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江苏省盐城市亭湖区南洋中学2017届高三(上)第一次月考数学试卷(解析版).doc

时间:2017-04-04

2016-2017 学年江苏省盐城市亭湖区南洋中学高三(上)第 一次月考数学试卷 参考答案与试题解析
一、填空题:本大题共 14 小题,每小题 5 分,共计 70 分. 1. (2016 秋?亭湖区校级月考)已知集合 A={0,2},B={1,2,3},则 A∩B= {2} . 【考点】交集及其运算. 【专题】集合思想;转化法;集合. 【分析】根据集合交集的定义求出 A、B 的交集即可. 【解答】解:∵A={0,2},B={1,2,3}, ∴A∩B={2}, 故答案为:{2}. 【点评】本题考查了集合的交集的运算,熟练掌握交集的定义是解题的关键,本题是一道基 础题.

2. (2015 秋?山西校级期末)袋中共有 6 个除了颜色外完全相同的球,其中有 1 个红球,2 个白球和 3 个黑球,从袋中任取两球,两球颜色为一白一黑的概率等于 【考点】列举法计算基本事件数及事件发生的概率. 【专题】概率与统计. 【分析】从袋中任取两球,先利用组合数公式求出基本事件总数,再利用组合数公式求出两 球颜色为一白一黑包含的基本事件个数, 由此利用等可能事件概率计算公式能求出两球颜色 为一白一黑的概率. 【解答】解:袋中共有 6 个除了颜色外完全相同的球,其中有 1 个红球,2 个白球和 3 个黑 球,从袋中任取两球, 基本事件总数 n= =15, =6, .

两球颜色为一白一黑包含的基本事件个数 m= ∴两球颜色为一白一黑的概率 p= = = .

故答案为: . 【点评】本题考查概率的求法,是基础题,解题时要认真审题,注意等可能事件概率计算公 式的合理运用.

3. (2016 秋?亭湖区校级月考)复数 z= 【考点】复数求模. 【专题】转化思想;数系的扩充和复数.

的模是



【分析】利用复数的运算法则、模的计算公式即可得出. 【解答】解:复数 z= ∴|z|=|﹣1+i|= 故答案为: . = = . = =﹣1+i.

【点评】本题考查了复数的运算法则、模的计算公式,考查了推理能力与计算能力,属于基 础题.

4. (2012?湖北)一支田径运动队有男运动员 56 人,女运动员 42 人.现用分层抽样的方法 抽取若干人,若抽取的男运动员有 8 人,则抽取的女运动员有 6 人. 【考点】分层抽样方法. 【专题】计算题. 【分析】 设出抽到女运动员的人数, 根据分层抽样的特征列出方程可求出抽到女运动员的人 数. 【解答】解:设抽到女运动员的人数为 n 则 = 解得 n=6 故答案为:6 【点评】本题主要考查了分层抽样,解决分层抽样的问题,一般利用各层抽到的个体数与该 层的个体数的比等于样本容量与总体容量的比,属于基础题.

5. (2016?盐城一模)运行如图所示的伪代码,其结果为 17 .

【考点】伪代码. 【专题】计算题;对应思想;试验法;算法和程序框图. 【分析】根据伪代码所示的顺序,逐框分析程序中各变量、各语句的作用可知:该程序的作 用是累加并输出 S 的值. 【解答】解:根据伪代码所示的顺序, 逐框分析程序中各变量、各语句的作用可知: 该程序的作用是 累加并输出 S=1+1+3+5+7 的值, 所以 S=1+1+3+5+7=17. 故答案为:17. 【点评】本题主要考查了程序代码和循环结构,依次写出循环得到的 S,I 的值是解题的关 键,是基础题目.

6. (2016 秋?亭湖区校级月考)函数 f(x)=lg(x﹣1)+ +∞) . 【考点】函数的定义域及其求法. 【专题】函数思想;转化法;函数的性质及应用. 【分析】根据对数函数的性质求出函数的定义域即可. 【解答】解:由题意得: ,解得:x>1 或 x≠2, 故函数的定义域是(1,2)∪(2,+∞) , 故答案为: (1,2)∪(2,+∞)

的定义域是 (1,2)∪(2,

【点评】本题考查了求函数的定义域问题,考查对数函数的性质,是一道基础题.

