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福建省福州一中2016届高三上学期期中数学试卷(理科) Word版含解析

时间:2016-04-01


2015-2016 学年福建省福州一中高三(上)期中数学试卷(理科)
一、选择题(共 10 小题,每小题 4 分,共 40 分) 1.复数 z= 在复平面上对应的点位于( )

A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限

2.已知集合 M={x|0<x<1},N={x|x=t2+2t+3},则(?NM)∩N=( A.{x|0<x<1} B.{x|x>1} C.{x|x≥2} D.{x|1<x<2}



3.已知 cos(π+x)= ,x∈(π,2π),则 cos( A.﹣ B.﹣ C. D.

)=(



4.已知 =(a,﹣2), =(1,1﹣a),则“a=2”是“ ∥ ”的( A.充要条件 B.充分而不必要条件 C.必要而不充分条件 D.既不充分也不必要条件



5.函数 f(x)=log2|x|,g(x)=﹣x2+2,则 f(x)?g(x)的图象只可能是(



A.

B.

C.

D.

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6.已知函数 f(x)=Asin(ωx+φ)(A>0,ω>0,|φ|< (x)=Asin(ωx)的图象,只要将 y=f(x)的图象(

)的部分图象如图所示,为了解函数 g )

A.向左平移 C.向左平移

个单位长度

B.向右平移

个单位长度

个单位长度 D.向右平移

个单位长度

7.定义在 R 上的函数 f(x)满足 f(x+2)=﹣f(x),当﹣2≤x≤﹣1 时,f(x)=﹣(x+1)2,当﹣ 1<x<2 时,f(x)=x,则 f(1)+f(2)+…+f(2015)=( A.0 B.1 C.2 D.3 )

8.已知△ ABC 和点 M 满足 A.2 B.3 C.4 D.5

.若存在实数 m 使得

成立,则 m=(



9.在△ ABC 中,若 3cos(A﹣B)+5cosC=0,则 tanC 的最大值为( A.﹣ B.﹣ C.﹣ D.﹣2



10.已知 m∈R,函数 f(x)= ﹣m 有 6 个零点,则实数 m 的取值范围是( A.(1,2) B.( ,1) C.( , ) )

,g(x)=x2﹣2x+2m﹣2,若函数 y=f(g(x))

D.(0, )

二、填空题(共 4 小题,每小题 3 分,共 12 分)

第 2 页(共 19 页)

11.已知 a=3

,b=log2 ,c=log35,则 a,b,c 的大小关系为



12.

cos2xdx 等于



13.已知函数 y=f(x),对于任意的 x 式中成立的有 ① f( ) <f( . ) ② f( ) f(

满足 f′(x)cosx+f(x)sinx>0,则下列不等

) ③f(0)

f(

) ④f(



14.已知非零向量 , , 满足| |=| |=| 为 .

|,<

>=

,则

的最大值

三、解答题

15.在直角坐标系 xOy 中,直线 l 的参数方程为

(t 为参数),以原点 O 为极点,x

轴张半轴为极轴建立极坐标系,圆 C 的极坐标方程为 ρ=asinθ. (Ⅰ)若 a=2,求圆 C 的直角坐标方程与直线 l 的普通方程; (Ⅱ)设直线 l 截圆 C 的弦长等于圆 C 的半径长的 倍,求 a 的值.

16.已知函数 f(x)=|x﹣1|+|x﹣2|(x∈R). (Ⅰ)求函数 f(x)的最小值; (Ⅱ)已知 m∈R,命题 p:关于 x 的不等式 f(x)≥m2+2m﹣2 对任意 x∈R 恒成立;q:函数 y=(m2 ﹣3)x 是增函数,若“p∨q”为真,“p∧q”为假,求实数 m 的取值范围.

