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2016

时间:2017-03-01


第 27 课时 直线与圆的方程的应用

课时目标 1.了解直线与圆的方程在求最值及实际生活中的应用. 2.体会数形结合的思想.

识记强化 几何法 2 2 2 已 知 直 线 Ax + By + C = 0 和 圆 (x - a) + (y - b) = r , 圆 心 到 直 线 的 距 离 d = |Aa+Bb+C| . A2+B2 0≤d<r?直线与圆相交; d=r?直线与圆相切; d>r?直线与圆相离.

课时作业

一、选择题(每个 5 分,共 30 分) 2 1.方程 y=- 4-x 对应的曲线是(

)

答案:A 2 2 2 2 2 解析:由方程 y=- 4-x 得 x +y =4(y≤0),它表示的图形是圆 x +y =4 在 x 轴之 下的部分. 2 2 2 2 2.已知圆 C 的方程是 x +y +4x-2y-4=0,则 x +y 的最大值为( ) A.9 B.14 C.14-6 5 D.14+6 5 答案:D 2 2 解析: 圆 C 的标准方程为(x+2) +(y-1) =9, 圆心为 C(-2,1), 半径为 3.|OC|= 5, 2 2 圆上一点(x,y)到原点的距离的最大值为 3+ 5,x +y 表示圆上的一点(x,y)到原点的距 2 离的平方,最大值为(3+ 5) =14+6 5. 2 2 3.y=|x|的图象和圆 x +y =4 所围成的较小的面积是( ) π 3π A. B. 4 4

1

3π D.π 2 答案:D C. 1 2 2 解析:数形结合,所求面积是圆 x +y =4 面积的 . 4

4.如果实数 x,y 满足等于(x-2) +y =1,那么 的最大值是( A. C. 1 2 B. 3 3

2

2

y x

)

3 D. 3 2 答案:B 解析: 的几何意义是圆上的点 P(x,y)与原点连线的斜率,结合图形得,斜率的最大 3 3 ?y? ,∴? ?max= . 3 3 ?x? 2 2 5.若直线 y=kx+1 与圆 x +y +kx-y-9=0 的两个交点恰好关于 y 轴对称,则 k= ( ) A.0 B.1 C.2 D.3 答案:A 2 2 解析:方法一:将两方程联立消去 y,得(k +1)x +2kx-9=0,由题意此方程两根之 和为 0,故 k=0. 2 2 方法二: 直线 y=kx+1 与圆 x +y +kx-y-9=0 的两个交点恰好关于 y 轴对称, 所以 圆心在 y 轴上,因此 k=0. 6.一辆卡车宽 1.6 米,要经过一个半径为 3.6 米的半圆形隧道,则这辆卡车的车篷篷 顶距地面的高度不得超过( ) A.1.4 米 B.3.5 米 C.3.6 米 D.2.0 米 答案:B 2 2 2 解析:设圆的方程为 x +y =3.6 ,将(0.8,y)代入方程得|y|≈3.5. 二、填空题(每个 5 分,共 15 分) 2 2 7.过直线 2x+y+4=0 和圆 x +y +2x-4y+1=0 的交点,且取得最小面积的圆的方 程是________. 26 12 37 2 2 答案:x +y + x- y+ =0 5 5 5 解析:利用圆系方程来求. 4 2 2 2 8.若直线 y=x+t 被圆 x +y =8 截得的弦长不大于 ,则实数 t 的取值范围为 3 ________. 8 2 ?8 2 ? 答案:(-4,- ]∪? ,4? 3 ? 3 ? 解析:设圆的半径为 r,直线被圆截得的弦长为 l.圆心(0,0)到直线 y=x+t 的距离 d 值为

y x

2

|t| ? 4 2? ?l?2 2 2 2 2 = .由题意,得 d<r=2 2,所以-4<t<4.又? ? +d =r =8,则 l =32-2t ≤? ? ?2? ? 3 ? 2
2