7. (2015 秋?宝山区期末)已知{an}为等差数列,a1+a3+a5=105,a2+a4+a6=99,则 a20= 1 . 【考点】等差数列的性质. 【专题】方程思想. 【分析】利用等差数列的通项公式,结合已知条件列出关于 a1,d 的方程组,解出 a1,d, 即可求得 a20. 【解答】解:设{an}的公差为 d,首项为 a1,由题意得 ,解得 ∴a20=a1+19d=1. 故答案为 1. 【点评】本题主要考查了等差数列的通项公式 an=a1+(n﹣1)d,注意方程思想的应用,熟 练应用公式是解题的关键. ,

8. (2016?江苏二模)若 tanα= ,tan(α﹣β)=﹣ ,则 tan(β﹣2α)= ﹣ 【考点】两角和与差的正切函数. 【专题】计算题;转化思想;整体思想;综合法;三角函数的求值.



【分析】根据题意,先有诱导公式可得 tan(β﹣2α)=﹣tan(2α﹣β) ,进而结合正切的和角 公式可得 tan(β﹣2α)=﹣tan(2α﹣β)=﹣tan[(α﹣β)+α]=﹣ 代入数据计算可得答案. 【解答】解:根据题意,tan(β﹣2α)=﹣tan(2α﹣β)=﹣tan[(α﹣β)+α]=﹣ ,

=﹣

=﹣ ;

故答案为:﹣ . 【点评】本题考查正切的和差公式的运用,涉及诱导公式的运用,注意分析(β﹣2α)与 α 与(α﹣β)的关系.

9. (2016 秋?亭湖区校级月考)如图,正方体 ABCD﹣A1B1C1D1 的棱长为 1,P 是棱 BB1 的 中点,则四棱锥 P﹣AA1C1C 的体积为 .

【考点】棱柱、棱锥、棱台的体积. 【专题】数形结合;作差法;立体几何. 【分析】四棱锥 P﹣AA1C1C 的体积等于三棱柱的体积减去两个三棱锥的体积. 【解答】解:V VC﹣ABP=V ∴V 故答案为 . 【点评】本题考查了正方体的结构特征,棱锥的体积计算,属于基础题. = = S = . = V 正方体= , ?B1C1= = ,

10. (2012 秋?连云港期末)设实数 x,y 满足约束条件

,则 z= 的最小值为

. 【考点】简单线性规划. 【专题】不等式的解法及应用. 【分析】先根据约束条件画出可行域,设 z= 再利用 z 的几何意义求最值,只需求出何时 可行域内的点与点(0,0)连线的斜率的值最小,从而得到 z= 的最小值. 【解答】解:先根据约束条件画出可行域, 设 z=z= ,

将 z 的值转化可行域内的点与点(0,0)连线的斜率的值, 当 Q 点在可行域内的 A(3,1)时,z= 的最小值为 , 故答案为: .

【点评】 本题主要考查了用平面区域二元一次不等式组, 以及简单的转化思想和数形结合的 思想,属中档题.目标函数有唯一最优解是我们最常见的问题,这类问题一般要分三步:画 出可行域、求出关键点、定出最优解.

11. BC=2, (2016 春?连云港期中) 在 Rt△ABC 中, ∠C=90° , 点 D 满足 = .

, 则

【考点】平面向量数量积的运算. 【专题】转化思想;向量法;平面向量及应用. 【分析】运用向量的数量积的定义可得 ? =| |?| |cosA=AC2,再由向量的加减运算和

向量的平方即为模的平方,计算即可得到所求值. 【解答】解:在 Rt△ABC 中,BC=2,∠C=90° , ? 由 则 =( = ﹣
2

=|

|?|

|cosA=AC2,且 AB2﹣AC2=BC2=4, = )?( ﹣ +
2

,可得 =( ﹣

, ﹣ ) )

)?( ?



