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莱布尼茨公式_图文

时间:2018-11-02

第六章 定积分

求总量的问题

教学目标
(1)理解定积分的概念,掌握定积分的基本性质; (2)了解微积分基本定理,掌握牛顿-莱布尼茨公式、 换元积分法和分部积分法; (3)了解反常积分的概念,会求无穷限区间上的反 常积分; (4)了解定积分中所蕴含的辩证法和李善兰的贡献;

教学重点:定积分的概念和性质、微积分基本定理、

定积分的换元积分法和分部积分法、定积分在几何学
中的应用;

教学难点:定积分的概念、定积分的换元积分法和分
部积分法、非正常积分、微元法、定积分在几何学中 的应用; 教学时数:8学时;

教学内容: §1特殊和式的极限——定积分的概念
§2计算定积分的一般方法——微积分基本定理

§3定积分的拓展——非正常积分
§4定积分的魅力显示——在若干学科中 的应用

数学家启示录

1. 1抽象定积分概念的两个现实原 型
原型Ⅰ 求曲边梯形的面积 设f(x)为闭区间 [a, b]上的连续函数, 且f(x)≥0. 由曲 线y = f(x), 直线x = a、x = b 以及 x 轴所围成的平面 图形(图6. 1)称为f(x) 在 [a, b]上的曲边梯形的面积s.
y y=f(x)

a=x 0 (图6. 1)

b=x 0

x

原型Ⅱ 求变力所作的功
设质点 m 受力 F 的作用沿 x 轴由点a 移动至点 b , 并设 F平行于 x 轴(图6. 2).

o

.

F a
图6. 2

b

如果F是常量, 则它对质点所作的功为W=F(b-a) 如果力 F不是常量, 而是质点所在位置x 的连续函数 那么F 对质点 m 所作的功W应如何计算呢? 我们仍按求曲边梯形面积的思想方法来进行.

1. 2定积分的概念
定义 设 f(x) 是定义在区间 [a, b] 上的有界函数, 用
点 a ? x0 ? x1 ? x2 ? ???xn?1 ? xn ? b将区间 [a, b]

任意分割成 n 个子区间 [xi-1, xi] (i=1, 2, …, n),这
些子区间及其长度均记作 △xi =xi -xi-1 (i=1, 2, …,

n). 在每个子区间 △xi 上任取一点 ? i , 作 n 个乘积

f (?i )?xi 的和式

?x ? f(? )
i ?1 i

n

i



如果当

n ? ? , 同时最大子区间的长度 ? ? max{?x } ? 0
i

时, 和式

?x 的极限存在, 并且其极限与区间 ? f(? )
i ?1 i i

n

[a, b] 的分割法以及 ? i 的取法无关, 则该极限值称为
函数 f(x) 在区间 [a, b] 上的定积分, 记作

?

b

a

( f x) dx



?

b

a

( f x) dx ? lim? f (?i )?xi .
n ?? i ?1 ( ? ?0)

n

定积分存在称为可积, 否则称为不可积. 原型Ⅰ和Ⅱ的问题可以简洁地表述为: ⑴ 连续曲线y=f(x) ≥0 在[a, b] 上构成的曲边梯形的 面积为函数 y=f(x) 在[a, b] 上的定积分, 即

s ? ? f(x)dx
a

b

⑵在连续变力F (x) 作用下, 质点m 沿x 轴从点 a 位移 到点b 所作的功为F (x) 在[a, b] 上的定积分, 即

W ? ? F(x) dx
a

b

定积分的几何意义
如图6. 3所示
当 f(x)≥0 时, 定积分 的几何意义就是以曲线 y=f(x), 直线 x=a、 x=b以及x 轴为边的曲边

梯形的面积S;

但若 f(x)≤0 , 由定积分的意义可知, 这时S 为负值. 对于一般函数f(x)而言, 定积分S 的值则是曲线在x 轴上方部分的正面积与下 方部分的负面积的代数和.

11

1. 3求定积分过程中的辨证思 维
无论是求曲边梯形的面积, 还是求变力作功, 初 等数学都无法解决, 而高等数学可迎刃而解, 奥妙在于高数的最主要部分(微积分)本质上 式辩证法在数学方面的应用. 定积分中的极限方法可以使有关常量与变量、 变与不变等矛盾的对立双方相互转化, 从而化未 知为已知, 体现了对立统一法则. 同时也体现了 否定之否定法则.

