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2016学年广州市高二学业水平测试数学试题+答案

时间:2017-12-01


数学(必修) 第Ⅰ卷(共 60 分) 一、选择题:本大题共 12 个小题,每小题 5 分,共 60 分.在每小题给出的四个选项中,只有一 项 是符合题目要求的. 1.已知全集 U ? {1, 2,3, 4,5} ,集合 A ? {1, 2, 4} , B ? {1,3,5},则 (CU A) ∩ B ? ( A. {1} B. {3,5} C. {1,3,5} D. {2,3, 4,5} ) )

2.已知点 A(1, ?1) , B(2, t ) ,若向量 AB ? (1,3) ,则实数 t ? ( A.2 B.3 C.4 D.-2

??? ?

3.已知直线 l 过点 (1,1) ,且与直线 6 x ? 5 y ? 4 ? 0 平行,则 l 的方程为( A. 5 x ? 6 y ? 11 ? 0 D. 6 x ? 5 y ? 1 ? 0 B. 5 x ? 6 y ? 1 ? 0



C. 6 x ? 5 y ? 11 ? 0

4.已知角 ? 的始边为 x 轴的正半轴,点 (1,3) 是角 ? 终边上的一点,则 tan ? ? ( A.-3 B. ?



1 3

C.

1 3
1 3

D.3

5.已知函数 f ( x) ? ? A.1 B.

?2 x ,

x ? 0,

?log3 x, x ? 0,
C.-1

,则 f [ f ( )] 的值是(



1 2

D.-2 )

6.执行如图所示的程序框图,若输入 x ? 1 ,则输出 k 的值为(

-1-

A.3

B.4

C.

5

D.6

7.下列函数 f ( x ) 中,满足“对任意 x1 , x2 ? (0,1) ,当 x1 ? x2 时,都有 f ( x1 ) ? f ( x2 ) ”的是 ( ) B. f ( x) ?

A. f ( x) ?| x ? 1| D. f ( x) ? sin 2 x

1 x

C.

1 f ( x) ? 1 ? ( ) x 2

?5 x ? 3 y ? 15, ? 8.已知实数 x , y 满足约束条件 ? y ? x ? 1, ,则 z ? 3x ? y 的取值范围是( ? x ? 5 y ? 3, ?
A. [?5,9] B. [?7,9] C. [?5,3] D. [?7, 7]



9.若 x0 是函数 f ( x) ? ln x 与 g ( x ) ? A. (0,1) B. (1, 2)

2 的图象交点的横坐标,则 x0 属于区间( x
C. (2,3) D. (3, ??)



10.设 m, n 是两条不同的直线, ? , ? 是两个不同的平面,则下列命题中正确的是( A.若 m / / n , n ? ? ,则 m / /? C. 若 m / /? , m / / ? ,则 ? / / ? B.若 m ? n , n / /? ,则 m ? ? D.若 m / /? , m ? ? ,则 a ? ?



11.在区间 [0, 2] 上随机取两个数 x , y ,记 p1 为事件“ x ? y ? 1 ”的概率, p2 为事件“ xy ? 1 ” 的概率,则( A. p1 ? p2 ? )

1 2

B.

1 ? p2 ? p1 2

C. p1 ?

1 ? p2 2

D. p2 ?

1 ? p1 2

-2-

12.已知数列 {an } 满足 a1 ? A.4950 B.5050

3 1 1 , an ?1 ? 1 ? ,则数列 { } 的前 100 项和为( 2 an an ? 1
C.5100 D.5150



第Ⅱ卷(共 90 分) 二、填空题(每题 5 分,满分 20 分,将答案填在答题纸上) 13.函数 f ( x) ? 2 ? x 的定义域是__________.

| ? |? 14.函数 f ( x) ? sin(2 x ? ?)(其中 ? 为常数,

?
2

) 的部分图象如图所示, 则 ? ? _______.

15.已知一个四棱锥的底面边长是边长为 2 的正方形,顶点在底面的正投影为正方形的中心, 侧棱长为 5 ,则这个四棱锥的内切球的表面积为__________. 16.在平面四边形 ABCD 中, BC ? 2 , DC ? 4 ,四个内角的角度比为

A : B : C : D ? 3 : 7 : 4 :10 ,则边 AB 的长为__________.
三、解答题 (本大题共 6 小题,共 70 分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.) 17.(本小题满分 10 分) 已知向量 a ? (sin x,1),b ? (1,cos x),x ? R, 设 f ( x) ? a ? b . (1)求函数 f ( x ) 的对称轴方程; (2)若 f (? ?