= =

2

﹣ =

2

+

2

= (

2



2



2

×4= .

故答案为: . 【点评】本题考查向量的数量积的定义和性质,主要是向量的平方即为模的平方,考查运算 求解能力,属于中档题.

12. (2014?镇江一模)已知正数 x,y 满足 x+2y=2,则 【考点】基本不等式. 【专题】不等式的解法及应用. 【分析】利用“乘 1 法”和基本不等式即可得出. 【解答】解:∵正数 x,y 满足 x+2y=2, ∴ x=4y= ∴ = 时取等号. 的最小值为 9. =

的最小值为 9 .

=9,当且仅当

故答案为:9. 【点评】本题考查了“乘 1 法”和基本不等式的性质,属于基础题.

13. (2015?大观区校级四模)已知函数 f(x)= ﹣m 有 3 个零点,则实数 m 的取值范围是 (0,1) . 【考点】函数的零点. 【专题】数形结合法. 【分析】先把原函数转化为函数 f(x)= 合图象进行求解. 【解答】解:函数 f(x)= =

,若函数 g(x)=f(x)

,再作出其图象,然后结



得到图象为:

又函数 g(x)=f(x)﹣m 有 3 个零点, 知 f(x)=m 有三个零点, 则实数 m 的取值范围是(0,1) . 故答案为: (0,1) . 【点评】本题考查函数的零点及其应用,解题时要注意数形结合思想的合理运用,

2 14. (2013 春?榆阳区校级期中)已知函数 f(x)= mx +lnx﹣2x 在定义域内是增函数,则

实数 m 的取值范围为 [1,+∞) . 【考点】函数的单调性与导数的关系. 【专题】导数的综合应用.
2 【分析】函数 f(x)= mx +lnx﹣2x 在定义域(x>0)内是增函数?



0?

对于任意 x>0.?

.利用导数即可得出.

f x) = mx2+lnx﹣2x 在定义域 【解答】 解: ∵函数 ( (x>0) 内是增函数, ∴

≥0,化为



令 g(x)=



=﹣

,解 g′(x)>0,得 0<x<1;解

g′(x)<0,得 x>1. 因此当 x=1 时,g(x)取得最大值,g(1)=1. ∴m≥1. 故答案为[1,+∞) . 【点评】正确把问题等价转化、利用导数研究函数的单调性、极值与最值是解题的关键.

二、解答题:本大题共 6 小题,共计 90 分.解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15. (14 分) (2016 秋?亭湖区校级月考)已知函数 f(x)=sin(2x+ (1)求函数 f(x)的最小正周期和单调递增区间; (2)当 x∈[﹣ , ]时,试求 f(x)的最值,并写出取得最值时自变量 x 的取值. )﹣ sin(2x﹣ )

【考点】三角函数中的恒等变换应用;正弦函数的图象. 【专题】整体思想;数形结合法;三角函数的图像与性质. 【分析】 (1)通过凑角,把公式化简,从而求单调区间; (2)整体思想求三角函数在闭区间 上的最值. 【解答】解: (1)由题意知,f(x)= f(x)的最小正周期为 T= 当﹣ 所以,f(x)的单增区间为[﹣ (2)∵x∈[﹣ 当 2x+ 当 2x+ = = , ],所以 =π. , , (k∈Z) . , =2sin ,

,即 x=﹣ ,即 x=

时,f(x)取得最大值 2; 时,f(x)取得最小值﹣ .

【点评】本题考查了三角函数的化简及单调区间和最值的求法,运用了整体的思想,属于中 档题.

16. (14 分) (2008?江苏)如图,在四面体 ABCD 中,CB=CD,AD⊥BD,点 E,F 分别是 AB,BD 的中点.求证: (1)直线 EF∥面 ACD; (2)平面 EFC⊥面 BCD.

