nbhkdz.com冰点文库

2015-2016学年高中数学 2.3第1课时 离散型随机变量的数学期望课件 新人教B版选修2-3

时间:2015-12-18


第二章 概率

第二章
2.3
第1课时

随机变量的数字特征
离散型随机变量的数学期望

1

课前自主预习

2

课堂典例探究

3

课 时 作 业

课前自主预习

某书店订购一新版图书,根据以往经验预测,这种新书的 销售量为40,100,120 本的概率分别为 0.2,0.7,0.1,这种书每本的 进价为6元.销售价为8元,如果售不出去,以后处理剩余书每 本为5元. 为盈得最大利润,书店应订购多少本新书?

1.求离散型随机变量的分布列的步骤:

找出随机变量ξ的所有可能的取值xi(i=1,2,…,n) . (1)______________________________________________ 求出取每一个值的概率 P(ξ=xi)=pi (2)________________ ______________________________ . 列出表格 (3)______________ ____________________________.
2.离散型随机变量分布列的性质:

≥ (1)pi________0 ,i=1,2,3,?,n;

1 (2)p1+p2+?+pn=________.

一、离散型随机变量的数学期望

一般地,设一个离散型随机变量 X 所有可能取的值是 x1 ,
x2,?,xn,这些值对应的概率是p1,p2,?,pn,则称E(X)= x1p1 + x2p2 +?+ xnpn 叫做这个离散型随机变量 X 的均值或数学 期望(简称期望).它反映了离散型随机变量的平均取值水平. 在理解离散型随机变量的数学期望的概念时注意以下三

点:
(1) 数学期望 ( 均值) 的含义:数学期望 ( 均值) 是离散型随机 变量的一个特征数,反映了离散型随机变量取值的平均水平.

(2) 数学期望 ( 均值) 的来源:数学期望 ( 均值) 不是通过一次 或几次试验就可以得到的,而是在大量的重复试验中表现出来 的相对稳定的值. (3) 数学期望 ( 均值) 与平均数的区别:数学期望 ( 均值 ) 是概 率意义下的平均值,不同于相应数值的算术平均数.

已知随机变量 X 的分布列为: X P 则 E(X)等于( A.0 ) B.-1 1 C.-3 1 D.6 -1 1 2 0 1 3 1 1 6

[ 答案]
[ 解析]

C
1 1 1 1 由题意可知 E(X)=(-1)×2+0×3+1×6=-3.

二 离散型随机变量数学期望的性质
若 Y = aX + b ,其中 a , b 是常数, X 是随机变量,则 Y 也是 随机变量,且有E(aX+b)=aE(X)+b. 当b=0时,E(aX)=aE(X),此式表明常量与随机变量乘积 的数学期望,等于这个常量与随机变量的期望的乘积; 当a=1时,E(X+b)=E(X)+b,此式表明随机变量与常量 和的期望,等于随机变量的期望与这个常量的和; 当a=0时,E(b)=b,此式表明常量的期望等于这个常量.

上述公式证明如下: 如果 Y=aX+b,其中 a,b 为常数,那么 Y 也是随机变量. 因此 P(Y=axi+b)=P(X=xi),i=1,2,3,?,n,所以 Y 的 分布列为 Y P ax1+b p1 ax2+b p2 ? ? axn+b pn

有 E(Y) =(ax1 +b)p1 + (ax2 +b)p2 +?+(axn +b)pn =a(x1p1 +x2p2+?+xnpn)+b(p1+p2+?+pn)=aE(X)+b,即 E(aX+b) =aE(X)+b.

若X是一个随机变量,则E(X-E(X))的值为(
A.无法求 C.E(X) [答案] B
[ 解析]

)

B.0 D.2E(X)

只要认识到 E(X)是一个常数,则可直接运用均值

的性质求解. ∵E(aX+b)=aE(X)+b,而 E(X)为常数, ∴E(X-E(X))=E(X)-E(X)=0.

