 )′=2x-x2, 故 所 求 的 面 积 2 3 x x 1 2 1 2 2 ?1 ?2 | | S =? (2x-x)dx+? (2x-x )dx= 2 0+(x - 3 ) 1=2-0+(4- ? ? ? ? 0 1

8 1 7 3)-(1-3)=6.

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方 法 二 : 如 图

1 ( ) 所 示 , 所 求 的 面 积 可 以 写 成 BD、 AD 及 抛 物 线 段

S=S△O D B -S2, AB 所 围 成 的 区 域 的 面

其 中 S2 是 由 线 段 积 . 由 于 D的 横 坐 标 也 是

x2 x3 x2 2, 又 ( 2 )′=x,( 3 - 2 )′=x2-x.故

2 3 2 x x x 8 2 2 2 ?2 ?2 | | S=? (2x-x)dx-? (x -x)dx= 2 0-( 3 - 2 ) 1=2-(3-2 ) + ? ? ? ? 0 1

1 1 7 (3-2)=6.

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方 法 三 : 如 图 变 量 的 情 况 . 由 方 法 一 知 4, 故 所 求 的 面 积 物 线 段

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2 ( ) , 把 整 个 区 域 上 定 积 分 问 题 , 转 化 成 O、A、B 三 点 的 纵 坐 标 分 别 是 S=S△AEO+S3, 其 中 S3 是 两 线 段

y是 自 0、1、 BE、AE 和抛

AB 围 成 的 区 域 的 面 积 .

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7 【答案】 6

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探 究 2 1 ( ) 求 由 曲 线 围 成 的 平 面 图 形 面 积 的 一 般 步 骤 为 : 画 草 图 ; ②求 曲 线 的 交 点 定 出 积 分 上 、 下 限 ; ③确 定 被 积 函 数 ,



但 要 保 证 求 出 的 面 积 是 非 负 的 ;

④写 出 定 积 分 并 计 算 , 用 微 积 分

基 本 定 理 公 式 计 算 时 , 要 认 真 、 细 致 , 按 步 骤 来 做 , 不 要 急 于 求 成 , 以 保 证 答 案 的 准 确 性 . 2 ( ) 被 积 函 数 较 复 杂 或 积 分 区 间 不 易 确 定 有 时 可 通 过 转 换 积 分 变 量 进 行 简 化 计 算 .

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思 考 题

2 1 ( ) 2 ( 0 1 3 ·

湖北)一 辆 汽 车 在 高 速 公 路 上 行 驶 , 由 2 5 v(t)=7-3t+ (t 的 单 位 : 1+t s,

于 遇 到 紧 急 情 况 而 刹 车 , 以 速 度

v的 单 位 : m ) s / 行 驶 至 停 止 . 在 此 期 间 汽 车 继 续 行 驶 的 距 离 m)是( ) B.8+2 n 5 l D.4+5 n 0 2 l 11 3

(单 位 :

A.1+2 n 5 l C.4+2 n 5 l

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25 【解析】 令 v(t)=0,得 7-3t+ =0,解得 t=4 或 t 1+t 8 25 32 ?4 ?4 =- 3 ( 舍去 ) ,所以 s = ? v(t)dt = ? (7 - 3t + )dt = [7t - 2 t + ? ? 1 + t ? ?
0 0

2 n 5 1 ( l

3 2 4 +t)]| 0=7×4- ×4 +2 n 5 l 2
【答案】 C

=4+2 n 5 l

,故选 C.

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2 ( ) 由曲线 y=x2 和直线 x=0,x=1,y=t2,t∈1 0 ) ( , 的图形(阴影部分)的面积的最小值为________.

所围成

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【解析】

43 2 由题图知,S= (t -x )dx+ (x -t )dx=3t -t
?t ? ? ?0

2

2

?1 ? ? ?t

2

2

1 1 43 2 1 2 +3,S′=4t -2t,令 S′=0,得 t=0 或 t=2,S=3t -t +3在
? 1? ?0, ?上 单 调 递 减 , 在 2 ? ? ?1 ? ? ,1?上 单 调 递 增 , 当 2 ? ?

1 t=2时 ,S取 得 最 小

1 值4.

1 【答案】 4

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例3 1 ( ) A、 B 两站相距 k 2 7 m .

, 一 辆 电 车 从

A 站开往 B 站 . 电 ,到 C 点的

车行驶 t s 后到达途中 C 点,这一段速度为 1.2 tm s / 速度达 2 4 m s / 点 开 始 刹 车 , 经 试求: ①A、C 间 的 距 离 ; ②B、D 间 的 距 离 .