【考点】直线与平面平行的判定;平面与平面垂直的判定. 【专题】证明题. 【分析】 (1)根据线面平行关系的判定定理,在面 ACD 内找一条直线和直线 EF 平行即可, 根据中位线可知 EF∥AD,EF?面 ACD,AD? 面 ACD,满足定理条件; (2)需在其中一个平面内找一条直线和另一个面垂直,由线面垂直推出面面垂直,根据线 面垂直的判定定理可知 BD⊥面 EFC,而 BD? 面 BCD,满足定理所需条件. 【解答】证明: (1)∵E,F 分别是 AB,BD 的中点. ∴EF 是△ABD 的中位线,∴EF∥AD, ∵EF?面 ACD,AD? 面 ACD,∴直线 EF∥面 ACD; (2)∵AD⊥BD,EF∥AD,∴EF⊥BD, ∵CB=CD,F 是 BD 的中点,∴CF⊥BD 又 EF∩CF=F,∴BD⊥面 EFC, ∵BD? 面 BCD,∴面 EFC⊥面 BCD 【点评】本题主要考查线面平行的判定定理,以及面面 垂直的判定定理.考查对基础知识 的综合应用能力和基本定理的掌握能力.

17. (15 分) (2013?绵阳二模)已知一家公司生产某种品牌服装的年固定成本为 10 万元, 每生产 1 千件需另投入 2.7 万元.设该公司一年内共生产该品牌服装 x 千件并全部销售完,

每千件的销售收入为 R(x)万元,且 R(x)=

(1)写出年利润 W(万元)关于年产量 x(千件)的函数解析式; (2)年产量为多少千件时,该公司在这一品牌服装的生产中所获得利润最大?(注:年利 润=年销售收入﹣年总成本) 【考点】分段函数的应用;函数的最值及其几何意义.

【专题】分类讨论. 【分析】 (1)由年利润 W=年产量 x×每千件的销售收入为 R(x)﹣成本,又由

, 且年固定成本为 10 万元, 每生产 1 千件需另投入 2.7

万元.我们易得年利润 W(万元)关于年产量 x(千件)的函数解析式; (2)由(1)的解析式,我们求出各段上的最大值,即利润的最大值,然后根据分段函数的 最大值是各段上最大值的最大者,即可得到结果. 【解答】解: (1)当 ;

当 x>10 时,W=xR(x)﹣(10+2.7x)=98﹣

﹣2.7x.

∴W=

(2)①当 0<x<10 时,由 W'=8.1﹣

=0,得 x=9,

且当 x∈(0,9)时,W'>0;当 x∈(9,10)时,W'<0, ∴当 x=9 时,W 取最大值,且 ②当 x>10 时, 当且仅当 即 x= 故当 x= , 时,W=38, 时,W 取最大值 38.

综合①②知当 x=9 时,W 取最大值 38.6 万元,故当年产量为 9 千件时,该公司在这一品牌 服装的生产中所获年利润最大. 【点评】本题考查的知识点是分段函数及函数的最值,分段函数分段处理,这是研究分段函 数图象和性质最核心的理念,具体做法是:分段函数的定义域、值域是各段上 x、y 取值范

围的并集,分段函数的奇偶性、单调性要在各段上分别论证;分段函数的最大值,是各段上 最大值中的最大者.

18. (15 分) (2012?福建)如图,椭圆 E:

的左焦点为 F1,右焦点

为 F2,离心率 e= .过 F1 的直线交椭圆于 A、B 两点,且△ABF2 的周长为 8. (Ⅰ)求椭圆 E 的方程. (Ⅱ)设动直线 l:y=kx+m 与椭圆 E 有且只有一个公共点 P,且与直线 x=4 相交于点 Q.试 探究:在坐标平面内是否存在定点 M,使得以 PQ 为直径的圆恒过点 M?若存在,求出点 M 的坐标;若不存在,说明理由.

【考点】直线与圆锥曲线的综合问题;椭圆的标准方程. 【专题】综合题;压轴题. 【分析】 (Ⅰ)根据过 F1 的直线交椭圆于 A、B 两点,且△ABF2 的周长为 8,可得 4a=8,
2 2 2 即 a=2,利用 e= ,b =a ﹣c =3,即可求得椭圆 E 的方程.