17.已知向量 =(

sin2x+2,cosx), =(1,2cosx),设函数 f(x)=
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(1)求 f(x)的最小正周期与单调递增区间; (2)在△ ABC 中,a,b,c 分别是角 A,B,C 所对应的边,若 f(A)=4,b=1,得面积为 a 的值. ,求

18.为迎接 2016 年到来,某手工作坊的师傅要制作一种“新年礼品”,制作此礼品的次品率 P 与日产

量 x(件)满足 P=

(c 为常数,且 c∈N*,c<20),且每制作一件正品盈利

4 元,每出现一件次品亏损 1 元. (Ⅰ)将日盈利额 y(元)表示为日产量 x(件)的函数; (Ⅱ)为使日盈利额最大,日制作量应为多少件?(注:次品率= ×100%)

19.已知函数 f(x)=x2ekx. (Ⅰ)当 k=1 时,求曲线 y=f(x)在点(1,f(1))处的切线方程; (Ⅱ)设 g(x)= 求实数 k 的取值范围. +2(a>0),且对于任意的 x1,x2∈[0,2],均有 g(x1)≥f(x2)恒成立,

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2015-2016 学年福建省福州一中高三(上)期中数学试卷(理 科)
参考答案与试题解析

一、选择题(共 10 小题,每小题 4 分,共 40 分) 1.复数 z= 在复平面上对应的点位于( )

A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限 【考点】复数的代数表示法及其几何意义. 【专题】计算题. 【分析】首先进行复数的除法运算,分子和分母同乘以分母的共轭复数,分母根据平方差公式得到 一个实数,分子进行复数的乘法运算,得到最简结果,写出对应的点的坐标,得到位置. 【解答】解:∵z= = = + i,

∴复数 z 在复平面上对应的点位于第一象限. 故选 A. 【点评】本题考查复数的乘除运算,考查复数与复平面上的点的对应,是一个基础题,在解题过程 中,注意复数是数形结合的典型工具.

2.已知集合 M={x|0<x<1},N={x|x=t2+2t+3},则(?NM)∩N=( A.{x|0<x<1} B.{x|x>1} C.{x|x≥2} D.{x|1<x<2}



【考点】交、并、补集的混合运算. 【专题】集合. 【分析】求出 N 中 x 的范围确定出 N,找出 M 补集与 N 的交集即可. 【解答】解:集合 M={x|0<x<1}, ∴?RM={x|x≤0 或 x≥1}, 由 N 中 x=t2+2t+3=(t+1)2+2≥2,得到 N={x|x≥2}, 则(?RM)∩N={x|x≥2}, 故选:C.
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【点评】此题考查了交、并、补集的混合运算,熟练掌握各自的定义是解本题的关键.

3.已知 cos(π+x)= ,x∈(π,2π),则 cos( A.﹣ B.﹣ C. D.

)=(



【考点】运用诱导公式化简求值. 【专题】三角函数的求值. 【分析】利用诱导公式化简已知条件以及所求表达式,通过同角三角函数的基本关系式求解即可. 【解答】解:cos(π+x)= ,x∈(π,2π), 可得 cosx=﹣ ,x∈(π, cos( 故选:A. 【点评】本题考查诱导公式以及同角三角函数的基本关系式的应用,考查计算能力. )=sinx=﹣ ), =﹣ .

4.已知 =(a,﹣2), =(1,1﹣a),则“a=2”是“ ∥ ”的( A.充要条件 B.充分而不必要条件 C.必要而不充分条件 D.既不充分也不必要条件 【考点】必要条件、充分条件与充要条件的判断. 【专题】简易逻辑.



【分析】根据向量平行的等价条件,以及充分条件和必要条件的定义即可得到结论. 【解答】解:若 ∥ ,则 a(1﹣a)+2=0, 即 a2﹣a﹣2=0, 解得 a=2 或 a=﹣1, 则“a=2”是“ ∥ ”的充分不必要条件, 故选:B 【点评】本题主要考查充分条件和必要条件的判断,根据向量共线的坐标公式是解决本题的关键.

5.函数 f(x)=log2|x|,g(x)=﹣x2+2,则 f(x)?g(x)的图象只可能是(



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A.

B.

C.

D.

