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2012年全国初中数学竞赛试题及答案

时间:2012-06-24


2012 年全国初中数学竞赛试题及答案

答题时注意: 1.用圆珠笔或钢笔作答; 2.解答书写时不要超过装订线; 3.草稿纸不上交. 一、选择题(共 5 小题,每小题 7 分,共 35 分. 每道小题均给出了代号为 A,B,C,D 的四个选项,其中有且只有一个选项是正确的. 请将正确选项的 代号填入题后的括号里,不填、多填或错填都得 0 分)

1(甲).如果实数 a,b,c 在数轴上的位置如图所示,那么代数式

可以化简为( ).

(第 1(甲)题) (A)2c?a (B)2a?2b (C)?a (D)a

1(乙).如果 (A) (B)

,那么 (C)2

的值为( ). (D)

2(甲).如果正比例函数 y = ax(a ≠ 0)与反比例函数 y =

(b ≠0 )的图象有两个交点,其中一个交点的坐标为(-3,-2),那么另一个交点的坐

标为( ). (A)(2,3) (B)(3,-2) (C)(-2,3) (D)(3,2)

2(乙). 在平面直角坐标系 (A)10 (B)9 (C)7

中,满足不等式 x2+y2≤2x+2y 的整数点坐标(x,y)的个数为( ). (D)5

3(甲).如果

为给定的实数,且

,那么

这四个数据的平均数与中位数之差的绝对值是( ).

(A)1

(B)

(C)

(D)

3(乙).如图,四边形 ABCD 中,AC,BD 是对角线,△ABC 是等边三角形. ( ).

,AD = 3,BD = 5,则 CD 的长为

(第 3(乙)题) (A) (B)4 (C) (D)4.5

4(甲).小倩和小玲每人都有若干面值为整数元的人民币.小倩对小玲说:“你若给我 2 元,我的钱数将是你的 n 倍”;小玲对小倩说:“你若给我 n 元,我的钱数将是你的 2 倍”,其中 n 为正整数,则 n 的可能值的个数是( ). (A)1 (B)2 (C)3 (D)4

4(乙).如果关于 x 的方程

是正整数)的正根小于 3, 那么这样的方程的个数是( ).

(A) 5

(B) 6

(C) 7

(D) 8

5(甲).一枚质地均匀的正方体骰子的六个面上的数字分别是 1,2,3,4,5,6.掷两次骰子,设其朝上的面上的两个数字之和除以 4 的余数分别是 0, 1,2,3 的概率为 (A) (B) ,则 (C) (D) 中最大的是( ).

5 (乙) 黑板上写有 . 则经过 99 次操作后,黑板上剩下的数是( (A)2012 (B)101 (C)100

共 100 个数字. 每次操作先从黑板上的数中选取 2 个数 ). (D)99

, 然后删去

, 并在黑板上写上数



二、填空题(共 5 小题,每小题 7 分,共 35 分) 6(甲).按如图的程序进行操作,规定:程序运行从“输入一个值 x”到“结果是否>487?”为一次操作. 如果操作进行四次才停止,那么 x 的取值范围 .



(第 6(甲)题)

6(乙). 如果 a,b,c 是正数,且满足



,那么

的值为



7(甲).如图,正方形 ABCD 的边长为 2

,E,F 分别是 AB,BC 的中点,AF 与 DE,DB 分别交于点 M,N,则△DMN 的面积是

.

(第 7(甲)题)

(第 7(乙)题)

7(乙).如图, 的值等于 .

的半径为 20,



上一点.以

为对角线作矩形

,且

.延长

,与

分别交于

两点,则

8(甲).如果关于 x 的方程 x2+kx+

k2-3k+

= 0 的两个实数根分别为



,那么

的值为



8(乙).设 为整数,且 1≤n≤2012. 若

能被 5 整除,则所有 的个数为

.

9(甲).2 位八年级同学和 m 位九年级同学一起参加象棋比赛,比赛为单循环,即所有参赛者彼此恰好比赛一场.记分规则是:每场比赛胜者得 3 分, 负者得 0 分;平局各得 1 分. 比赛结束后,所有同学的得分总和为 130 分,而且平局数不超过比赛局数的一半,则 m 的值为 .

9(乙).如果正数 x,y,z 可以是一个三角形的三边长,那么称 值范围是 .