,从 C 点到 B 点站前的 D 点以等速行驶,从 D ts后 , 速 度 为 2 ( 4 -1.2t m ) s / ,在 B 点恰好停车,

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【解析】 ①设 A 到 C 经过 t1 s,由 1.2t1=24,

【答案】

①2 4 m 0

②2 4 m 0

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2 ( ) 设力 F(x)作用在质点 M 上,使 M 沿 x 轴正向从 x=1 运 动到 x=10, 已 知 点 M 所作的功. F(x)=x2+1 且和 x 轴 正 向 相 同 , 求 力 F(x)对质

∴力对质点 M 所作的功为 3 4 . J 2 【答案】 3 4 J 2

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探 究 3 度 函 数 例3 1 ( )

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做 变 速 运 动 的 物 体 经 过 的 路 程 [a,b]上 的 定 积 分 , 也 就 是

s, 等 于 其 速
b s=? ? ?
?a

v=v(t)(v≥0 )在 时 间 区 间

v(t)dt.需 根 据 题 意 写 出 函 数 解 . 物 体 作 变 速 直 线 运 动 的 速 度 间 区 间 [a,b]上 的 定 积 分 例3 2 ( ) , 如 果 力
?b ? ? ?

v=v(t), 确 定 时 间 区 间 , 用 定 积 分 求

v, 等 于 加 速 度 函 数 a(t)dt.
a

a=a(t)在 时

F(x)使 得 物 体 沿 力 的 方 向 由 F(x)对 物 体 所 作 的 功
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?a

x=a 运 动 到

x

=b(a<b), 那 么 力

b W=? ? F(x)dx. ?

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思考题 3 1 ( ) 列车以 7 2 k m h / 得加速度 a=-m 4 0 .s / 站多远处开始制动?
【 解 析 】 的 表 达 式 , 之 后 令 路 程 . 已 知 列 车 速 度 度 为 a= -m 4 0 .s /
2
2

速 度 行 驶 , 当 制 动 时 列 车 获

, 问 列 车 应 在 进 站 前 多 长 时 间 , 以 及 离 车

因 列 车 停 在 车 站 时 , 速 度 为 v=0 , 求 出 t.再 根 据

0, 故 应 先 求 出 速 度 v和t应 用 定 积 分 求 出

v0=7 2k m h / .
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=2 m 0 s /

, 列 车 制 动 时 获 得 的 加 速

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设 列 车 开 始 制 动 到 经 过
t =2 0 -? 0 d . ? 4 ?
?

t 秒 后 的 速 度 为

t v, 则 v=v0+? ? adt ?
?

0

t=2 0 -4 0 . t, 令 v=0, 得 t=5 . s 0

0

所 以 列 车 应 在 进 站 前
【答案】 进站前 5 s 0

5 s 0

, 以 及 离 车 站
,以及离车站 5 0 m 0

5 0 m 0

处 开 始 制 动 .
处 开 始 制 动

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2 ( ) 一 物 体 以 初 速 度

v=9.8t+6.5 米/秒的速度自由落下,则

下落后第二个 4s 内经过的路程是________米.

【 解 析 】

?8 ? ? ?4

8 9 ( .

t+5 d 6 ) .

t=9 4 . t2+5 6 . t| 8 4

=9 4 . ×6 4 +5 6 . ×8-9 4 . ×1 6 -5 6 . ×4 =3 1 6 3 . =2 6 2 1 .
【答案】 2 6 2 1 .

+5 2 -7 4 8 .

-2 6

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1. 熟 练 掌 握 常 见 函 数 的 导 数 , 切 实 掌 握 微 积 分 基 本 定 理 , 真正把微分和积分联系起来,会求定积分. 2. 特 别 注 意 定 积 分 的 几 何 意 义 , 物 理 意 义 进 而 解 决 实 际 问 题.

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1.2 ( 0 1 3 ·
?2 ? ? ?1

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1 2 x 江西)若 S1= x dx,S2= x dx,S3=? 则 S1 、 ? e dx, ? ?
2
?2 ? ? ?1

1

S2、S3 的 大 小 关 系 为 A.S1<S2<S3 C.S2<S3<S1
答案 B

(

) B.S2<S1<S3 D.S3<S2<S1

1 32 8 1 7 解析 S1=3x |1=3-3=3, S2=lnx|2 2 l< n e l 1=n e2-e≈2.72-2.7=4.59,所以 S2<S1<S3.

=1, S3=ex|2 1=

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2.2 ( 0 1 2 ·

江西)计算定积分

=________.

2 答案 3

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3.已知函数 f(x)=n i s 和积分的几何意义,探求 1 π A.6+2 C.1

5

x+1, 根 据 函 数 的 性 质 、 积 分 的 性 质 的值,结果是( B.π D.0 )

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答案

B

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π 4.已知函数 f(a)= n i s xdx,则 f[f(2)]等于________.
?a ? ? ?0

答案

1-c o 1 s

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5.函数 f(x)满足 f0 ( ) =0,其导函数 f′(x)的 图 像 如 下 图 , 则 f(x)的图 像 与 x 轴所围成的封闭图形的面积为________.

4 答案 3
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解 析

由 f ′( x) 图 像 知

f′(x)=2x+2 .

又∵f0 ( ) =0,∴f(x)=x2+2x. 其 图 像 如 图 所 示 ,

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