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高中数学必修五数列方法与题型总结

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{an } 的通项公式。 数列的方法与题型总结 1 数列基本方法 1、求数列通项公式的一般方法(累乘法、累加法、迭 代法) 。目的都是为了消项。消去中间项,寻找末项和 首项之间的关系。 1.1 累乘法: 例 1、 已知数列 {an } 满足 a1 ? 3, an?1 ? 2an , 求数列 {an } 的通项公式。 解析:形如 an?1 ? Aan ,此类相邻两项等比的数列,都 可以用累乘法解决。这就是我们学的等比数列。 变型 1 已知数列 {an } 满足 a1 ? 3, an?1 ? 2an ? 1,求数 列 {an } 的通项公式。 解析:形如 an?1 ? Aan ? B 的递推公式求通项,首先进 行变型为 an?1 ? ? ? A(an ? ? ) 然后展开后与原递推公 式类比,求出 ? 。 注意一:其实本题变形后即可构造新的等比数列,先求 等比数列,再求原数列。 注意二: 变型为我们新关系式后, 用累乘法也可求出解, 且此方法是基础方法。 变型 2:已知数列 {an } 满足 a1 ? 1, an?1 ? 2an ? 2n ,求 数列 {an } 的通项公式。 解析:此类乃是上述变型 1 的又一个变形,形如 解析:形如 an?1 ? an ? b 的这种邻项等差的数列,可用 累加法求通项。 变型 1、已知数列 {an } 满足 a1 ? 3, an?1 ? an ? 2n ,求数 列 {an } 的通项公式。 解析:形如 an?1 ? an ? f (n) 的这种邻项等差的数列, 依然可以用累加法求通项。 1.3 迭代法 例: 已知数列 {an } 的通项公式为 an ? 2n ? 1, 数列 {bn } , 且 b1 ? a1 , 当 n ? 2 时, 求数列 {bn } 的通项。 bn ? abn?1 , 解析:多写几项找规律,将前一项逐渐一次代入,达到 销项的目的。 注意:上述两种累加累乘法的题都可以用迭代法求解。 1.4 综合练习 例 1 、 在 数 列 {an } 、 {bn } 中 , a1 ? 1, b1 , 且 an?1 ? 8 an? 6 bn , bn?1 ? 6an ? 4bn ,求 an ? bn , , an 和 b n 。 解析: an ? bn , 通过上述两等式相减得到 an ? bn , 的关系 式,求解即可。 求 an , b n ,将 an ? bn , 的通项公式代入上述两个等式 找关系即可。 1.5 an ? ? an?1 ? Aan ? f (n) ,首先进行变型为 ,然后展开类比,求 an?1 ? ? f (n ? 1) ? A(an ? ? f (n)) 出? 。 1.2 累加法。 例 1、已知数列 {an } 满足 a1 ? 3, an?1 ? an ? 3 ,求数列 ? S1 ?Sn ? Sn?1 例:数列 {an } 中, Sn ? n2 ? n ? 2 ,求 an 。 2、数列前 n 项和。 数列求和的一般方法有:倒序相加法、错位相减法、裂 项相消法。 3.7 数 列 {an } 中 , a1 ? 1 , an ? an?1 ? n , 求 数 列 { 2.1 倒序相加法。 例 1、数列 {an } 通项为 an ? 3n ? 2 ,求前 n 项和 Sn 。 例 2 、 若 数 列 {an } 的 通 项 公 式 为 an ? 4n ? 1 , 2an ? 1} 的前 10 项的和。 n ?1 3.8 数 列 {an } 中 , a1 ? 1 , an ? n3 , 求 数 列 an?1 a ? a ? ? ? an bn ? 1 2 ,求数列 bn 的前 n 项和。 n 2.2 运用错位相减法。 例 1、求 Sn ? 1 ? 2 ? 4 ? 8 ? ?? 2 n 。 公比是 2,所以 2Sn ? Sn 错位相消。 2.3 裂项相消法。 例 1、求数列 { { 3 n 1 2 n n ? ?1 2 2 a ? 3} 的前 10 项和。 3.9 (1) 1? 2 ? 2 ? 3 ? 3 ? 4 ? ? ? n ? (n ? 1) ( 2) 1? 2 ? 3 ? 2 ? 3 ? 4 ? 3 ? 4 ? 5 ? ? ? n(n ? 1)(n ? 2) 2 数列拓展 1、 an?1 ? an ? f (n) 问题。 1.1 在数列 {an } 中, 求 an 。 a1 ? 1, an ? an?1 ? 4n(n ? 2) , 1.2 在数列 {an } 中, a1 ? 求 an 。 1.3 在数列 {an } 中, an ? 0 ,且对任意的正整数 n 有 1 } 的前 n 项和。 n ?n 2 例 2、已知数列 { 1 n ? n ?1 } 的前 n 项和。 1 an?1 2nan?1 ? 1 , ? n ? 2) , 5 an 1 ? 2an 2 例 3、 已知数列 {an } 满足 an?1 ? an a1 ? a(a ? ?1) , ? an , 数列 {bn } 满足 bn ? a 1 ,设 Pn ? 1 , Sn 是数列 an ? 1 an ?1 {bn } 的前 n 项和,求证: aSn ? Pn ? 1 。 3、组合数列的求和。 两种类型:数列和构成新数列、数列积构成新数列。 数列和数列求和的分别求数列和,然后相加。 数列积数列求和的用 kSn ? Sn 。 3.1 求数列 {5 ? 2n ? 6}的前 n 项和 Sn 。 n Sn ? 1 1 (an ? ) ,求通项公式。 2 an 1.4 已知数列 {an } 的前 n 项和为 Sn ,且对于任意的正 整数 n 有 S n ? 6 ? an ? ? Sn ? ? ? 2、 ? n ? 3 ,求通项公式。 2n ?1 ,…也成等差数列。 、 Sn , S2 n ? Sn , S3 n ? S 2 n {

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