(Ⅱ)由

2 2 2 ,消元可得(4k +3)x +8kmx+4m ﹣12=0,利用动直线 l:y=kx+m

与椭圆 E 有且只有一个公共点 P(x0,y0) ,可得 m≠0,△=0,进而可得 P( 由 得 Q(4,4k+m) ,取 k=0,m= ;k=



) ,

,m=2,猜想满足条件的点 M 存在,

只能是 M(1,0) ,再进行证明即可. 【解答】解: (Ⅰ)∵过 F1 的直线交椭圆于 A、B 两点,且△ABF2 的周长为 8. ∴4a=8,∴a=2 ∵e= ,∴c=1

∴b2=a2﹣c2=3 ∴椭圆 E 的方程为 .

(Ⅱ)由

2 2 2 ,消元可得(4k +3)x +8kmx+4m ﹣12=0

∵动直线 l:y=kx+m 与椭圆 E 有且只有一个公共点 P(x0,y0) ∴m≠0,△=0,∴(8km)2﹣4×(4k2+3)×(4m2﹣12)=0 ∴4k2﹣m2+3=0① 此时 x0= = ,y0= ,即 P( , )

由 取 k=0,m=
2

得 Q(4,4k+m) ,此时 P(0, ) ,Q(4,
2 ) ,以 PQ 为直径的圆为(x﹣2) +(y﹣



=4,交 x 轴于点 M1(1,0)或 M2(3,0)
2 ,m=2,此时 P(1, ) ,Q(4,0) ,以 PQ 为直径的圆为(x﹣ ) +(y﹣ )

取 k=
2

=

,交 x 轴于点 M3(1,0)或 M4(4,0)

故若满足条件的点 M 存在,只能是 M(1,0) ,证明如下 ∵ ∴ 故以 PQ 为直径的圆恒过 x 轴上的定点 M(1,0)

方法二: 假设平面内存在定点 M 满足条件,因为对于任意以 PQ 为直径的圆恒过定点 M,所以当 PQ 平行于 x 轴时,圆也过定点 M,即此时 P 点坐标为(0, )或(0,﹣ ) ,由图形对称 ? =0 对满

性知两个圆在 x 轴上过相同的交点,即点 M 必在 x 轴上.设 M(x1,0) ,则 足①式的 m,k 恒成立. 因为 =(﹣ ﹣x1, ) ,

=(4﹣x1,4k+m) ,由

?

=0 得﹣

+

2 ﹣4x1+x1 +

+3=0,

2 整理得(4x1﹣4) +x1 ﹣4x1+3=0.②

由于②式对满足①式的 m,k 恒成立,所以 故存在定点 M(1,0) ,使得以 PQ 为直径的圆恒过点 M.

,解得 x1=1.

【点评】本题主要考查抛物线的定义域性质、圆的性质、直线与圆锥曲线的位置关系,考查 运算能力,考查化归思想,属于中档题.

19. (16 分) (2016 秋?亭湖区校级月考)已知函数 f(x)=lnx﹣ax, (1)当 a=1 时,求函数 f(x)在 x=e 处的切线方程; (2)当 a=2 时,求函数 f(x)的极值; (3)求函数 f(x) 在[1,e]上 的最大值. 【考点】利用导数求闭区间上函数的最值;利用导数研究函数的极值;利用导数研究曲线上 某点切线方程. 【专题】函数思想;转化法;导数的概念及应用. 【分析】 (1)求出函数的导数,计算 f(e) ,f′(e)的值,从而求出切线方程即可; (2)求出函数的导数,解关于导函数的不等式,求出函数的单调区间,从而求出函数的极 大值即可; (3)求出导数,讨论 m 的范围,当 m≤0 时,当 m>0 时,令导数大于 0,得增区间,令 导数小于 0,得减区间,从而求出函数的最大值即可; 【解答】解: (1)a=1 时,f(x)=lnx﹣x,f′(x)= ﹣1, f(e)=1﹣e,f′(e)= ﹣1, 故切线方程是:y﹣1+e=( ﹣1) (x﹣e) , 即 y=( ﹣1)x;

