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人教A版高一数学同步课件:1-3-1-2函数的最值(新人教A版必修1)_图文

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第2课时 函数的最值 ? ? ? ? ? ? 【课标要求】 1.理解函数的最大(小)值及其几何意义. 2.会求一些简单函数的最大值或最小值. 【核心扫描】 1.利用单调性求函数的最值.(重点) 2.函数最值的实际应用.(难点) ? 新知导学 ? 1.函数的最大值、最小值 ? 温馨提示:定义中M首先是一个函数值,它 是值域中的一个元素. ? 2.若函数f(x)在区间[a,b]上单调,且f(x) 的图象连续不间断,则函数 f(x)的最值必在 区间端点 处取得. ? ? ? ? ? 互动探究 探究点1函数f(x)=x2≥-1总成立,f(x)的最 小值是-1吗? 提示 不是.因为对x∈R,找不到使f(x)= -1成立的实数x. 探究点2函数最大值或最小值的几何意义是 什么? 提示 函数的最大值或最小值是函数的整 体性质,从图象上看,函数的最大值或最 小值是图象最高点或最低点的纵坐标. ? 探究点3函数的值域与最值有什么不同? ? 提示 (1) 函数的值域是一个集合,函数的 最值是一个函数值,它是值域的一个元素, 即定义域中一定存在一个x0,使f(x0)=M(最 值 ). ? (2)函数的值域一定存在,但函数并不一定 有最大(小)值,如y=x在x∈(-1,1)时无最 值. ? 类型一 利用图象求函数的最值 ? 【例1】已知函数f(x)=求f(x)的最大值、最 小值. ? [ 思路探索 ] 可先画出 f ( x ) 的图象,观察图 象的最高与最低点,从而确定最大、最小 值. 解 作出函数f(x)的图象(如图). 由图象可知,当x=± 1时,f(x)取 最大值为f(± 1)=1.当x=0时,f(x)取 最小值f(0)=0, 故f(x)的最大值为1,最小值为0. [ 规律方法 ] 1. 分段函数的最大值为各段上最 大值的最大者,最小值为各段上最小值的最小 者,故求分段函数的最大或最小值,应先求各 段上的最值,再比较即得函数的最大、最小 值. ? 2.如果函数的图象容易作出,画出分段函数 的图象,观察图象的最高点与最低点,并求其 ? ? ? ? ? ? 【活学活用 1】 求函数 y=|x+1|-|x-2|的最大值和最小值. 解 y=f(x)=|x+1|-|x-2| ?3,x≥2, ? =?2x-1,-1<x<2, ?-3,x≤-1. ? 作出函数的图象(如图),由图可知,y∈[-3,3]. 所以函数的最大值为 3,最小值为-3. 类型二 利用单调性求函数的最值 x-1 【例 2】 (2013· 包头高一检测)已知函数 f(x)= ,x∈[3,5]. x+2 (1)判断函数 f(x)的单调性并证明; (2)求函数 f(x)的最大值和最小值. [思路探索] 用定义证明单调性 → 借助单调性求最值 解 (1)任取 x1,x2∈[3,5]且 x1<x2,则 x1-1 x2-1 f(x1)-f(x2)= - x1+2 x2+2 ?x1-1??x2+2?-?x2-1??x1+2? = ?x1+2??x2+2? x1x2+2x1-x2-2-x1x2-2x2+x1+2 = ?x1+2??x2+2? 3?x1-x2? = . ?x1+2??x2+2? ∵x1,x2∈[3,5]且 x1<x2, ∴x1-x2<0,x1+2>0,x2+2>0. ∴f(x1)-f(x2)<0,∴f(x1)<f(x2), x-1 ∴函数 f(x)= 在[3,5]上为增函数. x+2 2 (2)由(1)知,当 x=3 时,函数 f(x)取得最小值为 f(3)= ;当 x 5 4 =5 时,函数 f(x)取得最大值为 f(5)= . 7 ? [规律方法] 1.函数的最值与单调性的关系: ? (1) 若函数在闭区间 [ a , b ] 上是减函数,则 f ( x ) 在 [ a , b ] 上的最大值为 f ( a ) ,最小值为 f(b); ? (2) 若函数在闭区间 [ a , b ] 上是增函数,则 f ( x ) 在 [ a , b ] 上的最大值为 f ( b ) ,最小值为 f(a). ? 2.利用函数的单调性求最值,要熟练掌握 一些常见函数的基本性质. x2+2x+3 【活学活用 2】 已知函数 f(x)= (x∈[2,+∞)), x (1)求 f(x)的最小值; (2)若 f(x)>a 恒成立,求 a 的取值范围. 解 (1)任取 x1,x2∈[2,+∞), 3 且 x1<x2,f(x)=x+x+2. 则 ? 3 ? f(x1)-f(x2)=(x1-x2)?1-x x ?,∵x1<x2, ? 1 2? ∴x1-x2<0,又∵x1≥2,x2>2, 3 ∴x1x2>4,1- >0, x1x2 ∴f(x1)-f(x2)<0,即 f(x1)<f(x2). 故 f(x)在[2,+∞)上是增函数, 11 ∴当 x=2 时,f(x)有最小值,即 f(2)= . 2 11 (2)∵f(x)的最小值为 f(2)= , 2 11 ∴f(x)>a 恒成立,只须 f(x)min>a,即 a< . 2 类型三 函数最值的实际应用 【例 3】 某公司生产一种电子仪器的固定成本为 20 000 元, 每生产一台仪器需增加投入 100 元,已知总收益满足函数: 1 ? ?400x- x2,0≤x≤400, 2 R(x)=? 其中 x 是仪器的月产量. ? ?80 000,x>400. (1)将利润表示为月产量的函数 f(x); (2)当月产量为何值时,公司所获利润最大?最大利润为多少 元?(总收益=总成本+利润) [思路探索] 利用 先求出f?x? ― ― →分段函数求最值 解 (1)设月产量为 x 台,则总成本为 20 000+100x,从而 1 ? ?- x2+300x-20 000,0≤x≤400, f(x)=? 2 ? ?60 000-100x,x>400. (2)当 0≤x≤400

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