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2019高中数学人教a版必修4讲义:第二章 2.2 2.2.1 向量加法运算及其几何意义 含答案

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平面向量的线性运算 2.2.1 向量加法运算及其几何意义 预习课本 P80~83,思考并完成以下问题 (1)向量的加法如何定义? (2)在求两向量和的运算时,通常使用哪两个法则? (3)向量加法的运算律有哪两条? (4)|a+b|,|a|+|b|,|a|-|b|三者之间的大小有何关系? [新知初探] 1.向量加法的定义及运算法则 定义 求两个向量和的运算,叫做向量的加法 前 提 作 三法 法则 角形 法则 论 已知非零向量 a,b ???? ???? 在平面内任取一点 A,作 AB =a, BC =b,再作 ???? 向量 AC ???? ???? 向量 AC 叫做 a 与 b 的和, 记作 a+b, 即 a+b= AB 结 ???? ???? + BC = AC 图 形 前 提 平 法则 行四 边形 法则 论 图 形 法 作 已知不共线的两个向量 a,b 在平面内任取一点 O, 以同一点 O 为起点的两个已 知向量 a,b 为邻边作?OACB 结 ???? 对角线 OC 就是 a 与 b 的和 规定 2.向量加法的运算律 运 算 律 [小试身手] 交换律 结合律 零向量与任一向量 a 的和都有 a+0=0+a=a. a+b=b+a (a+b)+c=a+(b+c) 1.判断下列命题是否正确.(正确的打“√”,错误的打“×”) (1)两个向量相加结果可能是一个数量.( ) ) ) (2)两个向量相加实际上就是两个向量的模相加.( (3)任意两个向量的和向量不可能与这两个向量共线.( 答案:(1)× (2)× (3)× ???? 2.对任意四边形 ABCD,下列式子中不等于 BC 的是( ??? ? ???? ???? ??? ? ???? A. BA + AC B. BD + DA + AC ???? ??? ???? ???? ???? ? ???? C. AB + BD + DC D. DC + BA + AD 答案:C ???? ???? 3.边长为 1 的正方形 ABCD 中,| AB + BC |=( ) ) A.2 C.1 B. 2 D.2 2 答案:B ? ???? ??? ? ????? ???? 4. NQ + QP + MN + PM =______. 答案:0 向量加法及其几 何意义 [典例] 如图 1,图 2,图 3 所示,求作向量和. [解] 如图中①,②所示, ??? ? ??? ? 首先作 OA =a,然后作 AB=b,则 OB =a+b. ???? ? ? ? ? ??? ? ???? 如图③所示, 作 AB =a,BC =b, 则 AC =a+b, 再作 CD = ? ???? ???? ??? ???? c,则 AD = AC + CD =(a+b)+c,即 AD =a+b+c. 应用三角形法则和平行四边形法则应注意的问题 (1)三角形法则可以推广到 n 个向量求和,作图时要求“首尾相连”,即 n 个首尾相连的向量的和对应的向量是第一个向量的起点指向第 n 个向量的终点 的向量. (2)平行四边形法则只适用于不共线的向量求和,作图时要求两个向量的起 点重合. (3)求作三个或三个以上的向量和时,用三角形法则更简单. [活学活用] 如图,已知 a,b,c,求作向量 a+b+c. ??? ? ???? ???? 解:作法:在平面内任取一点 O,如图所示,作 OA =a, AB =b, BC =c, ???? 则 OC =a+b+c. 向量加法 运算 [例 2] 化简或计算: ??? ? ???? ???? (1) CD + BC + AB ; ? ???? ??? ???? ???? ??? ? (2) AB + DF + CD + BC + FA . ??? ? ???? ???? ??? ? ???? ??? ? ???? ???? ???? [解] (1) CD + BC + AB =( AB + BC )+ CD = AC + CD = AD . ? ???? ??? ???? ???? ??? ? (2) AB + DF + CD + BC + FA ??? ? ???? ???? ???? ??? ? =( AB + BC )+( CD + DF )+ FA ???? ???? ??? ? ???? ??? ? = AC + CF + FA = AF + FA =0. 解决向量加法运算时应关注两点 (1)可以利用向量的几何表示,画出图形进行化简或计算. (2)要灵活应用向量加法运算律,注意各向量的起、终点及向量起、终点字 母的排列顺序,特别注意勿将 0 写成 0. [活学活用] 如图,在正六边形 ABCDEF 中,O 是其中心. ? ???? ??? 则① AB + CD =________; ???? ???? ???? ② AB + AF + BC =________; ???? ???? ???? ③ OC + OD + EF =________. ? ???? ???? ???? ???? ??? 解析:① AB + CD = AB + AF = AO . ???? ???? ???? ???? ???? ???? ???? ???? ② AB + AF + BC = AO + BC = AO + OD = AD . ???? ???? ???? ???? ???? ??? ? ???? ③ OC + OD + EF = OC + OD + OA = OC . ???? ???? ???? 答案:① AO ② AD ③ OC 层级一 学业水平达标 ) 1.下列等式错误的是( A.a+0=0+a=a ???? ??? ? C. AB + BA =0 ???? ???? ???? B. AB + BC + AC =0 ??? ? ???? ??? ? ??? ? ???? D. CA + AC =

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