8 2 8 2 8 2 8 2 ,所以 t≤- 或 t≥ ,结合-4<t<4,可知-4<t≤- 或 ≤t<4. 3 3 3 3
2 2

9.过点(1, 2)的直线 l 将圆(x-2) +y =4 分成两段弧,当劣弧所对的圆心角最小 时,直线 l 的斜率 k=________. 2 答案: 2 解析:由已知,得当直线 l 与过圆心(2,0)和点(1, 2)的直线垂直时,直线 l 截圆所 2 得的劣弧最短,此时劣弧所对的圆心角最小,可求得 k= . 2 三、解答题 2 2 10.(12 分)若 A={(x,y)|x-y+2=0},B={(x,y)|(x-1) +(y-t) =2}且 A∩B≠ ?,求 t 的取值范围. ? ?x-y+2=0, 解:由? 得 2 2 ??x-1? +?y-t? =2, ? 2x +(2-2t)x+(2-t) -1=0, 2 2 ∴Δ =(2-2t) -8(2-t) -1]≥0. ∴1≤t≤5. 2 2 11.(13 分)已知圆 C:x +y -2x+4y-4=0,是否存在斜率为 1 的直线 l,使以 l 被 圆 C 所截得的弦 AB 为直径的圆经过原点?若存在,写出直线 l 的方程;若不存在,说明理 由. 解:假设直线 l 存在,设 l 的方程为 y=x+m, ? ?y=x+m 由? 2 2 ?x +y -2x+4y-4=0 ? 得 2x +2(m+1)x+m +4m-4=0(*).设 A(x1,y1),B(x2,y2) m2+4m-4 则 x1+x2=-(m+1),x1x2= . 2 ∵以 AB 为直径的圆为(x-x1)(x-x2)+(y-y1)(y-y2)=0,若它经过原点, 2 则 x1x2+y1y2=0.又 y1·y2=(x1+m)(x2+m)=x1x2+m(x1+x2)+m , 2 ∴2x1x2+m(x1+x2)+m =0, 2 ∴m +3m-4=0.m=-4 或 m=1. 当 m=-4 或 m=1 时,(*)式的 Δ >0. ∴所求直线 l 的方程是 x-y-4=0 或 x-y+1=0. 能力提升
2 2 2 2

12.(5 分)为适应市场需要,某地准备建一个圆形生猪储备基地(如图),它的附近有一 条公路,从基地中心 O 向正东走 1 km 是储备基地的边界上的点 A,接着向东再走 7 km 到达 公路上的点 B,从基地中心 O 向正北走 8 km 到达公路的另一点 C.现准备在储备基地的边界 上选一点 D,修建一条由 D 通往公路 BC 的专用线 DE,求 DE 的最短距离. 解:以 O 为坐标原点,过 OB,OC 的直线分别为 x 轴和 y 轴,建立平面直角坐标系,则 2 2 圆 O 的方程为 x +y =1. 因为点 B(8,0),C(0,8),
3

所以直线 BC 的方程为 + =1,即 x+y=8. 8 8 作直线 l 与直线 BC 平行, 当 l 与圆 O 相切时, 距 BC 较近的一条切线与圆的切点即为满 |0+0-8| 足题意的点 D,当 DE⊥BC 时,DE 最短,最短距离为 -1=(4 2-1) (km). 2 2 2 13.(15 分)已知点 P 是圆 C:(x-5) +(y-5) =4 上的一个动点,它关于点 A(9,0)的 对称点为 Q,O 为坐标原点,线段 OP 绕原点 O 按逆时针方向旋转 90°得到线段 OR,求|QR| 的最大值和最小值. 解:设点 P(x,y),则点 Q(18-x,-y). 由平面几何的知识,可知 R(-y,x), 2 2 2 2 ∴|QR|= ?18-x+y? +?-y-x? = 2[?x-9? +?y+9? ]. 2 2 ∵P(x,y)在圆 C:(x-5) +(y-5) =4 上, 2 2 ∴|QR|的几何意义是点(9,-9)(记为点 M)与圆 C:(x-5) +(y-5) =4 上的点 P(x, y)的距离的 2倍. ∴当|PM|最小时,|QR|也最小,当|PM|最大时,|QR|也最大. 2 2 而|PM|min=|MC|-r= ?9-5? +?-9-5? -2=2( 53-1), 2 2 |PM|max=|MC|+r= ?9-5? +?-9-5? +2=2( 53+1) . ∴|QR|min=2 2( 53-1),|QR|max=2 2( 53+1).

x y

4


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