(2)a=2 时,f(x)=lnx﹣2x, (x>0) , f′(x)= ﹣2= ,

令 f′(x)>0,解得:0<x< , 令 f′(x)<0,解得:x> , 故 f(x)在(0, )递增,在( ,+∞)递减, 故 f(x)极大值=f( )=﹣1﹣ln2; (3)∵f′(x)= ﹣a, (x>0) , 当 a≤0 时,f'(x)>0 恒成立, 则单调递增区间为(0,+∞) ,无单调减区间; 故 f(x)在[1,e]上单调递增, fmax(x)=f(e)=lne﹣me=1﹣ae, 当 a>0 时,由 f′(x)>0 得 0<x< , 由 f′(x)<0,得 x> , ∴f(x)在(0, )递增,在( ,+∞)递减, ①若 0< ≤1,即 m≥1 时,fmax(x)=f(1)=﹣m, ②若 1< <e,即 <a<1 时,fmax(x)=f( )=ln ﹣1=﹣lna﹣1, ③若 ≥e,即 a≤ 时,fmax(x)=f(e)=lne﹣ae=1﹣ae, 综上:当 a≤ ,fmax(x)=1﹣ae, <a<1 时,fmax(x)=﹣lna﹣1, a≥1 时,fmax(x)=f(1)=﹣a. 【点评】本题考查导数的运用:求切线方程和单调区间、极值和最值,主要考查导数的几何 意义和函数的单调性的运用,运用分类讨论的思想方法是解题的关键.

20. (16 分) (2016 春?靖江市校级期中)已知数列{an}中,a1=2,a2=3,其前 n 项和 Sn 满足 Sn+1+Sn﹣1=2Sn+1,其中 n≥2,n∈N*. (Ⅰ)求证:数列{an}为等差数列,并求其通项公式; (Ⅱ)设 bn=an?2 n,Tn 为数列{bn}的前 n 项和.


①求 Tn 的表达式; ②求使 Tn>2 的 n 的取值范围.

【考点】数列的求和;等差数列的通项公式. 【专题】综合题;综合法;等差数列与等比数列. 【分析】 (Ⅰ)把 Sn+1+Sn﹣1=2Sn+1 整理为: (sn+1﹣sn)﹣(sn﹣sn﹣1)=1,即 an+1﹣an=1 可说明数列{an}为等差数列;再结合其首项和公差即可求出{an}的通项公式; (Ⅱ)因为数列{bn}的通项公式为一等差数列乘一等比数列组合而成的新数列,故直接利用 错位相减法求和即可 【解答】解: (1)∵数列{an}中,a1=2,a2=3,其前 n 项和 Sn 满足 Sn+1+Sn﹣1=2Sn+1,其中 n ≥2,n∈N*, ∴(Sn+1﹣Sn)﹣(Sn﹣Sn﹣1)=1(n≥2,n∈N*, ) , ∴a2﹣a1=1, ∴数列{an}是以 a1=2 为首项,公差为 1 的等差数列, ∴an=n+1; (2)∵an=n+1; ∴bn=an?2 n=(n+1)2 n,
﹣ ﹣



∴Tn=2× +3×

+…+n

+(n+1)

…(1)

=2×

+3×

+…+n

+(n+1)

…(2)

(1)﹣(2)得: Tn=1+

+…+

﹣(n+1)



∴Tn=3﹣



代入不等式得:3﹣

>2,即



设 f(n)=

﹣1,f(n+1)﹣f(n)=﹣

<0,

∴f(n)在 N+上单调递减, ∵f(1)=1>0,f(2)= >0,f(3)=﹣ <0, ∴当 n=1,n=2 时,f(n)>0;当 n≥3,f(n)<0,

所以 n 的取值范围为 n≥3,且 n∈N*. 【点评】 本题主要考查等差关系的确定以及利用错位相减法求数列的和. 错位相减法适用于 一等差数列乘一等比数列组合而成的新数列


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