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大学线性代数课件1.3_图文

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§1.3

行列式的性质

行列式的转置

行列式的性质

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行列式转置 下页

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行列式的性质
行列式的转置: 将行列式 D 的行与列互换后得到的行列式称为 D 的 转置行列式,记为DT或D ?。即如果 a11 a21 D= … an1 a12 a22 … an2 … … … … a1n a2n , 则 DT = … ann a11 a12 … a1n a21 a22 … a2n … … … … an1 an2 。 … ann

若D=|aij|, D T=| bij |, 则bij = aji (i, j=1, 2, ? ? ?, n)。

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性质 下页1

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行列式的性质
行列式的转置: 将行列式 D 的行与列互换后得到的行列式称为 D 的 转置行列式,记为DT或D ?。 性质1 将行列式转置,行列式的值不变,即D =DT。

证明:记D=|aij|,D T=| bij |, D T的一般项为

(?1)

N ( j1 j2 ??? jn )

b1 j1 b2 j2 ? ? ? bnjn a j11a j2 2 ? ? ? a jn n

= (?1)

N ( j1 j2 ??? jn )

= (?1) N ( j1 j2 ??? jn )? N (12???n) a j11 a j2 2 ? ? ? a jn n ,
这也是D 的一般项, 所以 D =DT。
首页 上页 返回 性质 下页2 结束

性质2

互换行列式的两行(列),行列式的值变号。

证明:记 D=|aij|,交换 D 的第 s 行与第 t(s<t) 行得到的 行列式为D1=| bij |,则bsj = atj 、btj = asj(j=1, 2, ? ? ?, n)。 D1的一般项为

(?1) N ( j1 ??? js ??? jt ??? jn ) b1 j1 ? ? ? bsj s ? ? ? btjt ? ? ? bnjn = (?1) N ( j1 ??? js ??? jt ??? jn ) a1 j1 ? ? ? atjs ? ? ? a sjt ? ? ? anjn = (?1)
N ( j1 ??? js ??? jt ??? jn )

a1 j1 ? ? ? a sjt ? ? ? atjs ? ? ? anjn

= ?(?1) N ( j1 ??? jt ??? js ??? jn ) a1 j1 ? ? ? a sjt ? ? ? atjs ? ? ? anjn ,
它与D的一般项相差一个负号,所以D 1=?D。
首页 上页 返回 推论 下页 结束

性质2

互换行列式的两行(列),行列式的值变号。

推论 如果行列式中有两行(列)的对应元素相同,则 此行列式的值为零。 这是因为,将行列式 D 中具有相同元素的两行互换 后所得的行列式仍为D,但由性质2,D=?D,所以D=0。

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性质 下页3

结束

性质2

互换行列式的两行(列),行列式的值变号。

推论 如果行列式中有两行(列)的对应元素相同,则 此行列式的值为零。

性质3 用数k乘以行列式的某一行(列),等于用数k 乘以此行列式。即 a11 a12 … a1n a11 a12 … a1n … … … … … … … … ka31 ka32 … ka3n =k a31 a32 … a3n 。 … … … … … … … … an1 an2 … ann an1 an2 … ann 这是因为,(?1) N ( j1 j2 ??? jn ) a1 j1 ? ? ? (kaiji ) ? ? ? anjn

= k (?1)
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N ( j1 j2 ??? jn )
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a1 j1 ? ? ? aiji ? ? ? anjn 。
推论 1,2 下页 结束

性质2

互换行列式的两行(列),行列式的值变号。

推论 如果行列式中有两行(列)的对应元素相同,则 此行列式的值为零。

性质3 用数k乘以行列式的某一行(列),等于用数k 乘以此行列式。
推论1 如果行列式中某一行(列)的所有元素有公因 子,则公因子可以提到行列式符号的外面。 推论2 如果行列式有两行(列)的对应元素成比例, 则此行列式的值为零。