?

?

? ?

?
4

)?

? 2 ? ,? ? (0, ) ,求 f (? ? ) 的值. 4 3 2

18.(本小题满分 12 分) 从某小区随机抽取 40 个家庭,收集了这 40 个家庭去年的月均用水量(单位:吨)的数据, 整理得到频数分布表和频率分布直方图.

-3-

(1)求频率分布直方图中 a, b 的值; (2)从该小区随机选取一个家庭,试估计这个家庭去年的月均用水量不低于 6 吨的概率; (3)在这 40 个家庭中,用分层抽样的方法从月均用水量不低于 6 吨的家庭里抽取一个容量 为 7 的样本,将该样本看成一个总体,从中任意选取 2 个家庭,求其中恰有一个家庭的月均 用水量不低于 8 吨的概率. 19.(本小题满分 12 分) 已知数列 {an } 满足 a7 ? 15 ,且点 (an , an?1 )(n ? N * ) 在函数 y ? x ? 2 的图象上. (1)求数列 {an } 的通项公式; (2)设 bn ? 3 n ,求数列 {bn } 的前 n 项和 Tn .
a

20.(本小题满分 12 分) 一个长方体的平面展开图及该长方体的直观图的示意图如图所示.

-4-

(1)请将字母 E, F , G 标记在长方体相应的顶点处(不需说明理由) ; (2)在长方体中,判断直线 BG 与平面 AFH 的位置关系,并证明你的结论; (3)在长方体中,设 AB 的中点为 M ,且 AB ? 2 , AE ? 2 ,求证:

EM ? 平面 AFG .
21.(本小题满分 12 分) 已知直线 x ? y ? 2 ? 0 被圆 C : x2 ? y 2 ? r 2 所截得的弦长为 8. (1)求圆 C 的方程; (2)若直线 l 与圆 C 切于点 P ,当直线 l 与 x 轴正半轴, y 轴正半轴围成的三角形面积最小 时,求点 P 的坐标. 22.(本小题满分 12 分) 设函数 f ( x) ? x ? 2ax ? b(a, b ? R) .
2

(1)当 b ? a ? 1 时,求函数 f ( x ) 在 [?1,1] 上的最大值 g (a ) 的表达式; (2)当 b ? a ? 1 时,讨论函数 y ? f [ f ( x)] 在 R 上的零点个数.
2

-5-

2016 学年度广州市高中二年级学生学业水平测试 数学试题参考答案及评分标准 一、选择题 1-5:BADDB 二、填空题 13. [?2, ??) 三、解答题 17.解: (1) f ( x) ? a ? b ? sin x ? cos x 14. 6-10:CCACD 11、12:AD

? 3

15.

4 ? 3

16. 3 2

? ?

? 2(

2 2 sin x ? cos x) 2 2

所以函数 f ( x ) 的对称轴方程为 x ? k? ? (2)由(1)得, f ( x) ? 因为 f (? ? 所以 f (? ?

?
4

(k ? Z ) .??????4 分

2 sin( x ? ) . 4

?

?
4

)?

2 , 3

?
4

) ? 2 sin(? ?

?

? ) ??????5 分 4 4

?

? 2 ? 2 sin(? ? ) ? 2 cos ? ? .??????6 分 2 3
所以 cos ? ? 因为 ? ? (0, 所以 f (? ?

1 .??????7 分 3
2 ) ,所以 sin ? ? 1 ? cos 2 ? ?

?

2 2 .??????8 分 3

?
4

) ? 2 sin(? ?

?

? ) ? 2 sin ? ??????9 分 4 4
-6-

?

? 2?

2 2 4 ? .??????10 分 3 3
10 ? 0.25 , 40

18.解: (1)因为样本中家庭月均用水量在 [4, 6) 上的频率为

16 ? 0.4 , 40 0.25 0.4 ? 0.125 , b ? ? 0.2 .??????2 分 所以 a ? 2 2
在 [6,8) 上的频率为 (2)根据频数分布表,40 个家庭中月均用水量不低于 6 吨的家庭共有 16+8+4=28 个, 所以样本中家庭月均用水量不低于 6 吨的概率是

28 ? 0.7 . 40

利用样本估计总体,从该小区随机选取一个家庭,可估计这个家庭去年的月均用水量不低于 6 吨的概率约为 0.7.??????4 分 (3)在这 40 个家庭中,用分层抽样的方法从月均用水量不低于 6 吨的家庭里抽取一个容量 为 7 的样本,

