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2013年北京市石景山一模高三数学试题(理)及其答案 2

时间:2013-08-27


北京市 2013 年石景山区高三统一测试数学(理科)
1.设集合 M ? {x | x ? 4} , N ? {x | log 2 x ? 1} ,则 M ? N 等于(
2



A. ? ?2,2?
2

B. ?2?

+? C. ? 2, ?

+ D. ? ?2, ? ?


2.若复数 (a - i ) 在复平面内对应的点在 y 轴负半轴上,则实数 a 的值是( A. 1 B. ? 1 C. 2 D. ?

2
?

3.将一颗骰子掷两次,观察出现的点数,并记第一次出现的点数为 m,第二次出现的点数为 n.向量 p =(m,n),

? ? ? q =(3,6),则向量 p 与 q 共线的概率为 (
[

) C. )

A.

1 3

B.

1 4

1 6

D.

1 12

4.执行右面的框图,输出的结果 s 的值为( A. ?3 C. ? B. 2 D.

1 2

1 3

5.如图,直线 AM 与圆相切于点 M,ABC 与 ADE 是

圆 的 两 条 割 线 , 且

BD ? AD ,连接
MD、EC. 则下面结论中,错误的结论是( .. A. ?ECA ? 90? C. AM 2 ? AD ? AE ) M E A B C

B. ?CEM ? ?DMA ? ?DBA D. AD ? DE ? AB ? BC ) D

6.在 (2 x 2 ? )5 的二项展开式中, x 的系数为( A. ?10 C. ? 40 B. 10 D. 40
2

1 x

7.对于直线 l : y ? k ( x ? 1) 与抛物线 C : y ? 4 x , k ? ?1 是直线 l 与抛物线 C 有唯一交点的( A. 充分不必要 B. 必要不充分 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要

)条件

8.若直角坐标平面内的两点 P、Q 满足条件:
高三数学试卷(理科)第 1 页(共 4 页)

①P、Q 都在函数 y ? f (x) 的图像上;②P、Q 关于原点对称. 则称点对[P, Q]是函数 y ? f (x) 的一对“友好点对” (注:点对[P, Q]与[Q , P]看作同一对“友好点对” ). 已知函数 f ( x) ? ? A. 0 B. 1

?log 2 x( x ? 0)
2 ?? x ? 4 x( x ? 0)

,则此函数的“友好点对”有( D. 3 . .

)对

C. 2

9.直线 2 ? sin ? =1 与圆 ? =2cos ? 相交弦的长度为 10.在△ ABC 中,若 ?B ?

π , b ? 2a ,则 ?C ? 4

11. 在等差数列 an ? 中, a1 = -2013,其前 n 项和为 S n ,若 12.某四棱锥的三视图如图所示, 则最长的一条侧棱长度是 . 2

?

S12 S10 =2,则 S2 013 的值等于 ? 12 10



D
正(主)视图

F

C

3

侧(左)视图

2

2

3

E

2 A
俯视图

B

??? ??? ? ? ?? ?? ?? BC 13. 如图, 在矩形 ABCD 中,AB ? 2 , ? 2 ,点 E 为 BC 的中点, F 在边 CD 上, AB ? AF ? 2 , A B 点 若 则 E ?F
的值是 .

14.对于各数互不相等的整数数组 (i1 , i2 , i3 , ?, in ) (n 是不小于 3 的正整数) ,若对任意的 p, q ? {1,2,3, ?, n} ,当 . , p ? q 时有 i p ? iq ,则称 i p , iq 是该数组的一个“逆序” 一个数组中所有“逆序”的个数称为该数组的“逆序数” 如数组(2,3,1)的逆序数等于 2.则数组(5,2,4,3,1)的逆序数等于_________;若数组 (i1 , i2 , i3 , ?, in ) 的逆序数 为 n,则数组 (in , in ?1 , ?, i1 ) 的逆序数为_________. 15. (本小题满分 13 分)已知函数 f ( x ) ? sin(2 x ?

?
6

) ? cos 2 x . (Ⅰ)求函数 f ( x ) 的单调递增区间;
3 ? , a ? 2 , B ? ,求△ ABC 的 2 3

(Ⅱ)在△ ABC 中,内角 A、B、C 的对边分别为 a、b、c.已知 f ( A) ? 面积.

高三数学试卷(理科)第 2 页(共 4 页)

16.(本小题满分 13 分)PM2.5 是指大气中直径小于或等于 2.5 微米的颗粒物,也称为可入肺颗粒物. PM2.5 日均 值在 35 微克/立方米以下空气质量为一级;在 35 微克/立方米 ~ 75 微克/立方米之间空气质量为二级;在 75 微 克/立方米以上空气质量为超标. 石景山古城地区 2013 年 2 月 6 日至 15 日每天的 PM2.5 监测数据如茎叶图所示. (Ⅰ)小陈在此期间的某天曾经来此地旅游,求当天 PM2.5 日均监测数据未超标的概率; (Ⅱ) 小王在此期间也有两天经过此地, 这两天此地 PM2.5 监测数据均未超标.请计算出这两天空气质量恰好有 一天为一级的概率; (Ⅲ)从所给 10 天的数据中任意抽取三天数据,记 ? 表示抽到 PM2.5 监测数据超标的天数,求 ? 的分布列及 期望. PM2.5 日均值 (微克/立方米) 2 3 5 6 8 10 1 7 9 0 5 4 6

3 6 7

17 . (本小题满分 14 分)如图,在底面为直角梯形的四棱锥 P ? ABCD 中, AD // BC, ?ABC ? 90? , PD?平面

C? B? 3, B 4. D?1, A ABCD , A
(Ⅰ)求证: BD ? PC ; (Ⅱ)求直线 A B 与平面 PDC 所成的角;

P E A B D C
DE ∥平面 PAB ,

?? ? ? ?? ?? (Ⅲ)设点 E 在棱 PC 上, P ? P ,若 E ?C
求 ? 的值.

高三数学试卷(理科)第 3 页(共 4 页)

18. (本小题满分 13 分)已知函数 f ( x) ? ax ? 1 ? ln x , a ? R . (Ⅰ)讨论函数 f ( x) 的单调区间; (Ⅱ)若函数 f (x) 在 x ? 1处取得极值,对 ?x ? (0, ??) , f ( x) ? bx ? 2 恒成立,求实数 b 的取值范围.

19. (本小题满分 14 分)

设椭圆 C :

x2 y 2 ? ? 1(a ? b ? 0) 的左、右焦点分别为 F1 、F2 ,上顶点为 A ,在 x 轴 a 2 b2

负半轴上有一点 B ,满足 BF1 ? F1 F2 ,且 AB ? AF2 . (Ⅰ)求椭圆 C 的离心率; (Ⅱ)若过 A、B、F2 三点的圆与直线 l : x ? 3 y ? 3 ? 0 相切,求椭圆 C 的方程; (Ⅲ)在(Ⅱ)的条件下,过右焦点 F2 作斜率为 k 的直线 l 与椭圆 C 交于 M、N 两点,线段 MN 的中垂线与 x 轴相交于点 P(m,0) ,求实数 m 的取值范围. A y

????

???? ?

B

F1 O

F2

x

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