1. 4可积条件
定理1 (可积的必要条件) 若函数f(x)在[a, b] 上可积, 则 f(x) 在 [a, b] 上有界. 定理2 (可积的充分条件) 若 f(x) 是闭区间[a, b] 上的连续函数, 或者是闭区间[a, b] 上的单调函数, 或者是[a, b] 上只有有限个间断点的有界函数, 则f(x) 在[a, b] 上可积.

1. 5定积分的性质
定理1 若f(x)在 [a, b]上可积, k为常数, 则kf(x) 在[a, b] 上也可积, 且

dx ? k ? ? kf(x)
a

b

b

a

f(x) dx

定理2 若 f(x)、 g(x) 在[a, b] 上可积, 则f(x)± g (x) 在[a, b] 上也可积, 且
? g(x)) dx ? ? ?(f(x)
a b b a

f(x) dx ? ? g(x)dx
a

b

定理3 (对积分区间的可加性)有界函数 f(x) 在[a, c]、[c, b] 上都可积的充要条件是 f(x) 在[a, b] 上可积, 且

?

b

a

f(x) dx ? ? f(x) dx ? ? f(x) dx
a c

c

b

定理4 (保序性)设f(x) 与g(x) 为定义在[a, b] 上的 两个可积函数. 若f(x)≤ g(x), 则 x ? [a,b]

?

b

a

f(x) dx ? ? g(x) dx
a

b

定理5 (有界性)设 m, M 分别是 f(x) 在[a, b] 上的最小值和最大值. 若f(x)在[a, b] 上可积, 则

m(b ? a) ? ? f(x) dx ? M(b ? a)
a

b

定理6(定积分的绝对值不等式) 若f(x)在 [a, b]上可积, 则 f(x) 在 [a, b]上也可 积, 且

?

b

a

f(x)dx ? ? f(x) dx
a

b

定理7(积分中值定理)若函数f(x)在 [a, b] 上连续, 则在 [a, b]上至少存在一点 ? , 使得

?

b

a

f(x) dx ? f(?)(b ? a)

作业
必作题: 4 (2 x ? 3) dx 用定积分的定义计算 0 选作题: 习题6第一题. 思考题 定积分的定义中主要体现的数学思想是什 么?

?

2. 1微积分基本定理
定理1 若函数f(x)在 [a, b]上连续, 则由变 上限定积分定义的函数在 [a, b] 上可导, 且

?(x) ? ? f(t) dt,x ?[a,b]
a

x

即函数 ?(x) 是被积函数f(x)在 [a, b]上的 一个原函数.

? ?(x) ? f(x)

定理2

设f(x)在[a, b]上连续, 若F(x)是f(x)在[a, b]上
b a

的一个原函数, 则 ? f ( x)dx ? F (b) ? F (a) 称为牛顿-莱布尼茨公式


(6. 7)

已知函数F(x)是连续函数f(x)的一个原函数, 又根据定理1,

?

x

a

( f t) dt 也是f(x)的一个原函数, 而这两个原函数之差为
x

? ? f(t) dt ? C 某个常数, 所以 F(x) a

若令x = a, 则因

?
x a

a

a

f(t) dt ? 0

得 C = F(a). 于是

?

( f t) dt ? F ( x) ? F (a)

在上式中令x = b, 就得到所要证明的公式

?

b

a

f(x) dt ? F(b) ? F(a)

例1 计算 解
?

?

?

2 0

sin xdx

由于 ? cos x 是 sin x 的一个原函 数, 应用公式(6. 7)有

?

2 0

sin xdx ? ? cos x

?
2 0

? ? cos

?
2

? cos0 ? 1

2. 1定积分的换元积分法和分部积分 法
定理1 (定积分换元积分法)若函数f(x)在[a, b]上连续, 函数 ?(t) 满足下列条件:
? a,?(?) ? b,且a ? ?(t) ? b,t ?[?,? ]. (1) ?(?) (2)在 [?,? ] 上有连续导数 ? ?(t),则有定积分 换元公式

?

b

a

' ( f x) dx ? ? (( f ? t)) ? ( t)dt.

?

?

例2计算

?

?