三、二点分布、二项分布及超几何分布的期望 (1)若随机变量 X 服从参数为 p 的二点分布, X P 1 p 0 1-p

则 E(X)=1×p+0×(1-p)=p. 这表明,在一次二点分布试验中,离散型随机变量 X 的数 学期望取值为 p.

(2)设离散型随机变量 X 服从于参数为 n 和 p 的二项分布,
k n-k 由 X 的分布列 P(X=k)=Ck p (k=0,1,2,?,n), n q 0 n 1 1 n-1 可知 X 的数学期望为 E(X)=0×C0 p q + 1 × C +?+ n np q k n k n n 0 n 1 k×Ck p q +?+ n × C p q = np ( p + q ) =np, n n
- -

所以在 X~B(n,p)时,E(X)=np. (3)若离散型随机变量 X 服从参数为 N,M,n 的超几何分 nM 布,则 E(X)= N .

某种种子每粒发芽的概率都为 0.9,现播种了1 000粒,对
于没有发芽的种子,每粒需再补种2粒,补种的种子数记为X, 则X的数学期望为( )

A.100
C.300 [答案] B

B.200
D.400

[ 解析]

本题以实际问题为背景,考查服从二项分布的事

件的数学期望等. 记“不发芽的种子数为 ξ”,则 ξ~B(1 000,0.1),所以 E(ξ) =1 000×0.1=100,而 X=2ξ,故 E(X)=E(2ξ)=2E(ξ)=200, 故选 B.

四、求离散型随机变量数学期望的方法
(1) 求离散型随机变量数学期望的关键在于写出它的分布 列,再代入公式E(X)=x1p1+x2p2+?+xnpn. (2) 从离散型随机变量数学期望的概念可以看出,要求期 望,必须求出相应取值及概率,列出分布列,再代入公式计 算.这就要求全面分析各个随机变量所包含的各种事件,并准 确判断各事件的相互关系,再由此求出各离散型随机变量相应 的概率.

(3)利用定义求离散型随机变量X的数学期望的步骤: ①理解随机变量X的意义,写出X可能取的全部值;②求X 取每个值的概率;③写出X的分布列;④由数学期望的定义求 出E(X). (4)如果随机变量服从二点分布、二项分布或超几何分布, 可直接代入公式求数学期望.

某大学志愿者协会有6名男同学,4名女同学.在这10名同 学中,3名同学来自数学学院,其余7名同学来自物理、化学等 其他互不相同的七个学院,现从这10 名同学中随机选取 3 名同 学,到希望小学进行支教活动 ( 每位同学被选到的可能性相

同).
(1)求选出的3名同学是来自互不相同学院的概率; (2)设X为选出的3名同学中女同学的人数,求随机变量X的 分布列和数学期望.

[ 解析] 事件 A,则

(1)设“选出的 3 名同学来自互不相同的学院”为

2 0 3 C1 · C + C 49 3 7 3C7 P(A)= =60. C3 10

49 所以,选出的 3 名同学是来自互不相同学院的概率为60. (2)随机变量 X 的所有可能值为 0,1,2,3.
k Ck C3 4· 6 P(X=k)= C3 (k=0、1、2、3).


10

所以,随机变量 X 的分布列是 X P 0 1 6 1 1 2 2 3 10 3 1 30

1 1 3 1 随机变量 X 的数学期望 E(X)=0×6+1×2+2×10+3×30 6 =5.

课堂典例探究

数学期望的求法 在10件产品中,有3件一等品、4件二等品、3件

三等品.从这10件产品中任取3件,求取出的3件产品中一等品
件数X的分布列和数学期望. [分析] 明确随机变量X的取值,计算每个取值的概率,然

后列其分布列,最后计算E(X).

[ 解析]

从 10 件产品中任取 3 件共有 C3 10种结果.从 10 件


3 k 产品中任取 3 件,其中恰有 k 件一等品的结果数为 Ck C 3 7 ,其

中 k=0,1,2,3.
3-k Ck C 3 7 ∴P(X=k)= C3 ,k=0,1,2,3. 10

所以随机变量 X 的分布列为: X P 0 7 24 1 21 40 2 7 40 3 1 120

7 21 7 1 9 ∴E(X)=0×24+1×40+2×40+3×120=10.

