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§4 数列在日常经济生活中的应用

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§4 数列在日常经济生活中的应用

等差数列、等比数列是日常经济生活中的重要数学模

型.例如存款、贷款、购物(房、车)分期付款、保险、资
产折旧等问题都与其相关. 以银行存款为例,它是老百姓日常生活中最基本的经 济活动.银行存款计息方式有两种:单利和复利,它们分别 以等差数列和等比数列为数学模型.下面分别举例说明.

单利

单利的计算是仅在原有本金上计算利息,对本金

所产生的利息不再计算利息.其公式为 利息=本金×利率×存期 以符号P代表本金,n代表存期,r代表利率,S代表 本金与利息和(以下简称本利和),则有 S=P(1+nr).

复利

把上期末的本利和作为下一期的本金,在计算时每

一期本金的数额是不同的.复利的计算公式是

S=P(1+r)n .

例1.零存整取模型 银行有一种叫作零存整取的储蓄业务,即每 月定时存入一笔相同数目的现金,这是零存;到约定日期,可以 取出全部本利和,这是整取.规定每次存入的钱不计复利(暂不 考虑利息税).
(1)若每月存入金额为x元,月利率r保持不变,存期为n个月,试推 导出到期整取时本利和的公式;

(2)若每月初存入500元,月利率为0.3%,到第36个月末整取时的 本利和是多少?
(3)若每月初存入一定金额,月利率是0.3%,希望到第12个月末 整取时取得本利和2 000元.那么每月初应存入的金额是多少?

分析:零存整取储蓄业务规定每次存入的钱不计复利,即 按单利计息:利息=本金×利率×存期 解:(1)根据题意,第1个月存入的x元,到期利息为x?r?n 元; 第2个月存入的x元,到期利息为x?r?(n-1)元?? 第n个月存入的x元,到期利息为xr元.

不难看出,这是一个等差数列求和的问题.各月利息之和为
n(n ? 1)r x(元), 而本金为nx元,这样就得到本利和公式 y ? nx ? 2 n(n ? 1)r 即y ? x[n ? ](元)(n ? N + ); ① 2
xr (1 ? 2 ? ? ? n) ? n(n ? 1)r x(元) , 2

(2)每月存入500元,月利率为0.3﹪,根据①式,本利和为
36 ? 37 y ? 500 ? (36 ? ? 0.3%) ? 18?999(元); 2 (3)依题意,在①式中,y=2 000,r=0.3%,n=12,

y 2 000 x? ? n(n ? 1) 12 ? 6 ? 13 ? 0.3% n? r 2 ? 163.48(元) ,
答:每月应存入163.48元.

例2.定期自动转存模型

银行有另一种储蓄业务为定期存

款自动转存.例如,储户某日存入一笔1年期定期存款,1年后,
如果储户不取出本利和.则银行自动办理转存业务,第2年的 本金就是第1年的本利和.按照定期存款自动转存的储蓄业

务(暂不考虑利息税),我们来讨论以下问题:
(1)如果储户存入定期为1年的P元存款,定期年利率为r, 连存n年后,再取出本利和.试求出储户n年后所得本利和 的公式; (2)如果存入1万元定期存款,存期为1年,年利率为2.79%, 那么5年后共得本利和多少万元(精确到0.001)?

解:(1)记n年后得到的本利和为an,根据题意,第1年 存入的本金P元,1年后到期利息为P· r,1年后本利和为 a1=P+P· r=P(1+r)(元); 2年后到期利息为P(1+r)r元,2年后本利和为 a2=P(1+r)+P(1+r)r=P(1+r)2(元); …… 各年的本利和是一个以a1=P(1+r)为首项,公比q=1+r的等比 数列{an},故n年后到期的本利和

an=a1qn-1
=P(1+r)(1+r)n-1 =P(1+r)n(元)(复利公式).

(2)根据上式,5年后本利和为 a5=1×(1+0.027 9)5 ≈1.148(万元). 答:5年后得本利和约为1.148万元.

分期付款的有关规定 1.分期付款分若干次付款,每次付款额相同,各次付款的 时间间隔相同. 2.分期付款中双方的每月(年)利息均按复利计算,即上月 (年)的利息要计入本金.

3.各期所付的款额连同到最后一次付款时所产生的利息
和,等于商品售价及从购买到最后一次付款的利息和,这 在市场经济中是相对公平的.

例3.分期付款模型 小华准备购买一台售价为5 000元的 电脑,采用分期付款方式,并在一年内将款全部付清.商场 提出的付款方式为:购买后2个月第1次付款,再过2个月第2 次付款??购买后12个月第6次付款,每次付款金额相同, 约定月利率为0.8%,每月利息按复利计算.求小华每期付的 金额是多少? 分析1:考虑小华每次还款后,还欠商场的金额. 解:设小华每期还款x元,第k个月末还款后的本利欠款 数为Ak元,则

A2 ? 5 000 ? ?1 ? 0.008 ? ? x;
2

A4 ? A2 ?1 ? 0.008? ? x
2

? 5 000 ? ?1 ? 0.008 ? ? 1.0082 x ? x;
4

A6 ? A4 ?1 ? 0.008 ? ? x
2

? 5 000 ? ?1 ? 0.008 ? ? 1.0084 x ? 1.0082 x ? x;
6

?

A12 ? A10 ?1 ? 0.008? ? x
2

? 5 000 ? ?1 ? 0.008 ? ? 1.00810 x ? 1.0088 x
12

?1.0086 x ? 1.0084 x ? 1.0082 x ? x;

由题意年底还清,所以 A12 ? 0. 解得:
5 000 ?1.00812 x? 1 ? 1.0082 ? 1.0084 ? ? ? 1.00810 ? 880.8(元)

答:小华每期付款的金额为880.8元.

分析2:小华在12月中共付款6次,它们在12个月后的本 利和的累加与一年后付款总额相等.

x元,则 购买2个月后第1次付款 x元,此 x元到10个月后 10 本利和为 x ?1 ? 0.008 ? 元. 购买4个月后第2次付款 x 元,此 x元到8个月后 8 本利和为 x ?1 ? 0.008 ? 元.
解:设小华每期还款 ? 购买12个月后第6次付款 本利和为 x

?1 ? 0.008?

0

x 元,此 x 元当月的
元.

又小华一年后应还给商场的总金额增值为:

5 000 ? ?1 ? 0.008 ? 元
12

? x ?1 ? 1.0082 ? 1.0084 ? ? ? 1.00810 ? ? 5 000 ?1.00812

5 000 ? ?1.008? x? 1 ? 1.0082 ? 1.0084 ? ? ? 1.00810 ? 880.8(元)
12

答:小华每期付款的金额为880.8元.

“教育储蓄”,是一种零存整取的定期储蓄存款方式,是国家 为了鼓励城乡居民以储蓄存款方式,为子女接受非义务教育 积蓄资金,从而促进教育事业发展而开办的.某同学依教育储 蓄方式从2004年11月1日开始,每月按时存入250元,连续存6 年,月利率为0.3﹪.到期一次可支取本利共多少元? 解:由例3到期一次可支取本利和公式可知

250 ? ?1.003 ? 1.0032 ? ? ? 1.00372 ?

250 ?1.003 ? (1 ? 1.00372 ) ? ? 20 118.6(元) 1 ? 1.003
答:到期一次可支取本利和共为20 118.6元.

通过本节的学习: 1.了解银行存款的种类及存款计息方式; 2.体会“零存整取”、“定期自动转存”等日常经济生活 中的实际问题; 3.了解 “教育储蓄”. 4.学会计算单利、复利、分期付款等常见的几种类型.


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