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性质 下页4

结束

性质4 若行列式中的某一行(列)的元素都是两数之 和,则此行列式可以写成两个行列式之和:

a11 a12 … a1n a11 … … … … … ai1?bi1 ai2?bi2 … ain?bin = ai1 … … … … … an1 an2 … ann an1

a12 … ai2 … a n2

… … … … …

a1n a11 … … ain ? bi1 … … ann an1

a12 … bi2 … an2

… … … … …

a1n … bin 。 … ann

这是因为, N ( j1 j2 ??? jn ) ( ? 1 ) a1 j1 ? ? ? (aiji ? biji ) ? ? ? anjn ?
= ? (?1) N ( j1 j2 ??? jn ) a1 j1 ? ? ? aiji ? ? ? anjn
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= ? (?1) N ( j1 j2 ??? jn ) [a1 j1 ? ? ? aiji ? ? ? anjn ? a1 j1 ? ? ? biji ? ? ? anjn ]

? ? (?1) N ( j1 j2 ??? jn ) a1 j1 ? ? ? biji ? ? ? a njn 。
性质 下页5 结束

性质5 将行列式的某一行(列)的所有元素同乘以数 k后加到另一行(列)对应位置的元素上,行列式的值不变。



a11 … ai1 … an1

a12 … ai2 … an2

… … … … …

a1n a11 a12 … … … ain = ai1?kaj1 ai2?kaj2 … … … ann a n1 an2
a12 … ai2 … an2 … … … … … a1n … ain ? k … ann
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… a1n … … … ain?kajn 。 … … … ann
… … … … … a1n … ajn 。 … ann

这是因为 a11 … 右边= ai1 … an1
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a11 … aj1 … an1
例1 下页

a12 … aj2 … an2

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结束

例1.证明:奇数阶反对称行列式的值为零。 解:设 0 ?a12 D = ?a13 … ? a 1n a12 0 ?a23 … ?a2n a13 a23 0 … ?a3n … … … … … a1n a2n a3n , … 0 … ?a1n … ?a2n … ?a3n … … … 0
( 将D的每一行 提出一个?1) ( DT= D)



D=

(?1)n

0 ?a12 a12 0 a13 a23 … … a1n a2n

?a13 ?a23 0 … a3n

=(?1)nDT =(?1)n D, 当n为奇数时,有D=?D, 所以D=0。
首页 上页 返回 例2 下页 结束

例2:计算下列行列式:

3 1 1. 1 1
分析:

1 3 1 1

1 1 3 1

1 1 1 3

1 2 2. 3 4

2 3 4 1

3 4 1 2

4 1 2 3

这两个行列式的共同特点是:行列式的各行(列) 之和相等。解决这类问题的一般方法是:把行列式的 各列均加到第一列,再提取第一列的公因式,然后利 用行列式的性质5化为三角行列式计算。

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解答 下页

结束

解: 3 1 1. 1 1

1 1 1 3 1 1 1 3 1 1

6 1 1 1 6 3 1 1 1 3 1 1 1 3

+① 6 1 ② ③+① 3 ④+① 6

=6

1 1 1 1 1 3 1 1 1 1 3 1 1 1 1 3

④- ① 1 为了书写方便,我们作如下规定: 1 1 1 ③- ① (1) 记号 8行(0 列)提出公因子k; 0 2 0 ② -①k⑧ 表示第 48. 6 ? ⑨ 表示4行 = (6 ?)2 ?(列 2= (2)记号 ④ 列 与?92 行 )互换; 0 ? 03)① 2 表示把第 0 (3)记号 ② ? 1行(列)乘以(?3)加到第2行(列)上 ( 等号上 (下)2 面的记号表示行(列)变换。 0 0 0

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2题 下页

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1 10 2 3 4 解: 1 2 3 4 1 2 3 4 1 10 3 4 1 = 10 2. 1 3 4 1 2 ②+① 10 4 1 2 ③+① 1 4 1 2 3 ④+① 10 1 2 3
④- ① ③- ① ②- ①

2 3 4 3 4 1 4 1 2 1 2 3 3 1 4 ?3

1 2 10 0 1

3 1

4 ?3
2③

0 2 ?2 ?2
0 ?1 ?1 ?1

20

1 0 0

2 1 1

?1 ?1

0 ?1 ?1 ?1

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下一步 下页

结束

1 10 2 3 4 解: 1 2 3 4 1 2 3 4 1 10 3 4 1 = 10 2. 1 3 4 1 2 ②+① 10 4 1 2 ③+① 1 4 1 2 3 ④+① 10 1 2 3
④+ ② ③ ?② 20