【考点】函数的图象与图象变化. 【专题】数形结合. 【分析】要判断 f(x)?g(x),我们可先根据函数奇偶性的性质,结合 f(x)与 g(x)都是偶函 数,则 f(x)?g(x)也为偶函数,其函数图象关于 Y 轴对称,排除 A,D;再由函数的值域排除 B, 即可得到答案. 【解答】解:∵f(x)与 g(x)都是偶函数, ∴f(x)?g(x)也是偶函数,由此可排除 A、D. 又由 x→+∞时,f(x)?g(x)→﹣∞,可排除 B. 故选 C 【点评】要判断复合函数的图象,我们可以利用函数的性质,定义域、值域,及根据特殊值是特殊 点代入排除错误答案是选择题常用的技巧,希望大家熟练掌握.

6.已知函数 f(x)=Asin(ωx+φ)(A>0,ω>0,|φ|< (x)=Asin(ωx)的图象,只要将 y=f(x)的图象(

)的部分图象如图所示,为了解函数 g )

A.向左平移

个单位长度

B.向右平移

个单位长度

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C.向左平移

个单位长度 D.向右平移

个单位长度

【考点】函数 y=Asin(ωx+φ)的图象变换. 【专题】三角函数的图像与性质. 【分析】由函数的图象的顶点坐标求出 A,由周期求出 ω,由五点法作图求出 φ 的值,可得函数的 解析式,再利用函数 y=Asin(ωx+φ)的图象变换规律,得出结论. 【解答】解:根据函数 f(x)=Asin(ωx+φ)(A>0,ω>0,|φ|< = ? = ﹣ ,求得 ω=2. +φ= ,求得 φ= ,∴f(x)=2sin(2x+ ), )+ ]=2sin )的部分图象,可得 A=2,

再根据五点法作图可得 2? 故把 f(x)=2sin(2x+ (2x)的图象, 故选:D.

)的图象向右平移

个单位长度,可得 g(x)=2sin[2(x﹣

【点评】本题主要考查由函数 y=Asin(ωx+φ)的部分图象求解析式,由函数的图象的顶点坐标求出 A,由周期求出 ω,由五点法作图求出 φ 的值,函数 y=Asin(ωx+φ)的图象变换规律,属于中档题.

7.定义在 R 上的函数 f(x)满足 f(x+2)=﹣f(x),当﹣2≤x≤﹣1 时,f(x)=﹣(x+1)2,当﹣ 1<x<2 时,f(x)=x,则 f(1)+f(2)+…+f(2015)=( A.0 B.1 C.2 D.3 )

【考点】抽象函数及其应用;函数的值. 【专题】函数的性质及应用. 【分析】由 f(x+2)=﹣f(x)求出函数的周期,求出 f(1)+f(2)+f(3)+f(4)的值.然后求 解表达式的值. 【解答】解:∵f(x+2)=﹣f(x),∴f(x+4)=f(x), ∴T=4, ∵当﹣2≤x≤﹣1 时,f(x)=﹣(x+1)2,当﹣1<x<2 时,f(x)=x, ∴f(1)=1, f(2)=f(﹣2)=﹣1, f(3)=f(﹣1)=0, f(4)=f(0)=0,
第 8 页(共 19 页)

∴f(1)+f(2)+f(3)+f(4)=0; f(1)+f(2)+f(3)+…+f(2015)=503×0+f(1)+f(2)+f(3)=0. 故选:A. 【点评】本题考查函数的周期性,抽象函数的应用,根据周期性求代数式的值,属于一道基础题.

8.已知△ ABC 和点 M 满足 A.2 B.3 C.4 D.5

.若存在实数 m 使得

成立,则 m=(



【考点】向量的加法及其几何意义. 【分析】解题时应注意到 【解答】解:由 则 所以有 故选:B. 【点评】本试题主要考查向量的基本运算,考查角平分线定理. = ,故 m=3, ,则 M 为△ ABC 的重心. 知,点 M 为△ ABC 的重心,设点 D 为底边 BC 的中点, = ,

