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2018高中数学北师大版必修五课件:1.3.3等比数列的前n项和_图文

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1.3.3等比数列的前n项和 1.掌握等比数列的前 n项和公式的推导方法. 2.应用等比数列的前 n项和公式解决有关等比数列的问 题. 3.会求等比数列的部分项之和. 印度的舍罕王打算奖赏发明国际象棋的大臣西萨?班? 达依尔,并问他想得到什么样的奖赏.大臣说:“陛下,请 您在这张棋盘的第一个小格内赏给我一粒麦子,在第二个 小格内给两粒,在第三个小格内给四粒,照这样下去,每一 小格内都比前一小格内的麦子数增加一倍,直到把每一小 格都摆上麦子为止,并把这样摆满棋盘上六十四格的麦子 赏给您的仆人.”国王认为这位大臣的要求不算多,就爽 快地答应了.国王能实现他的诺言吗? 问题1 等比数列的前n项和公式: 当q=1时,Sn= na1 ; 当q≠1时,Sn= = . 问题2 我们来帮国王计算下要多少粒麦子,把各格所放的麦 子数看成是一个数列{an},它是一个a1=1,q=2,n=64的 等比数列,问题转化为求数列{an}的前64项的和,可求 得Sn= 现不了这个诺言. = =264-1,而 264-1这个数很大,超过了1.84×1019,所以国王根本实 问题3 a1-a1qn na1 问题4 1 在等比数列{an}(n∈N+)中,若 a1=1,a4= ,则该数列的前 10 8 1 项和为( B ). A.21 24 B.2- 1 29 C.21 10 2 1 12 1 3 210 a 1 a1 8 D.2- 1 1 2 211 【解析】设数列{an}的公比为 q,则 q = 4 = ,∴q= , ∴数列{an}的前 10 项和为 2 1-( ) =2- 9 . 2 1 等比数列的前 4 项和为 1,前 8 项和为 17,则这个等比数 列的公比 q 等于( C ). A.2 B.-2 C.2 或-2 D.2 或 1 S 8 -S 4 a 5 +a 6 +a 7 +a 8 4 【解析】 = =q ,所以 S4 a 1 +a 2 +a 3 +a 4 q=±2. 3 等比数列{an}的公比 q>0,已知 a2=1,an+2+an+1=6an,则{an} 的前 4 项和 S4= . 【解析】由 an+2+an+1=6an,得 q +q =6q ,即 q +q-6=0,解得 n+1 n n-1 2 q=2 或-3(舍去),又 a2=1,所以 a1= ,S4= 2 1 1 ( 1- 24 ) 2 1- 2 = . 2 15 4 求等比数列 1,2a,4a ,8a ,…的前 n 项和 Sn. 【解析】∵公比为 q=2a,当 q=1,即 a= 时,Sn=n; 2 1 2 3 当 q≠1,即 a≠ 时,则 Sn= 2 1 1-(2a ) 1-2a n . n,a = , ∴Sn= 1-(2a ) 1-2a n 1 2 ,a ≠ . 2 1 考查等比数列的前 n项和公式 设数列{an}是等比数列,其前 n 项和为 Sn,且 S3=3a3,求此数 列的公比 q. 【解析】当 q=1 时,S3=3a1=3a3,符合题目条件; 当 q≠1 时, 2 a 1 ( 1-q 3 ) 1- q =3a1q , 3 2 2 因为 a1≠0,所以 1-q =3q (1-q), 即 1+q+q =3q ,解得 q=- . 2 2 1 综上所述,公比 q 的值为 1 或- . 2 1 考查分组求和法 已知{an}是各项均为正数的等比数列,且 a1+a2=2(a +a )=8(a +a ). (1)求{an}的通项公式;(2)设 bn=a2 n +log2an,求数列{bn}的 前 n 项和 Tn. 【解析】(1)设等比数列{an}的公比为 q,则 an=a1q , 由已知得 a1+a2=2( + )= 由 1 1 2(a 1 +a 2 ) a1 a2 a1a2 1 1 8(a 3 +a 4 ) 8q 2 (a 1 +a 2 ) a1+a2=8( + )= = , a3 a4 a3a4 a3a4 2 n-1 1 1 1 1 1 2 3 4 ,∴a1a2=2, ∴a3a4=8q , a2 q = 2, a1 = 1, n-1 又∵a1>0,q>0,∴ 1 解得 ∴a n =2 . 3 q = 2, a2 1 q = 8, (2)由(1)知 bn=a2 n +log2an=4 +(n-1), 2 n-1 ∴Tn=(1+4+4 +…+4 )+(0+1+2+3+…+n n-1 1)= 4n -1 n (n -1) 4n -1 n (n -1) 4- 1 + 2 = 3 + 2 . 对变量的分类讨论 Sn 是无穷等比数列{an}的前 n 项和,且公比 q≠1,已知 1 是2 S2 和3 S3 的等差中项,6 是 2S2 和 3S3 的等比中项. (1)求 S2 和 S3; (2)求此数列{an}的前 n 项和公式. 1 1 1 【解析】(1)根据已知条件 2 S2 + S3 = 2, 3 1 2S2 × 3S3 = 36, 整理得 3S2 + 2S3 = 12, 3S2 × 2S3 = 36, S2 = 2, 解得 3S2=2S3=6,即 S3 = 3. a1 (1 + q) = 2, 1 (2)∵q≠1,则 可解得 q=,a1=4, 2 2 a1 (1 + q + q ) = 3, ∴Sn= 4[1-(- ) ] 8 8 2 1+ 1 2 1 n = - (- ) . 3 3 2 1 n 在等比数列{an}中,已知 S3= ,S6= ,求 an. 2 2 7 63 【解析】∵S6≠2S3,∴q≠1, a 1 ( 1- q 3 ) ∴ 1- q a 1 ( 1- q 6 ) 1- q = ,① = 1 2 2 63 2 3 7 ,② n-

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