2 3 4 3 4 1 4 1 2 1 2 3

1 2 0 1 0 0

3 1 0

4 ?3 ?1 ?4

0 0 ?2

= 20 ? 1 ? 1 ? (?2) ? (?4) = 160

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例3 下页

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例3. n 阶行列式

x a a … a a a x a … a a a a x … a a ……… … …… a a a … x a a a a… a x

①?② ①?③ ??? ???

x?(n?1)a x?(n?1)a x?(n?1)a … x?(n?1)a x?(n?1)a

a a … x a … a x … …… … a a … a a …

a a a a a a …… x a a x

a … ②?①?(?1) x?(n?1)a a 0 x?a 0 … ③?①?(?1) ??? ??? ??? ??? 0 0 x?a …

… … 0 0 0 0 =[x?(n?1)a](x?a)n?1。
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a a 0 0 0 0 … … … … 0 … x?a 0 0 … 0 x?a

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例4 下页

结束

a11 a12 a13 6a11 ?2a12 ?10a13 例4.设 a21 a22 a23 =1, 求 ?3a21 a22 5a23 。 a31 a32 a33 ?3a31 a32 5a33 ?3a11 a12 5a13 6a11 ?2a12 ?10a13 (?2)① 解: ?3a21 a22 5a23 ?2 ?3a21 a22 5a23 ?3a31 a32 5a33 ?3a31 a32 5a33 a11 a12 a13 ?2?(?3)?5 a21 a22 a23 (?3)① a31 a32 a33
5③

=?2?(?3)?5?1 =30。

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例5 下页

结束

0 1 例 5. ?1 2

?1 ?1 2 1 ?1 0 ?1 0 2 ①? ② 0 ?1 ?1 ? 2 ?1 0 ?1 2 ?1 1 1 0 2 1 1 1 ?1 0 2 1 ③?②?3 1 ④ ③ ?? ① ① ?(?? 12) 0 ?1 ?1 2 ④ 0 ? ? 0 1 ?1 2 0 0 3 1 ?4 0

2 2 0 0 ?1 0 ?1 ?1 0 ?2 0 ?2

2 2 4 2

1 ?1 0 2 ④?③?(?1) 0 ?1 ?1 2 =?1?(?1)?(?2)?(?2) =4。 ? 0 0 ?2 4 0 0 0 ?2
首页 上页 返回 例6 下页 结束

0 1 例6:计算下列行列式: 1 1 解: 0 1 1 1 1 0 1 1 1 1 0 1 1① ? ② 1 1 ?0 1 1 1 0 0 1 1 1

1 0 1 1 1 1 0 1

1 1 0 1

1 1 1 0 1④ ? ① 1 1③ ? ① ? 0 1 0 0 0

0 1 1 1 1 1 1 ?1 0 1 0 ?1

1 0 1 1 ④?② 1 0 1 1 1 1 ③?④ 0 1 1 ③?② ? 0 1 1 0 0 ?1 ? 2 0 0 ? 2 ?1 0 0 1 ④ ? 2③ 0 0 0
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0 0 ? 2 ?1 ?1 ? 2 0 1 1 1 1 1 0 ? 1 ? 2 = 1 ? 1 ? (?1) ? 3 = ?3 0 0 3
返回 下页 例7 结束

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例7:计算下列行列式: 1 1 0 1 2 ?1 0 2 1 3 1. 1 1 0 1 3 3 2 ?1 ?1 0 1 2
1? x 1 1 1 1? x 1 3. 1 1 1? y 1 1 1 1 1 1 1? y

2.

?4 ?4 ?3 3 1 4 7 4 2 5 ? 3 10

5 ?2 3 ? 14

4.

a ? 3 ?1 ?1 a ? 3 0 1 1 0

0 1 a?3 ?1

1 0 ?1 a?3

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1 下页 题解

结束

解:
1 ?1 1 3

1

1.

2 0 0

0 2 1 3 0

3 ?1

?1

3 1 1 ?1 0 1 0 1 1 ① 1 ② 36 1 2 2 3 ?3 ?2 1 1 1 ③ ④ 2 2 3
1

0 2 6 2 1 1 0 1

1 1 0 ? ① ? ② 36 0

3 0 2 1 3 ? 1 6 2④ ? 2① 1 0 ?1 ? 1 1 1 36 0 1 ?2 ?3 0 1 0 3
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0 2 6 2 1 1 0 5

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1 3 0 2 ④ ? 3② 1 3 0 2 1 0 ?1 6 2 ③ ? ② 1 0 ?1 6 2 ? ? 36 0 1 1 1 36 0 0 7 3 0 3 0 5 0 0 18 11 1 3 ?2 2 1 3 ?2 2 1 0 ? 1 2 2 ④ ? 4③ 1 0 ? 1 2 2 ? ? 1 3 ③ ? 2④ 36 0 0 1 3 36 0 0 0 0 ? 4 11 0 0 0 23

23 = 36
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2.