是三角形数.若



均为三角形数,且 a≤b≤c,则 的取

10(甲).如图,四边形 ABCD 内接于⊙O,AB 是直径,AD = DC. 分别延长 BA,CD,交点为 E. 作 BF⊥EC,并与 EC 的延长线交于点 F. 若 AE = AO,BC = 6,则 CF 的长为 .

(第 10(甲)题)

10(乙).已知 是偶数,且 1≤ ≤100.若有唯一的正整数对 三、解答题(共 4 题,每题 20 分,共 80 分)

使得

成立,则这样的 的个数为



11(甲).已知二次函数

,当

时,恒有

;关于 x 的方程

的两个实数根的倒数和小



.求

的取值范围.

11(乙). 如图,在平面直角坐标系 xOy 中, AO = 8,AB = AC,sin∠ABC=



CD 与 y 轴交于点 E,且 S△COE = S△ADE. 已知经过 B,C,E 三点的图象是一条抛物线,求这条抛物线对应的二次函数的解析式.

(第 11(乙)题)

12(甲).如图, 且

的直径为



过点

,且与

内切于点 .





上的点,



交于点

,且

.点



上,

,BE 的延长线与

交于点

,求证:△BOC∽△

(第 12(甲)题) 12(乙).如图,⊙O 的内接四边形 ABCD 中,AC,BD 是它的对角线, AC 的中点 I 是△ABD 的内心. 求证: (1)OI 是△IBD 的外接圆的切线; (2)AB+AD = 2BD.

(第 12(乙)题) 13(甲).已知整数 a,b 满足:a-b 是素数,且 ab 是完全平方数. 当 a≥2012 时,求 a 的最小值.

13(乙).凸 边形中最多有多少个内角等于

?并说明理由

14(甲).求所有正整数 n,使得存在正整数

,满足

,且

.

14(乙).将 一、选择题 1(甲).C

(n≥2)任意分成两组,如果总可以在其中一组中找到数

(可以相同)使得

,求 的最小值.

2012 年全国初中数学竞赛试题(正题)参考答案

解:由实数 a,b,c 在数轴上的位置可知

,且



所以 1(乙).B



解:



2(甲).D

解:由题设知,



,所以

.

解方程组



所以另一个交点的坐标为(3,2). 注:利用正比例函数与反比例函数的图象及其对称性,可知两个交点关于原点对称,因此另一个交点的坐标为(3,2). 2(乙).B

解:由题设 x2+y2≤2x+2y, 得 0≤

≤2.

因为

均为整数,所以有

解得

以上共计 9 对

.

3(甲).D

解:由题设知,

,所以这四个数据的平均数为



中位数为



于是

.

3(乙).B 解:如图,以 CD 为边作等边△CDE,连接 AE.

(第 3(乙)题) 由于 AC = BC,CD = CE,

∠BCD=∠BCA+∠ACD=∠DCE+∠ACD =∠ACE, 所以△BCD≌△ACE, BD = AE.

又因为

,所以

.

在 Rt△

中,

于是 DE=

,所以 CD = DE = 4.

4(甲).D

解:设小倩所有的钱数为 x 元、小玲所有的钱数为 y 元,

均为非负整数. 由题设可得

消去 x 得

(2y-7)n = y+4,

2n =

.

因为 7. 4(乙).C

为正整数,所以 2y-7 的值分别为 1,3,5,15,所以 y 的值只能为 4,5,6,11.从而 n 的值分别为 8,3,2,1;x 的值分别为 14,7,6,

解:由一元二次方程根与系数关系知,两根的乘积为 ,即 题意. 5(甲).D . 由于 都是正整数,所以

,故方程的根为一正一负.由二次函数 ,1≤q≤5;或 ,1≤q≤2,此时都有

的图象知,当

时,

,所以 符合

. 于是共有 7 组

解:掷两次骰子,其朝上的面上的两个数字构成的有序数对共有 36 个,其和除以 4 的余数分别是 0,1,2,3 的有序数对有 9 个,8 个,9 个,10 个,所



,因此

最大.

5(乙).C

解:因为

,所以每次操作前和操作后,黑板上的每个数加 1 后的乘积不变.

设经过 99 次操作后黑板上剩下的数为 ,则



解得





二、填空题 6(甲).7<x≤19 解:前四次操作的结果分别为 3x-2,3(3x-2)-2 = 9x-8,3(9x-8)-2 = 27x-26,3(27x-26)-2 = 81x-80. 由已知得 27x-26≤487,

81x-80>487. 解得 7<x≤19.