0

a 2 ? x 2 dx(a>0)

解 令 x=asint , t∈[0, ? ], 则 dx=acostdt . 当t 从 0 2 ? ? ? 0,? ? 变到 ? 时 , x 从 0 递增到 a , 故取 2 2 应用公式(6. 8), 并注意到在第一象限中cost≥0, 则 有

?

a

0

a 2 ? x 2 dx ? ? 2 a cost ? a costdt
0

?

1 ? cos 2t ? ? 2 dt a2 sin 2t ? 1 ? (t ? ) 02 ? ?a 2 . 2 2 4 ?a
2 2 0

?

cos tdt ? a
2

?

2

2 0

例3 计算 ?02 sin t cos tdt . 解 令 u=sint , 则 du=costdt. 当t 由0 变到 u从0 递增到1. 应用换元公式(6. 8)有
2 u 2 ?0 sin t costdt ? ?0 udu ? 2 1

?

? 2

时,

?

1

1 ? . 0 2

定理2(定积分分部积分法)若 u, v是[a, b] 上 具有连续导数的函数, 则

? udv ? uv ? ?
a b a

b

b

a

vdu.

例4计算 解

?
?
?
0

?

0

x cos xdx.
? ?
0

x cos xdx ? ? xd sin x ? x sin x
0

? ? sin xdx
0

?

? cos x

?
0

? ?2.

例5计算 解
e

? ln xdx.
1
e 1

e

? ln xdx ? x ln x
1

??

e

1

1 x ? dx ? e ? x x

e 1

? 1.

作业 必作题 习题6 第二题、第四题、第五题. 选作题 习题6第三题. 思考题 1、定积分的换元积分法中应注意的事项? 2、微积分的基本定理主要解决了定积分 的什么问题?

§3定积分的拓展——非正常积分
定义:设函数f(x)定义在无穷区间[a, +∞)上, 且 在任何有限区间[a, A] 上可积, 如果存在极限
J ? lim ?
?A A?? a

( f x) dx

?

??

a

( f x) dx

则称此极限J为函数f(x)在[a, +∞)上的无穷限 反常积分, 简称无穷限积分, 记作J= 并称 ?a 穷限积分
??

( f x) dx

收敛. 如果极限不存在, 则称无 ?? 发散. f x) dx ?a (

无穷限积分的几何意义
? ?) 若f(x)≥0 , 则 x ?[a, 无穷限积分 ? f(x)dx 收 敛的几何意义是, 图(6. 7) 中介于曲线 y=f(x) 、直 线x=a 及 x 轴之间向右 无限延伸的阴影区域有 面积, 并以极限的值作为 它的面积.
?? a

例 讨论积分

dx ??? 1 ? x 2
??

的敛散性

解 任取实数a , 讨论如下两个无穷限积分: a dx ?? dx ??? 1 ? x 2 与 ?a 1 ? x 2

由于

dx ? ? lim ( arctan a ? arctan B ) ? arctan a ? ; 2 B ? ?? ?B 1 ? x B ?? 2 lim
a

A? ?? a

lim

?

A

dx ? ? lim ( arctan A ? arctan a ) ? ? arctan a 2 A ? ?? 1? x 2

因此, 该积分收敛, 且
a ?? dx dx dx ? ? ??? 1 ? x 2 ??? 1 ? x 2 ?a 1 ? x 2 ? ? ??

思考题 检查下面计算过程对不对?为什么? 请给出正确解法.
dx 1 ??2 x 2 ? [? x ]
2 2 ?2

1 ? 1? ? ? ? ? ? ? ? ?1 2 ? 2?

§4 定积分魅力的显示的——在若 干学科中的应用
4. 1 定积分的元素法
一、什么问题可以用定积分解决 ?

二 、如何应用定积分解决问题 ?

31

一、定积分问题举例
矩形面积

梯形面积
1. 曲边梯形的面积 设曲边梯形是由连续曲线 以及两直线 所围成 , 求其面积 A .

y

y ? f ( x)

A?? O

a

bx

解决步骤 : 1) 大化小. 在区间 [a , b] 中任意插入 n –1 个分点

a ? x0 ? x1 ? x2 ? ? ? xn ?1 ? xn ? b 用直线 x ? xi 将曲边梯形分成 n 个小曲边梯形;
2) 常代变. 在第i 个窄曲边梯形上任取 ? i ? [ xi ?1 , xi ] y 作以 [ xi ?1 , xi ] 为底 , f (? i ) 为高的小矩形, 并以此小

矩形面积近似代替相应
窄曲边梯形面积 得

O a x1

xi ?1 xi

?Ai ? f (? i ) ?xi

( ?xi ? xi ? xi ?1 )

?i

3) 近似和.