?4 ?4 ?3 3 1 4 7 4 2 5 ? 3 10

5 ?2 3 ? 14

①?②

?1 ? 3 3 1 7 4 2

1 4 5

3 ?2 3

? 3 10 ? 14 1 7 3 7 24

?1 ? 3 1 3 ④ ? 4① 0 ?8 7 7 ③ ? 7① ②?③ 0 ? 19 12 24 ② ? 3① 0 ? 15 14 ? 2
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?1 ? 2 0 ?1 0 0

? 7 12

? 1 14 ? 2

下一步 下页

结束

?1 0 0 0

④?② ?2 1 3 ?1 ? 2 1 3 ③ ? 7 ② ?1 7 7 0 ?1 7 7 ? 7 12 24 0 0 ? 37 ? 25 ? 1 14 ? 2 0 0 7 ?9

?1 ? 2 1 3 ?1 ? 2 1 3 7 2③ 2 0 ? 1 7 7 ③ ? 5④ 0 ? 1 7 0 0 ? 2 ? 70 0 0 ? 1 ? 35 0 0 7 ?9 0 0 7 ?9

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结束

?1 0 0 0

④?② ?2 1 3 ?1 ? 2 1 3 ③ ? 7 ② ?1 7 7 0 ?1 7 7 ? 7 12 24 0 0 ? 37 ? 25 ? 1 14 ? 2 0 0 7 ?9

?1 ? 2 1 3 ?1 ? 2 1 3 7 7 ④ ? 7③ 2 0 ? 1 7 ③ ? 5④ 0 ? 1 7 0 0 ? 1 ? 35 0 0 ? 2 ? 70 0 0 0 ? 254 0 0 7 ?9

= 508
首页 上页 返回 3 下页 题解 结束

1? x 1 1 1 1? x 1 3. 1 1 1? y 1 1 1

1 1 1 1? y 1 1 1

①?② ③?④

x 1 0 x 1? x 0 0 0 1 1 y

1 1 1

y 1? y 1 0 1

x① y③

xy

1 1 0 1 1? x 0 0 0 1 1 1

④?③ ②?①
xy

1 1 0 0 ?x 0 0 0 1 0 1

1 1? y

0 ?y

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1 1 1? x 1 1 1 1 1? x 1 1 = xy 0 ? x 3. 1 0 1 1 1? y 1 0 0 1 1 1 1? y

0 1 0 0 1 1 0 ?y 0 0 1 0 1 0 = x2 y2 1 1

( ? y )④

1 ( ? x )② 2 2 0 x y 0 0

1 1 1 0

0 0 1 0

1 1 0 ③ ? ① x2 y 2 0 0 1 0 1

1 1 0 0

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4 下页 题解

结束

4.

a ? 3 ?1 ?1 a ? 3 0 1 1 0

0 1 a?3 ?1

1 0 ?1 a?3

①?④

a?3 a?3 a?3 a?3 ①?③ a?3 1 0 ① ? ② ?1 0 1 1 1 a?3 ?1 1 0 ?1 a?3 1 0 a?3 ?1 ?1 a?3

(a ? 3)① (a ? 3)

1 1 ?1 a ? 3 0 1 1 0

④?① ②?①

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结束

= (a ? 3)

1 1 0 a?2 0 0 1 ?1

1 2 a?3 ?2

1 1 ?1 a?4

②?③

(a ? 3)

1 1 1 0 a ?1 a ?1 0 0 1 ?1 a ?3 ?2
1 1 0 1 0 0

1 0 ?1 a?4
1 1 ?1

(a ? 1)②

(a ? 3)(a ? 1)

1 0 0
1 1 0 1 0 0

1 1 1
1 1 ?1

1 1 a ?3 ?2

1 0 ?1 a?4

④?② ③?② (a ? 3)(a ? 1)