[ 方法总结]

求离散型随机变量 X 的数学期望步骤:

1.理解 X 的实际意义,并写出 X 的全部取值; 2.求出 X 的每个值的概率; 3.写出 X 的分布列(有时也可省略); 4.利用定义公式 E(X)=x1p1+x2p2+?+xnpn,求出数学期 望. 其中第 1、2 步是解答此类题目的关键.

若对于某个数学问题,甲、乙两人都在研究,甲解出该题 2 4 的概率为3,乙解出该题的概率为5,设解出该题的人数为 X, 求 E(X).

[ 解析]

记“甲解出该题”为事件 A, “乙解出该题”为事

件 B,X 可能取值为 0,1,2.
? 2?? 4? 1 P(X=0)=P( A )P( B )=?1-3??1-5?=15, ? ?? ?

P(X=1)=P(A· B )+P( A · B) =P(A)P( B )+P( A )P(B) 2 ? 4? ? 2? 4 2 ?1- ?+?1- ?·= , =3· 5? ? 3? 5 5 ? 24 8 P(X=2)=P(A)P(B)=3· 5=15.

所以,X 的分布列为 X P 0 1 15 1 2 5 2 8 15

1 2 8 22 ∴E(X)=0×15+1×5+2×15=15.

两点分布的期望 在篮球比赛中,罚球命中 1 次得 1 分,不中得 0 分,如果某篮球运动员罚球的命中率为 0.7,那么他罚球 1次得

分X的期望是多少?
[分析] [ 解析 ] 首先写出X的分布列,罚球一次可能命中,也可能 X 的分布列为: P(X = 1) = 0.7 , P(X = 0) = 0.3 , 明确了是两点分布后只要找出成功概率即 不中,故服从两点分布. ∴E(X)=1×0.7+0×0.3=0.7. [ 方法总结 ] 可.

设一随机试验的结果只有 A 和 A ,P(A)=p,令随机变量 X
? ?1,A出现 =? ? ?0,A不出现

,则 X 的期望为(

)

A.p C.p(1-p)
[答案] A

B.1-p D.0

二项分布的期望

设某射手每次射击击中目标的概率是 0.8,现在
他连续射击6次,求击中目标次数的期望. [分析]
[ 解析]

这是一个独立重复试验问题,其击中目标的次数ξ
设击中目标的次数为 ξ,依题意 ξ~B(6,0.8),所

的概率分布属于二项分布,可直接由二项分布的期望得出.
以 E(ξ)=6×0.8=4.8. 即击中目标次数的期望是 4.8 次.

[ 方法总结]

确定分布列的类型非常重要,其中二项分布

对应独立重复试验,这一点是我们判断一个分布列是否为二项 分布的标准.

1 某班有4的学生成绩优秀,如果从班中随机地找出 5 名学 1 生,那么其中成绩优秀的学生数 X~B(5,4),则 E(X)的值为 ( ) 1 A.4 1 B.-4 5 C.4 5 D.-4

[答案] C
[ 解析] 1 5 E(X)=5×4=4.故选 C.

离散型随机变量的均值的性质

1 (1)设随机变量 X 的分布列为 P(X=k)=6(k=1、 2、3、4、5、6),求 E(2X+3); 1 (2)设随机变量 X 的分布列为 P(X=k)=n(k=1、2、?、n), 求 E(X).

[ 分析]

利用离散型随机变量的均值概念与性质解题.

[ 解析]

1 1 1 (1)E(X)=1×6+2×6+?+6×6=3.5,

∴E(2X+3)=2E(X)+3=2×3.5+3=10. 1 1 n?n+1? n+1 (2)E(X)=n(1+2+?+n)=n· 2 = 2 .

[方法总结]

求期望的关键是求出分布列,只要随机变量

的分布列求出,就可以套用期望的公式求解.对于aX+b型随
机变量的期望,可以利用期望的性质求解,当然也可以先求出 aX+b的分布列,再用定义求解.

