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定积分的概念导学案

时间:2014-08-08


《定积分的概念》导学案
【学习目标】 1.借助,了解定积分的概念; 2.能用定积分法求简单的定积分,理解掌握定积分的几何意义; 3. 用心学习概念,感受数学的美妙。 【重点难点】 重点:定积分的概念,定积分法求简单的定积分,定积分的几何意义。 难点:定积分的概念,定积分的几何意义。 【学法指导】 定积分的概念这一节的重点有两个:一是“以直代曲” “以不变代变”的思想方法;二是定积分 的概念、几何意义。对本节的考查集中体现在以下几个方面;类型 1:求曲边梯形的面积; 类型 2:汽车行驶路程;类型3:求函数的积分。 【知识链接】 1.回忆前面曲边梯形面积,变速运动的路程的解决方法,解决步骤: 。 2.对上面四个步骤进行分析,找出共同点: 都可以归结为: 3.公式: 1 ? 2 ? ? ? n ? n ( n ? 1) 4 【学习过程】 阅读教材 45 页,5 分钟时间,完成问题: 1.定积分的概念
3 3 3 2

1

2

a ? x0 ? x1 ? ? ? xi ?1 ? xi ①分割:如果函数 f ( x) 在区间 [a, b] 上连续,用分点 ? ? ? x n ? b 将区间 [a, b] 等分成 n 个小区间;
②近似代替:在每个小区间
n

? xi ?1 , xi ? 上任取一点 ?i ? i ? 1, 2,

, n?



③求和:

S n ? ? f (? i )?x ?
i ?1

④取极限:当 n ? ? 时,上述和式
b

S n 无限趋近于某个常数,这个常数叫做函数 f ( x) 在区
b

f ( x )dx f ( x )dx 间 [a, b] 上的定积分,记作 ?a ,即 ?a =
其中 f ( x) 叫做 做 , b 叫做 , x 叫做 , a 叫做 , f ( x)dx 叫做 。 , [ a, b] 叫

2. 概念辨析: (1)判断下面命题的真假,说明理由:



S n ? ? f (? i )?x
i ?1

n

就是定积分 ?

b

a

f ( x)dx



②定积分

?

b

a

f ( x)dx

是一个常数。
1 1

? f (t )dt ? ? 0 f ( x)dx 。 ③如果函数 y ? f ( x) 在区间 [0,1] 上连续,那么 0
思考 1:怎么求函数的定积分呢?你有什么解决的方法吗? 思考 2:我们学习了定积分的概念后,前面 1.5.1 节中曲边梯形的面积和 1.5.2 节中汽车在

0 ? t ? 1 这段时间内的路程都可以写成定积分的形式吗?
即: (1)曲边梯形的面积: S ? 变力做功: W ? 思考 3:曲边梯形的面积能表示函数的定积分吗?你能说说定积分的几何意义吗? (2)变速运动路程: S ?

? a , b? 上函数 f ( x) 如果在区间
【归纳小结】 【当堂训练】 例 1.计算定积分



,那么定积分 ? 。

b

a

f ( x )dx

表示直线

x ? a, x ? b(a ? b), y ? 0 和曲线 y ? f ( x) 围成的

?

2

1

( x ? 1)dx

变式训练 1:计算定积分

?5 0 ( 2 x ? 4) dx

变式训练 2:计算定积分 ? ? 2 ( x ? 1)dx
2

例 2.利用定积分的定义,计算

3 ?1 0 x dx 的值。

迎接挑战:例 3. 利用定积分的几何意义求 (1)
2 ?1 0 1 ? x dx



(2) ? ? 2
2

4 ? x 2 dx ;

【学习反思】通过本节课的学习,你有哪些收获? 【课后练习】1.下列等于 1 的定积分是( )

? 1 xdx A. 0
2. 若

?1 (x ? 1 )dx B. 0

? 1 1dx C. 0

D.

?1 0

1 dx 2

?1 ( 0 2 x ? k ) dx ? 2 ,则 k ? _____ ?b a kdx ? k (b ? a ) 。

3.用定积分的定义证明:

4.教材 50 页习题 1.5A 组 3,4


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