1 0 ?1 a?4

③?④

0 0 a?4

0 ?1

? (a ? 3)(a ? 1)

1 (a ? 4)③ 0 ④? a?4 ?1

? (a ? 3)(a ? 1)

1 1 1 0 1 1 0 0 ?1

1 0 a?4

0 0 a?4

0 0 0 (a ? 3)(a ? 5)

= ?(a ? 3) 2 (a ? 1)(a ? 5)
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例8:计算下列行列式:

1 V3 = x1 1 1 x2 x
2 2

1 x2
2 x2

1 x3
2 x3

x12 1 x3 x
2 3

1
②?① ③?①

0 x2 ? x1
2 x2 ? x12

0 x3 ? x1
2 x3 ? x12

解: V3 = x1
x
2 1

x1 x12 0 1

1
( x2 ? x1 )② ( x3 ? x1 )③

0 1 x3 ? x1

( x2 ? x1 )( x3 ? x1 ) x1 x12

x2 ? x1

③?②

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例8:计算下列行列式:

1 V3 = x1 1 1 x2 x
2 2

1 x2
2 x2

1 x3
2 x3 1

x12 1 x3 x
2 3

0 x2 ? x1
2 x2 ? x12

0 x3 ? x1 = ? =
2 x3 ? x12

解: V3 = x1
x
2 1

②?①

x1

2 x ③?① 1

1

0 1 x2 ? x1

0 0 x3 ? x 2

③?②

( x2 ? x1 )( x3 ? x1 ) x1 x12

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下页 结果

结束

例8:计算下列行列式:

1 V3 = x1 1 1 x2 x 1 ( x2 ? x1 )( x3 ? x1 ) x1 x12
2 2

1 x2
2 x2

1 x3
2 x3 1

x12 1 x3 x
2 3

0 x2 ? x1
2 x2 ? x12

0 x3 ? x1 = ? =
2 x3 ? x12

解: V3 = x1
x
2 1

②?①

x1

2 x ③?① 1

0 1 x2 ? x1

0 0 x3 ? x 2
= ( x2 ? x1 )( x3 ? x1 )( x3 ? x2 )

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下页 推广

结束

一般地,有如下n阶(VanderMonde)行列式:

1 x1 Vn = x12 ? x1n?1

1 x2 x22 ? x2n?1

? 1 ? xn?1 ? xn2?1 ? ? ?1 ? xnn? 1

1 xn xn2 = ? ( xi ? x j ) ? 1? j ?i ?n xnn?1

= ( x2 ? x1 )( x3 ? x1 )?( xn ? x1 ) ( x3 ? x2 )( x4 ? x2 )?( xn ? x2 ) ????????????? ( xn?1 ? xn?2 )( xn ? xn?2 ) ( xn ? xn?1 )

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做练习 下页

结束

例9: 解下列方程:
(1) 1 1 1 2 ? x2 2 3 2 3 1 1 1 2 3 1? x 1 2 3 = 0 (2) 1 1 1 2? x 1 5 ? ? ? 1 9 ? x2 1 1 1 ? 1 ? 1 ? 1 =0 ? ? ? n?x

解:
(1) 很显然,当2?x2=1时,行列式的第一列与第二列相同, 则此行列式的值为零;当9?x2=5时行列式的第三列与第四列 相同,则此行列式的值为零。 所以,方程的根为x=?1,1,?2,2

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2 下页 题解

结束

例9: 解下列方程:
(1) 1 1 1 2 ? x2 2 3 2 3 1 1 1 2 3 1? x 1 2 3 = 0 (2) 1 1 1 2? x 1 5 ? ? ? 1 9 ? x2 1 1 1 ? 1 ? 1 ? 1 =0 ? ? ? n?x

解: (2)与(1)相同的道理,知该方程的根为:

x1 = 0, x2 = 1, x3 = 2,?, xn = n ? 1
大家做

些练习,

好吗?
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练习:计算下列行列式:

1 1 ?1 (1) ? 1 ? 1 2 2 5 2 1 2 3
答案:

3 1 1 2

(2)

4 ?3 3 1

1 ?6 6 1 1 ?6 2 ?4 3 2 3 1

第1题的结果是
30 第2题的结果是

27

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习题一(P39-42页):
12,13,15,16,17,18,19,20题

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课件研制与制作:沈家云
Email: Shenjiayun@sohu.com 2003年1月

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