9.在△ ABC 中,若 3cos(A﹣B)+5cosC=0,则 tanC 的最大值为( A.﹣ B.﹣ C.﹣ D.﹣2



【考点】两角和与差的余弦函数. 【专题】三角函数的求值. 【分析】由题意可得 3cos(A﹣B)﹣5cos(A+B)=0,展开化简可得 tanAtanB= ,再利用基本不等 式求得 tan(A+B)≥ ,从而求得 tanC 的最大值. 【解答】解:△ ABC 中,若 3cos(A﹣B)+5cosC=0,即 3cos(A﹣B)+5cos(π﹣A﹣B)=3cos(A ﹣B)﹣5cos(A+B)=0, 即 3cosAcosB+3sinAsinB﹣5cosAcosB+5sinAsinB=0, 故 8sinAsinB=2cosAcosB,tanAtanB= ,

tanA+tanB≥2

=1,∴tan(A+B)=

≥ = ,

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则 tanC=﹣tan(A+B)≤﹣ ,当且仅当 tanA=tanB 时,等号成立, 故选:B. 【点评】本题主要考查诱导公式、两角和的正切公式,同角三角函数的基本关系,属于基础题.

10.已知 m∈R,函数 f(x)= ﹣m 有 6 个零点,则实数 m 的取值范围是( A.(1,2) B.( ,1) C.( , ) 【考点】根的存在性及根的个数判断. )

,g(x)=x2﹣2x+2m﹣2,若函数 y=f(g(x))

D.(0, )

【专题】计算题;作图题;转化思想;数形结合法;函数的性质及应用. 【分析】作函数 f(x)= 的图象,从而可得方程 x2﹣2x+3m﹣1=0、x2﹣2x+m

﹣1=0 与 x2﹣2x+2m﹣3﹣10m=0 都有两个不同的解,从而解得. 【解答】解:作函数 f(x)= , 由图象可知,当 0<m<2 时,f(u)﹣m=0 有三个不同的解, 即|u+1|=m 或 lg(u﹣1)=m, 故 u=﹣1﹣m 或 u=﹣1+m 或 u=1+10m, 故 g(x)=x2﹣2x+2m﹣2=﹣1﹣m 或 x2﹣2x+2m﹣2=﹣1+m 或 x2﹣2x+2m﹣2=1+10m, 故 x2﹣2x+3m﹣1=0 或 x2﹣2x+m﹣1=0 或 x2﹣2x+2m﹣3﹣10m=0, ∵函数 y=f(g(x))﹣m 有 6 个零点, ∴方程 x2﹣2x+3m﹣1=0、x2﹣2x+m﹣1=0 与 x2﹣2x+2m﹣3﹣10m=0 都有两个不同的解, 的图象如下,





解得,m< , 故 0<m< , 故选:D.
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【点评】本题考查了分段函数的应用及二次方程的判别式的应用,难点在于复合函数的应用.

二、填空题(共 4 小题,每小题 3 分,共 12 分) 11.已知 a=3 ,b=log2 ,c=log35,则 a,b,c 的大小关系为 c>b>a .

【考点】对数值大小的比较. 【专题】函数的性质及应用. 【分析】由于 0<a=3 【解答】解:∵0<a=3 ∴c>b>a. 故答案为:c>b>a. 【点评】本题考查了指数幂与对数的单调性,考查了推理能力与计算能力,属于中档题. <1,b=log2 <0,c=log35>1,即可得出. <1,b=log2 <0,c=log35>1,

12.

cos2xdx 等于



【考点】定积分. 【专题】导数的概念及应用. 【分析】由定积分的运算可得原式= (1+cos2x)dx= (x+ sin2x) ,代值计算可得.

第 11 页(共 19 页)

【解答】解:

cos2xdx=

dx

=

(1+cos2x)dx

= (x+ sin2x)

=

故答案为: 【点评】本题考查定积分的计算,属基础题.

13.已知函数 y=f(x),对于任意的 x 式中成立的有 ②③④ . ① f( ) <f( ) ② f( ) f(

满足 f′(x)cosx+f(x)sinx>0,则下列不等

) ③f(0)

f(

) ④f(



【考点】函数的单调性与导数的关系. 【专题】导数的概念及应用. 【分析】构造函数 F(x)= 增,逐个选项验证可得. 【解答】解:构造函数 F(x)= ,x , ,x ,可得函数 F(x)在 x 上单调递

则 F′(x)=

>0,

∴函数 F(x)在 x ∴F( )>F( ),即 2f(

上单调递增, )> f( f( )< ),可得 f( ),可得 >f( f( ) ),①错误; f( ),②正

同理可得 F( 确;

)<F(

),即

同理 F(0)<F( 同理 F( )<F(

),即 f(0)< ),即 f(

f(

),③正确; ),可得 f( ) f( ),④正确.

