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2011届数学高考复习名师精品教案:第68课时:第八章 圆锥曲线方程-圆锥曲线的应用(1)

时间:2011-04-21


课时: 圆锥曲线方程——圆锥曲线的应用( ——圆锥曲线的应用 第 68 课时:第八章 圆锥曲线方程——圆锥曲线的应用(1)

课题:圆锥曲线的应用(1) 复习目标: 一. 复习目标:会按条件建立目标函数研究变量的最值问题及变量的取值范围问 题,注意运用“数形结合”、“几何法”求某些量的最值. 二.知识要点: 知识要点: 1.与圆锥曲线有关的参数问题的讨论常用的方法有两种: (1)不等式(组)求解法:利用题意结合图形列出所讨论的参数适合的不等式 (组),通过解不等式(组)得出参数的变化范围;(2)函数值域求解法:把 所讨论的参数作为一个函数,通过讨论函数的值域来求参数的变化范围. 2.圆锥曲线中最值的两种求法: (1)几何法:若题目中的条件和结论能明显体现几何特征和意义,则考虑利用 图形性质来解决,这就是几何法;(2)代数法:若题目中的条件和结论能体现 明确的函数关系,则可首先建立起目标函数,再求这个函数的最值. 课前预习: 三.课前预习: 1.点 P 是双曲线 x2 y 2 ? = 1 上的一点, F1 、 F2 分别是双曲线的左、右两焦点, 4 12

∠F1 PF2 = 90o ,则 | PF1 | ? | PF2 | 等于( D )
( A) 48 ( B ) 32 (C ) 16 ( D ) 24

2.双曲线 x 2 ? y 2 = 1 的左焦点为 F , P 为双曲线在第三象限内的任一点,则直线
PF 的斜率的取值范围是( B )
( A) k ≤ 0 或 k > 1 ( B) k < 0 或 k > 1 (C ) k ≤ ?1 或 k ≥ 1 ( D ) k < ?1 或 k > 1

3.椭圆

x2 + y 2 = 1 的短轴为 B1 B2 ,点 M 是椭圆上除 B1 , B2 外的任意一点,直线 4

MB1 , MB2 在 x 轴上的截距分别为 x1 , x2 ,则 x1 ? x2 =

4



4.已知椭圆长轴、短轴及焦距之和为 8 ,则长半轴长的最小值是 4( 2 ? 1) . 虚半轴和半焦距, 若方程 ax 2 + bx + c = 0 无 5. 已知 a, b, c 分别是双曲线的实半轴、 实数根,则此双曲线的离心率 e 的取值范围是 (1, 2 + 5) . 四.例题分析: 例题分析: 例 1.过抛物线 y 2 = 4 x (a > 0) 的焦点 F ,作相互垂直的两条焦点弦 AB 和 CD ,

求 | AB | + | CD | 的最小值. 解:抛物线的焦点 F 坐标为 (a, 0) ,设直线 AB 方程为 y = k ( x ? a ) ,则 CD 方程为
1 y = ? ( x ? a ) ,分别代入 y 2 = 4 x 得: k

k 2 x 2 ? (2ak 2 + 4a ) x + k 2 a 2 = 0 及 ∵ | AB |= x A + xB + p = 2a + ∴ | AB | + | CD |= 8a +

1 2 1 a2 x ? (2a 2 + 4a ) x + 2 = 0 , k2 k k

2a + 2a , | CD |= xC + xD + p = 2a + 4ak 2 + 2a , 2 k

4a + 4ak 2 ≥ 16a ,当且仅当 k 2 = 1 时取等号, 2 k

所以, | AB | + | CD | 的最小值为 16a . 例 2.已知椭圆的焦点 F1 (?3, 0) 、 F2 (3, 0) ,且与直线 x ? y + 9 = 0 有公共点,求其 中长轴最短的椭圆方程.
x2 y2 = 1 ( a 2 > 9 ), 解:(法一)设椭圆方程为 2 + 2 a a ?9

? x2 y2 =1 ? 2+ 2 由 ?a 得 (2a 2 ? 9) x 2 + 18a 2 x + 90a 2 ? a 4 = 0 , a ?9 ?x ? y + 9 = 0 ?