16 ? 4 人,记为 A, B, C , D ,??????5 分 28 8 ? 2 人,记为 E , F ,??????6 分 在 [8,10) 上应抽取 7 ? 28 4 ? 1 人,记为 G .??????7 分 在 [10,12] 上应抽取 7 ? 28
则在 [6,8) 上应抽取 7 ? 设“从中任意选取 2 个家庭,求其中恰有 1 个家庭的月均用水量不低于 8 吨”为事件,

{A, B}{ , A, C}{ , A, D}{ , A, E}{ , A, F}{ , A, G}{ , B, C} , {B, D}{ , B, E}{ , B, F}, 则所有基本事件有: {B, G}{ , C, D}{ , C, E}{ , C, F}{ , C, G}{ , D, E}{ , D, F}{ , D, G}{ , E, F}{ , E, G} , {F , G} ,共 21
种.????9 分

, A, F}{ , A, G} , 事件包含的基本事件有: { A, E}{ {B, E}{ , B, F}, {B, G}, {C, E}{ , C, F}{ , C, G}{ , D, E}{ , D, F}{ , D, G}, 共 12 种.??????11
分 所以其中恰有一个家庭的月均用水量不低于 8 吨的概率为

12 4 ? .??????12 分 21 7

19.解: (1)依题意得,得 an?1 ? an ? 2 ,即 an?1 ? an ? 2 .??????1 分 所以数列 {an } 是公差为 2 的等差数列.??????2 分 由 a7 ? 15 ,得 a1 ? 6 ? 2 ? 15 ,解得 a1 ? 3 .??????3 分
-7-

所以 an ? a1 ? (n ?1)d ??????4 分

? 3 ? (n ? 1) ? 2 ? 2n ? 1 .??????5 分
(2)因为 bn ? 3 n ? 32n?1 ,所以 b1 ? 27 .??????6 分
a

bn?1 32 n?3 因为 ? 2 n?1 ? 9 , bn 3
所以 {bn } 是公比为 9 的等比数列.??????8 分 所以 Tn ?

b1 (1 ? q n ) ??????10 分 1? q

?

27 ? (1 ? 9n ) 27 n ? (9 ? 1) .??????12 分 1? 9 8

20.解: (1)字母 E, F , G 标记如图所示.??????2 分

(2) BG / / 平面 AFH ,证明如下: 在长方体 ABCD ? EFGH 中, AB / / GH ,且 AB ? GH , 所以四边形 ABGH 是平行四边形, 所以 BG / / AH .??????4 分 又 AH ? 平面 AFH , BG ? 平面 AFH ,所以 BG / / 平面 AFH .??????6 分 (3)在长方体 ABCD ? EFGH 中, FG ? 平面 ABFE , 又 EM ? 平面 ABFE ,所以 FG ? EM .??????8 分 在 Rt ?AEF 与 Rt ?MAE 中,

?AEF ? ?MAE ? 90? ,

EF AE ? ? 2, AE MA

所以 Rt ?AEF ∽ Rt ?MAE ,所以 ?EFA ? ?AEM .
? ? 因为 ?AEM ? ?MEF ? 90 ,所以 ?EFA ? ?MEF ? 90 ,所以 AF ? EM .??????

-8-

10 分 又 AF ? 平面 AFG , FG ? 平面 AFG , AF ∩ FG ? F ,所以 EM ? 平面

AFG .??????12 分
21.解: (1) 因为圆 C 的圆心到直线 x ? y ? 2 ? 0 的距离为 d ? 1分 所以 r ? d ? ( ) ? ( 2) ? 4 ? 18 .??????2 分
2 2 2 2 2

|0?0?2| 12 ? 12

?????? ? 2,

8 2

所以圆 C 的方程 x2 ? y 2 ? 18 .??????3 分 (2)设直线 l 与圆 C 切于点 P( x0 , y0 )( x0 ? 0, y0 ? 0) , 则 x02 ? y02 ? 18 .??????4 分 因为 kOP ?

y0 x ,所以圆的切线的斜率为 ? 0 .??????5 分 x0 y0 x0 ( x ? x0 ) ,即 x0 x ? y0 y ? 18 .??????6 分 y0 18 18 , 0) ,与 y 轴正半轴的交点坐标为 (0, ) . x0 y0

则切线方程为 y ? y0 ? ?

则直线 l 与 x 轴正半轴的交点坐标为 (

所以围成的三角形面积为 S ?