)<2f(

第 12 页(共 19 页)

故答案为:②③④ 【点评】本题考查函数的单调性和导数的关系,利用单调性比较大小,熟记商的导数公式,以之构 造出相应函数是解答的关键,属中档题.

14.已知非零向量 , , 满足| |=| |=|

|,<

>=

,则

的最大值为

. 【考点】平面向量数量积的运算. 【专题】平面向量及应用. 【分析】设 等边三角形. 设 , = ,则 = = , .非零向量 , , 满足| |=| |=| = . 由< >= |,可得△ OAB 是 , 可得点 C 在△ ABC

= , 则

的外接圆上,则当 OC 为△ ABC 的外接圆的直径时,

取得最大值.

【解答】解:设



= ,则

= |,



∵非零向量 , , 满足| |=| |=| ∴△OAB 是等边三角形. 设 ∵< = ,则 = , >= = , .

∴点 C 在△ ABC 的外接圆上, 则当 OC 为△ ABC 的外接圆的直径时, 取得最大值= = .

故答案为:



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【点评】本题考查了向量的三角形法则、等边三角形的性质、三角形外接圆的性质、直角三角形的 边角关系,考查了推理能力与计算能力,属于中档题.

三、解答题

15.在直角坐标系 xOy 中,直线 l 的参数方程为

(t 为参数),以原点 O 为极点,x

轴张半轴为极轴建立极坐标系,圆 C 的极坐标方程为 ρ=asinθ. (Ⅰ)若 a=2,求圆 C 的直角坐标方程与直线 l 的普通方程; (Ⅱ)设直线 l 截圆 C 的弦长等于圆 C 的半径长的 倍,求 a 的值.

【考点】简单曲线的极坐标方程;参数方程化成普通方程. 【专题】计算题;方程思想;数形结合法;坐标系和参数方程. 【分析】(Ⅰ)消去参数 t 可得直线 l 的普通方程为 x+y﹣2=0,圆 C 的极坐标方程为 ρ2=aρsinθ,即 x2+y2=ay,把 a=2 代入可得; (Ⅱ)易得圆的圆心为(0, ),半径为 的关系可得 a 的方程,解方程可得. 【解答】解:(Ⅰ)消去参数 t 可得直线 l 的普通方程为 x+y﹣2=0, ∵圆 C 的极坐标方程为 ρ=2sinθ,即 ρ2=aρsinθ,∴x2+y2=ay, 当 a=2 时,可得圆 C 的直角坐标方程为 x2+y2=2y, 化为标准方程可得 x2+(y﹣1)2=1; (Ⅱ)由(Ⅰ)可得圆 C 的直角坐标方程为 x2+(y﹣ )2= ∴圆心为(0, ),半径为 , , ,可得圆心到直线的距离 d,由圆的弦长和半径以及 d