由题意, a 有解,∴ ? = (18a 2 ) 2 ? 4(2a 2 ? 9)(90a 2 ? a 4 ) ≥ 0 , ∴ a 4 ? 54a 2 + 405 ≥ 0 ,∴ a 2 ≥ 45 或 a 2 ≤ 9 (舍), ∴a
2 min

x2 y 2 = 45 ,此时椭圆方程是 + =1. 45 36

(法二)先求点 F1 (?3, 0) 关于直线 x ? y + 9 = 0 的对称点 F (?9, 6) ,直线 FF2 与椭 圆的交点为 M ,则 2a =| MF1 | + | MF2 |=| MF | + | MF2 |≥| FF2 |= 6 5 , ∴ amin = 3 5 ,此时椭圆方程是
x2 y 2 + =1. 45 36

小结:本题可以从代数、几何等途径寻求解决,通过不同角度的分析和处理,拓 宽思路. 例 3. 直线 y = kx + 1 与双曲线 x 2 ? y 2 = 1 的左支交于 A, B 两点, 直线 l 经过点 (?2, 0) 及 AB 中点,求直线 l 在 y 轴上截距 b 的取值范围.

? y = kx + 1 解:由 ? 2 得 (1 ? k 2 ) x 2 ? 2kx ? 2 = 0 ,设 A( x1 , y1 ) 、 B( x2 , y2 ) , 2 ?x ? y = 1
? ?4k 2 + 8(1 ? k 2 ) > 0 ?? > 0 ? k 1 ? ? 2k 则 ? x1 + x2 < 0 ? ? <0 ? 1 < k < 2 , AB 中点为 ( , ), 2 1? k 1? k 2 ?x ? x > 0 ?1 ? k ? 1 2 ? ?2 ?1 ? k 2 > 0 ? ∴ l 方程为 y =
x+2 ,令 x = 0 , ?2 k 2 + k + 2 2 2 得b = = , 2 ?2k + k + 2 ?2(k ? 1 ) 2 + 17 4 8 1 17 ∵ 1 < k < 2 ,∴ 2 ? 2 < ?2(k ? )2 + < 1 , 4 8

所以, b 的范围是 (?∞, ?2 ? 2) U (2, +∞) . 小结:用 k 表示 b 的过程即是建立目标函数的过程,本题要注意 k 的取值范围. 课后作业: 五.课后作业: 1. AB 为过椭圆
x2 y2 + = 1 (a > b > 0) 中心的弦, F (c, 0) 是椭圆的右焦点,则 a2 b2

?ABF 面积的最大值是




( D) b 2 x2 + y 2 = 1 有四个不同的交点,则 m 的取值范围是 2

( A) bc

( B ) ac

(C ) ab

2.若抛物线 y = x 2 + m 与椭圆 ( )

( A) m > ?2 ( B ) m > ?

17 17 (C ) ?2 < m < ?1 ( D ) ? < m < ?1 8 8

3.椭圆中 a, c 是关于 x 的方程 x 2 ? 2ax + 3ac = 0 中的参数,已知该方程无解,则 其离心率的取值范围为 4 . 已 知 P ( x, y ) 是 椭 圆 .
x2 y2 + = 1 (a > b > 0) 上 的 动 点 , F1 , F2 是 焦 点 , 则 a2 b2

| PF1 | ? | PF2 | 的取值范围是



5.抛物线 y 2 = 4 x 上的点 P 到直线 l : x + y + 2 = 0 的距离最小,则点 P 坐标 是 .

6.由椭圆

x2 y2 + = 1 (a > b > 0) 的顶点 B (0, ?b) 引弦 BP ,求 BP 长的最大值. a2 b2

7.过点 A(?2, ?4) 且斜率为 1 的直线 l 交抛物线 y 2 = 2 px ( p > 0) 于 B, C 两点,若
| AB | 、 | BC | 、 | CA | 成等比数列,求抛物线方程.

8.已知椭圆的两个焦点分别是 F1 (0, ?2 2), F2 (0, 2 2) ,离心率 e =

2 2 , 3

(1)求椭圆的方程;(2)一条不与坐标轴平行的直线 l 与椭圆交于不同的两点 1 M , N ,且线段 MN 中点的横坐标为 ? ,求直线 l 的倾斜角的范围. 2


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