1 18 18 162 .??????9 分 ? ? ? 2 x0 y0 x0 y0

因为 18 ? x02 ? y02 ? 2x0 y0 ,所以 x0 y0 ? 9 . 当且仅当 x0 ? y0 ? 3 时,等号成立.??????10 分 因为 x0 ? 0 , y0 ? 0 ,所以

1 1 ? , x0 y0 9

所以 S ?

162 162 ? ? 18 . x0 y0 9

所以当 x0 ? y0 ? 3 时, S 取得最小值 18.??????11 分 所以所求切点 P 的坐标为 (3,3) .??????12 分 22.当 b ? a ? 1 时,
-9-

f ( x) ? x2 ? 2ax ? a ?1 ? ( x ? a)2 ? a2 ? a ?1 ,对称轴为直线 x ? ?a .
当 ?a ? ?1 即 a ? 1 时, f ( x ) 在 [?1,1] 上是增函数,所以 g (a) ? f (1) ? 3a .??????1 分 当 ?1 ? ?a ? 0 即 0 ? a ? 1 时, f ( x ) 在 [?1, ?a] 上是减函数,在 [?a,1] 上是增函数, 且 f (?1) ? ?a ? f (1) ? 3a ,所以 g (a) ? f (1) ? 3a .??????2 分 当 0 ? ? a ? 1 即 ?1 ? a ? 0 时, f ( x ) 在 [?1, ?a] 上是减函数,在 [?a,1] 上是增函数, 且 f (?1) ? ?a ? f (1) ? 3a ,所以 g (a) ? f (?1) ? ?a .??????3 分 当 ? a ? 1 即 a ? ?1 时, f ( x ) 在 [?1,1] 上是减函数,所以 g (a) ? f (?1) ? ?a . 综上所述, g (a) ? ?
2

??a, a ? 0, .??????4 分 ?3a, a ? 0.

(2)当 b ? a ? 1 时, f ( x) ? x2 ? 2ax ? a2 ?1 ? ( x ? a ? 1)( x ? a ?1) . 令 f [ f ( x)] ? 0 ,即 ( f ( x) ? a ? 1)( f ( x) ? a ? 1) ? 0 , 解得 f ( x) ? ?a ? 1 或 f ( x) ? ?a ? 1 .??????5 分 当 f ( x) ? ?a ? 1 时, x ? 2ax ? a ? 1 ? ?a ? 1,即 x ? 2ax ? a ? a ? 0 .
2 2 2 2

因为 ?1 ? (2a)2 ? 4(a2 ? a) ? ?4a , 所以当 ?1 ? 0 即 a ? 0 时,方程 x ? 2ax ? a ? a ? 0 有两个实数解.??????6 分
2 2 2 2 当 ?1 ? 0 即 a ? 0 时,方程 x ? 2ax ? a ? a ? 0 有且只有一个实数解 x ? 0 .??????7


2 2 当 ?1 ? 0 即 a ? 0 时,方程 x ? 2ax ? a ? a ? 0 没有实数解.??????8 分

当 f ( x) ? ?a ? 1 时, x ? 2ax ? a ? 1 ? ?a ? 1 ,即 x ? 2ax ? a ? a ? 2 ? 0 .
2 2 2 2

因为 ?2 ? (2a) ? 4(a ? a ? 2) ? ?4a ? 8 ,
2 2

所以当 ? 2 ? 0 即 a ? 2 时,方程 x ? 2ax ? a ? a ? 2 ? 0 有两个实数解.??????9 分
2 2 2 2 当 ? 2 ? 0 即 a ? 2 时,方程 x ? 2ax ? a ? a ? 2 ? 0 有且只有一个实数解

x ? 2 .??????10 分
- 10 -

2 2 当 ? 2 ? 0 即 a ? 2 时,方程 x ? 2ax ? a ? a ? 2 ? 0 没有实数解.??????11 分

综上所述,当 a ? 0 时,函数 y ? f [ f ( x)] 在 R 上的零点个数是 4; 当 a ? 0 时,函数 y ? f [ f ( x)] 在 R 上的零点个数是 3; 当 0 ? a ? 2 时,函数 y ? f [ f ( x)] 在 R 上的零点个数是 2; 当 a ? 2 时,函数 y ? f [ f ( x)] 在 R 上的零点个数是 1; 当 a ? 2 时,函数 y ? f [ f ( x)] 在 R 上的零点个数是 0.??????12 分

- 11 -


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