设离散型随机变量 X 的分布列为 X P 0 0.2 1 0.1 2 0.1 3 0.3 4 m

求:(1)2X+1 的分布列; (2)|X-1|的分布列.

[ 解析]

由分布列的性质知:

0.2+0.1+0.1+0.3+m=1. ∴m=0.3. 首先列表为: X 2X+1 |X-1| 0 1 1 1 3 0 2 5 1 3 7 2 4 9 3

从而由上表得两个分布列为: (1)2X+1 的分布列: 2X+1 P 1 0.2 3 0.1 5 0.1 7 0.3 9 0.3

(2)|X-1|的分布列: |X-1| P 0 0.1 1 0.3 2 0.3 3 0.3

对随机变量ξ,若E(ξ)=3,求E(3ξ+2). [错解] E(3ξ+2)=3E(ξ)=9. [辨析] E(aξ+b)=aE(ξ)+b. [正解] E(3ξ+2)=3E(ξ)+2=9+2=11.

离散型随?离散型随机变量的数学期望?理解? ? 机变量的?离散型随机变量的数学期望的性质?理解? 数学期望? ?二点分布、二项分布及超几何分布的期望?理解?


赞助商链接

...3高中数学2.3.1《离散型随机变量的数学期望》word教...

人教B版选修2-3高中数学2.3.1离散型随机变量的数学期望》word教案1_数学_高中教育_教育专区。2.3.1 离散型随机变量的期望 教学目标: 知识与技能:了解离散...

...选修2-3教学案-离散型随机变量的数学期望(可直接打...

【最新】2018-2019学年度人教B版高中数学-选修2-3教学案-离散型随机变量的数学期望(可直接打印) - 2.3 随机变量的数字特征 2.3.1 离散型随机变量的数学期望...

选修2-3 2.1离散型随机变量

选修2-3 2.1离散型随机变量 - 数学选修 2-3 第二第一离散型随机变量及其分布列 1 下列是 4 个关于离散型随机变量 ξ 的期望和方差的描述 ①Eξ ...

高中数学选修2-3教案2.3.1 离散型随机变量的数学期望

高中数学选修2-3教案2.3.1 离散型随机变量的数学期望_数学_高中教育_教育专区。语文数学英语,全册上册下册,期中考试,期末考试,模拟考试,单元测试,练习说课稿,...

...版高中数学选修2-3《离散型随机变量的数学期望》课...

最新人教版高中数学选修2-3离散型随机变量的数学期望》课后导练 - 课后导练 基础达标 1.设导弹发射的事故率为 0.01,若发射 10 次,其出事故的次数为 X,则...

...A版选修2-3教案 2.3.1 离散型随机变量的数学期望

2014年人教A版选修2-3教案 2.3.1 离散型随机变量的数学期望_数学_高中教育_...新授课 课时安排:2 课时 教 教学过程:、复习引入:王新敞奎屯 新疆 王新敞...

数学选修2-3知识点总结

数学选修2-3知识点总结_高三数学_数学_高中教育_教育专区。第二章 概率一、知识结构 总结超几何分布 离散型随机变量 项分布 随机变量 离散型随机变量的数字特征...

...版高中数学选修2-3《离散型随机变量的数学期望》课...

最新人教版高中数学选修2-3离散型随机变量的数学期望》课堂探究 - 课堂探究 核心解读 1.离散型随机变量的期望有哪些性质? 剖析:若 X、Y 是两个随机变量,且 ...

...3人教A教案导学案2.3.1离散型随机变量的期望

高中数学选修2-3人教A教案导学案2.3.1离散型随机变量的期望_数学_高中教育_...即:离散型随机变量的数学期望即为随机变量取值与相应概率分别相乘后相加。 即学...

高考数学离散型随机变量的期望与方差解答题

2.离散型随机变量的分布列从整体上全面描述了随机变量的统计规律。 3.离散型随机变量的数学期望刻画的是离散型随机变量所取的平均值,是描 述随机变量集中趋势的...

更多相关标签