∴圆心到直线 l:x+y﹣2=0 的距离 d= ∵直线 l 截圆 C 的弦长等于圆 C 的半径长的 ∴( )2=( )2+( )2,

, 倍,

解得 a=2. 【点评】本题考查参数方程和极坐标方程,涉及直线和圆的位置关系,属中档题.
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16.已知函数 f(x)=|x﹣1|+|x﹣2|(x∈R). (Ⅰ)求函数 f(x)的最小值; (Ⅱ)已知 m∈R,命题 p:关于 x 的不等式 f(x)≥m2+2m﹣2 对任意 x∈R 恒成立;q:函数 y=(m2 ﹣3)x 是增函数,若“p∨q”为真,“p∧q”为假,求实数 m 的取值范围. 【考点】带绝对值的函数;复合命题的真假. 【专题】函数的性质及应用;不等式的解法及应用;简易逻辑. 【分析】(Ⅰ)运用绝对值不等式的性质,即可得到所求最小值; (Ⅱ)先求出 p 真 q 真的 m 的范围,再由“p∨q”为真,“p∧q”为假,则 p,q 一真一假,解不等式即 可得到所求范围. 【解答】解:(Ⅰ)函数 f(x)=|x﹣1|+|x﹣2|≥|(x﹣1)﹣(x﹣2)|=1, 当(x﹣1)(x﹣2)≤0,即 1≤x≤2 时,取得等号, 即函数 f(x)的最小值为 1; (Ⅱ)由关于 x 的不等式 f(x)≥m2+2m﹣2 对任意 x∈R 恒成立, 即有 1≥m2+2m﹣2,解得﹣3≤m≤1; 函数 y=(m2﹣3)x 是增函数,即有 m2﹣3>1,解得 m>2 或 m<﹣2. 若“p∨q”为真,“p∧q”为假,则 p,q 一真一假, 即有 或 ,

解得﹣2≤m≤1 或 m>2 或 m<﹣3. 【点评】本题考查绝对值函数的最值的求法,考查复合命题的真假判断以及函数恒成立思想和指数 函数的单调性的运用,考查运算能力,属于中档题.

17.已知向量 =(

sin2x+2,cosx), =(1,2cosx),设函数 f(x)=

(1)求 f(x)的最小正周期与单调递增区间; (2)在△ ABC 中,a,b,c 分别是角 A,B,C 所对应的边,若 f(A)=4,b=1,得面积为 a 的值. 【考点】余弦定理;平面向量数量积的运算;三角函数的周期性及其求法;正弦函数的单调性. 【专题】解三角形.
第 15 页(共 19 页)

,求

【分析】(1)由两向量的坐标,利用平面向量的数量积运算列出 f(x)解析式,化简后利用周期公 式求出最小正周期;利用正弦函数的单调性确定出递增区间即可; (2)由 f(A)=4,根据 f(x)解析式求出 A 的度数,利用三角形面积公式列出关系式,将 b,sinA 及已知面积代入求出 c 的值,再利用余弦定理即可求出 a 的值. 【解答】解:(1)∵向量 =( ∴函数 f(x)= ? = ∵ω=2,∴T=π, 令 2kπ﹣ 得到 kπ﹣ ≤2x+ ≤2kπ+ ,k∈Z, sin2x+2,cosx), =(1,2cosx), sin2x+cos2x+3=2sin(2x+ )+3,

sin2x+2+2cos2x=

≤x≤kπ+

,k∈Z, ,kπ+ ],k∈Z; )= ,

则 f(x)的最小正周期为 π;单调递增区间为[kπ﹣ (2)由 f(A)=4,得到 2sin(2A+ ∴2A+ = 或 2A+ = , ,

)+3=4,即 sin(2A+

解得:A=0(舍去)或 A= ∵b=1,面积为 ∴ bcsinA= ,

,即 c=2,

由余弦定理得:a2=b2+c2﹣2bccosA=1+4﹣2=3, 则 a= .

【点评】此题考查了余弦定理,平面向量的数量积运算,正弦函数的单调性,以及三角形的面积公 式,熟练掌握余弦定理是解本题的关键.

18.为迎接 2016 年到来,某手工作坊的师傅要制作一种“新年礼品”,制作此礼品的次品率 P 与日产

量 x(件)满足 P=

(c 为常数,且 c∈N*,c<20),且每制作一件正品盈利

4 元,每出现一件次品亏损 1 元. (Ⅰ)将日盈利额 y(元)表示为日产量 x(件)的函数;

第 16 页(共 19 页)

(Ⅱ)为使日盈利额最大,日制作量应为多少件?(注:次品率= 【考点】根据实际问题选择函数类型. 【专题】函数的性质及应用. 【分析】(Ⅰ)通过 y=(4﹣5P)x,分类讨论即得结论;

×100%)

(Ⅱ)利用(I)可知要使日盈利额最大,则 0<x≤c,通过求导可知 y′=0 得 x=15,分 0<c<15、15≤c <20 两种情况讨论即可. 【解答】解:(Ⅰ)依题意,y=4(x﹣Px)﹣Px=(4﹣5P)x, 当 0<x≤c 时,y=(4﹣ )x= x,