A ? ? ?A i ? ? f (? i )?xi
i ?1 i ?1

n

n

4) 取极限. 令

则曲边梯形面积

A ? lim ? ?Ai
? ?0 i ?1
n

n

y

? lim ? f (? i )?xi
? ?0 i ?1

O a x1

xi ?1 xi

?i

2. 变速直线运动的路程
设某物体作直线运动, 已知速度 且

求在运动时间内物体所经过的路程 s.
解决步骤: 1) 大化小. n 个小段 过的路程为 2) 常代变. 得 将它分成 在每个小段上物体经

? si ? v (? i )?t i

(i ? 1, 2,?, n)

3) 近似和.

4) 取极限 .

上述两个问题的共性: ? 解决问题的方法步骤相同 :

“大化小 , 常代变 , 近似和 , 取极限 ”
? 所求量极限结构式相同: 特殊乘积和式的极限

一、什么问题可以用定积分解决 ?
1) 所求量 U 是与区间[a , b]上的某分布 f (x) 有关的

一个整体量 ;
2) U 对区间 [a , b] 具有可加性 , 即可通过

“大化小, 常代变, 近似和, 取极限”
表示为

定积分定义

二 、如何应用定积分解决问题 ?
第一步 利用“化整为零 , 以常代变” 求出局部量 的 微分表达式 近似值

d U ? f ( x ) dx
第二步 利用“ 积零为整 , 无限累加 ” 求出整体量的
精确值 积分表达式

U ? ? a f ( x ) dx
这种分析方法称为元素法 (或微元分析法 )

b

元素的几何形状常取为: 条, 带, 段, 环, 扇, 片, 壳 等
第二节

4. 2在几何学中的应用
平面图形的面积 由截面面积求立体体积

平面图形的面积
一般地, 求由两条连续曲线 y=f(x)(x≥0)及直线 x=a, x=b(a<b)所围成 的平面图形的面积, 如图 (图6. 8)所示, 可在区间 [a, b ]内任取两点x, x+dx, 作出图中的阴影矩形, 则面 积微元为
y y=f(x)

dS ? [ f(x) ? g(x) ]dx,
于是所求面积为

o a

x x+dx y=g(x) 图6. 8

x b

S ? ? [ f(x) ? g(x) ]dx.
a

b

例1 求由正弦曲线y=sinx 与直线 3? x=0, y=0及 x= 2 所围成图形的面 y 积. y=sinx 解 首先画草图(图6. 9), o
?
3? 2 0

3? 2

其面积为
S??
3? 2 0

?

2? x

sin x dx ? ? sin xdx ? ? sin xdx
? ?
0

? ? cos x

? cos x

?

3? 2

? 3.

图6. 9

例2 求抛物线 y 2 ? x 与直线x-2y-3=0所围的 平面图形的面积. 解 首先画草图(图6. 10), 求出抛物线与直线的交点P (1, -10)与Q(9, 3), 把平 面图形分成 S1,S2 两部分, 则有
S1 ? ? [ X ] ? ( ? X )dx ? 2 ?
0 1 1 0

y

-1

os 1
p

S2 1

9

x

4 x dx ? , 3

S 2 ? ?( x ?
1

9

x ?3 28 ) dx ? , 2 3

图6. 10
4 28 32 ? ? . 3 3 3

于是

S ? S1 ? S 2 ?

由截面面积求立体体积
设? 为一空间立体, 它夹在垂直 于x轴的两平面x=a 及x=b之间(a <b) (图6. 11), 求其体积V. 现用 微元法导出由截面面积函数求空间 立体体积的公式.
在[a, b] 内任取相邻两点x 与x+dx, 过这两点分别作垂直于x轴的平面, 则 从 ? 上截出一薄片. 设x 处截面面积 函数为A(x ), 由于A(x ) 的连续性, 当 dx 很小时, 以底面积为A(x ), 高为dx 的薄柱体体积就是体积微元 dV=A(x) dx.

它是薄片的体积 △V 的近似值, 即 △V ≈dV=A(x)dx
从而有

V ? ? A(x) dx.
a

b

例. 计算由椭圆 转而成的椭球体的体积. 解: 利用直角坐标方程

所围图形绕 x 轴旋转而

y O

b

x

ax



V ? 2 ? π y 2 dx
0

a

(利用对称性)

? 2π

b

2

b ? 2 1 3 ? 2π 2 ?a x ? x 3 a ?

2 0 a 2

?

a

( a 2 ? x 2 ) dx
?a 4 2 ? π ab ? ?0 3

4. 3在物理学中的应用 ——变力作功
设物体在变力y=f(x) 作用下, 沿x 轴正向从点a移 动到点 b , 求它所作的功W. 在[a, b]上任取相邻 两点x和x+dx, 则力f(x)所作的微功为dW=f(x)dx, 于是得

W ? ? f(x)dx.
a

b

例4 根据虎克定律, 弹簧的弹力与形变的长度成正比. 已知汽车车厢下的减震弹簧压缩1cm 需力14000N, 求 弹簧压缩2cm 时所作的功. 解 由题意, 弹簧的弹力为f(x)=kx ( k 为比例常数), 当x=0. 01 m时 f(0. 01)=k×0. 01=1. 4×10000N, 于是 由此知 k=14000000, 故弹力为f(x)=1400000x.
W ??
0.02 0 6 1 . 4 ? 10 1.4 ?106 xdx ? 2 0.02 0

? 280( J ).

即弹簧压缩2cm时所作的功为280J.

作业 ? 必作题 习题六第七题 ? 思考题 微元法体现的辨证思想方法是什么?

微积分学在中国的最早传播人 ——李善兰
李善兰(1811—1882)是我国清 代数学家, 原名心兰, 字壬叔, 号秋纫, 浙江海宁县硖石镇人. 他曾任苏州府幕 僚, 1868年被清政府谕召到北京认同 文馆数学教授, 执教13年. 李善兰对尖 锥求积术、三角函数与对数的幂级数 展开式、高阶等差级数求和等都有突 出的研究;在素数论方面也有杰出成 就, 提出了判别素数的重要法则. 他对 有关二项式定理系数的恒等式也进行 了深入研究, 曾取各家级数论之长, 归 纳出以他的名字命名的“李善兰恒等 式”.

李善兰一生著作颇丰, 主要论著有《方圆阐 幽》、《弧矢启秘》、《对数探源》、《垛积 比类》、《四元解》、《麟德术解》、《椭圆 正术解》、《椭圆新术》、《椭圆拾遗》、 《火器真诀》、《对数尖锥变法释》、《级数 回求》和《天算或问》等.

李善兰不仅在数学研究上有很深造诣, 而且 在代数学、微积分学的传播上作出了不朽的贡献. 1852年至1859年间, 他与英国传教士伟烈亚力合 作翻译出版了三部著作:《几何原本》 后9卷, 英国数学家德摩根 《代数拾级》18卷、《谈天》 18卷. 与英人艾约瑟合作翻译了《圆锥曲线说》 3卷、 《重学》20卷等, 其中大部分译著, 例如 《代数学》、《代微拾级》等都分别是中国出版 的第一部代数学、解析几何学、微积分学. 李善 兰不懂外语, 由伟烈亚力口译, 李善兰笔述。

但是李善兰并非只是抄录整理, 而是基于对微积 分学等的深入理解以及对中国传统数学的的承袭 进行创造家加工, 特别是创设了一些名词, 例如: 变量、微分、积分、代数学、数学、数轴、曲率、 曲线、极大、极小、无穷、根、方程式等, 至今一 直沿用.

作业 思考题 微积分学在中国最早的传播人是谁?创 设了哪些数学名词?

微 定义 积 性质 分 的 基 础 和 研究对象-函数 研 究 对 分类 象

?

基础

?

集合 实数 极限

??
性质
领域

?

?

有界性 单调性 奇偶性 周期性

按表达形式

非初等函数(如分段函数) 按对应顺序(直接函数、反函数) 按对应层次(简单函数、复合函数)
54

?

初等函数

?

基本初等函数 由基本合成的


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高等数学(2017高教五版)课件牛顿莱布尼茨公式(工科类) - 数学分析 第九章 定积分 §2 牛顿-莱布尼茨公 式 显然, 按定义计算定积分非常困难,须寻找 新的途径...