当 x>c 时,y=(4﹣5? )x=0,

∴y=



(Ⅱ)由(I)可知要使日盈利额最大,则 0<x≤c, 此时令 y′= 解得:x=15 或 x=25(舍), ∴当 0<c<15 时,y′>0, 此时 y 在区间(0,c]上单调递增, ∴ymax=f(c)= ,此时 x=c; =0,

当 15≤c<20 时,y 在区间(0,15)上单调递增、在区间(15,20)上单调递减, ∴ymax=f(15)=45; 综上所述,若 0<c<15,则当日制作量为 c 件时,日盈利额最大; 若 15≤c<20,则当日制作量为 15 件时,日盈利额最大. 【点评】本题考查根据实际问题选择函数类型,考查分析问题、解决问题的能力,注意解题方法的 积累,属于中档题.

19.已知函数 f(x)=x2ekx. (Ⅰ)当 k=1 时,求曲线 y=f(x)在点(1,f(1))处的切线方程;
第 17 页(共 19 页)

(Ⅱ)设 g(x)= 求实数 k 的取值范围.

+2(a>0),且对于任意的 x1,x2∈[0,2],均有 g(x1)≥f(x2)恒成立,

【考点】利用导数研究曲线上某点切线方程;导数在最大值、最小值问题中的应用. 【专题】导数的概念及应用;导数的综合应用;不等式的解法及应用. 【分析】(1)求出 k=1 时 f(x)的导数,求得切点,由点斜式方程即可得到切线方程; (2)“对任意的 x1,x2∈[0,2],f(x1)≥g(x2)恒成立”等价于“当 a>0 时,对任意的 x1,x2∈[0, 2],gmin(x)≥fmax(x)成立”,求得 g(x)在[0,2]上的最小值,再求 f(x)的导数,对 k 讨论, 结合单调性,求得最大值,解不等式即可得到. 【解答】解:(1)当 k=1 时,f(x)=x2ex.的导数为 f′(x)=(x2+2x)ex, f(1)=e,切线的斜率为 f′(1)=3e, 即有切线方程为 y﹣e=3e(x﹣1),即 3ex﹣y﹣2e=0; (2)“任意的 x1,x2∈[0,2],均有 g(x1)≥f(x2)恒成立” 等价于“当 a>0 时,对任意的 x1,x2∈[0,2],gmin(x)≥fmax(x)成立”, 当 a>0 时,函数 g(x)在[0,1]上单调递增,在[1,2]上单调递减, 而 g(0)=2,g(2)= +2,所以 g(x)的最小值为 g(0)=2,

f(x)的导数 f′(x)=2xekx+x2ekx?k=(kx2+2x)ekx, 当 k=0 时,f(x)=x2,x∈[0,2]时,fmax(x)=f(2)=4,显然不满足 fmax(x)≤1, 当 k≠0 时,令 f′(x)=0 得,x1=0,x2=﹣ , ①当﹣ ≥2,即﹣1≤k≤0 时,在[0,2]上 f′(x)≥0,所以 f(x)在[0,2]单调递增, 所以 fmax(x)=f(2)=4e2k,只需 4e2k≤1,得 k≤﹣ln2,所以﹣1≤k≤﹣ln2; ②当 0<﹣ <2,即 k<﹣1 时,在[0,﹣ ],f(x)单调递增, 在[﹣ ,2],f(x)单调递减,所以 fmax(x)=f(﹣ )= 只需 ≤1,得 k≤﹣ ,所以 k<﹣1; ,

③当﹣ <0,即 k>0 时,显然在[0,2]上 f′(x)≥0,f(x)单调递增, fmax(x)=f(2)=4e2k,4e2k≤1 不成立. 综上所述,k 的取值范围是(﹣∞,﹣ln2].

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【点评】本题考查导数的运用:求切线方程和单调区间、极值和最值,主要考查不等式的恒成立问 题转化为求函数最值,运用分类讨论的思想方法是解题的关键.

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