容易验证,当 7<x≤19 时,

≤487

≤487,故 x 的取值范围是

7<x≤19. 6(乙).7 解:由已知可得



7(甲).8

解:连接 DF,记正方形

的边长为 2 . 由题设易知△

∽△

,所以



由此得

,所以

.

(第 7(甲)题)

在 Rt△ABF 中,因为

,所以



于是

.

由题设可知△ADE≌△BAF,所以



.

于是





.



,所以

.

因为

,所以

.

7(乙).

解:如图,设

的中点为

,连接

,则

.因为

,所以





(第 7(乙)题)

所以

.

8(甲).

解:根据题意,关于 x 的方程有

=k2-4 (k-3)2≤0.

≥0,

由此得

又(k-3)2≥0,所以(k-3)2=0,从而 k=3. 此时方程为 x2+3x+

=0,解得 x1=x2=

.



=

=



8(乙).1610

解:因为

=

=

.

当 被 5 除余数是 1 或 4 时,



能被 5 整除,则

能被 5 整除;

当 被 5 除余数是 2 或 3 时,

能被 5 整除,则

能被 5 整除;

当 被 5 除余数是 0 时,

不能被 5 整除.

所以符合题设要求的所有 的个数为



9(甲).8

解:设平局数为 ,胜(负)局数为 ,由题设知



由此得 0≤b≤43.



,所以

. 于是

0≤

≤43,

87≤

≤130,

由此得

,或

.



时,

;当

时,



,不合题设.





9(乙).

≤1

解:由题设得

所以





.

整理得



由二次函数

的图象及其性质,得

.

又因为

≤1,所以

≤1.

10(甲). 解:如图,连接 AC,BD,OD.

(第 10(甲)题) 由 AB 是⊙O 的直径知∠BCA =∠BDA = 90°. 依题设∠BFC = 90°,四边形 ABCD 是⊙O 的内接四边形,所以 ∠BCF =∠BAD,

所以 Rt△BCF∽Rt△BAD ,因此

.

因为 OD 是⊙O 的半径,AD = CD,所以 OD 垂直平分 AC,OD∥BC,

于是

. 因此

.

由△

∽△

,知

.因为



所以

,BA=

AD ,故

. 10(乙). 12

解:由已知有

,且 为偶数,所以

同为偶数,于是 是 4 的倍数.设

,则 1≤

≤25.

(Ⅰ)若

,可得

,与 b 是正整数矛盾.

(Ⅱ)若

至少有两个不同的素因数,则至少有两个正整数对

满足

;若

恰是一个素数的幂,且这个幂指数不小于 3,则至少有

两个正整数对

满足



(Ⅲ)若

是素数,或

恰是一个素数的幂,且这个幂指数为 2,则有唯一的正整数对

满足



因为有唯一正整数对

,所以 m 的可能值为 2,3,4,5,7,9,11,13,17,19,23,25,共有 12 个.

三、解答题

11(甲).解: 因为当

时,恒有

,所以





,所以

. ????(5 分)



时, ≤ ;当

时, ≤ ,即

≤ ,



≤ ,

解得



. ????(10 分)

设方程

的两个实数根分别为

,由一元二次方程根与系数的关系得



因为

,所以



解得

,或



因此

. ????(20 分)

11(乙).解:因为 sin∠ABC=



,所以

AB = 10.

由勾股定理,得 BO=

.

(第 11(乙)题) 易知△ABO≌△ACO, 因此 CO = BO = 6. 于是 A(0,-8),B(6,0),C(-6,0). 设点 D 的坐标为(m,n),由 S△COE = S△ADE,得 S△CDB = S△AOB. 所以





解得 n=-4. 因此 D 为 AB 的中点,点 D 的坐标为(3,-4). ????(10 分)

因此 CD,AO 分别为 AB,BC 的两条中线,点 E 为△ABC 的重心,所以点 E 的坐标为

.

设经过 B,C,E 三点的抛物线对应的二次函数的解析式为 y=a(x-6)(x+6). 将点 E 的坐标代入,解得 a =

.

故经过 B,C,E 三点的抛物线对应的二次函数的解析式为

. ????(20 分)

12(甲). 证明:连接 BD,因为



的直径,所以

.又因为

,所以△CBE 是等腰三角形.

(第 12(甲)题) ????(5 分)





交于点

,连接 OM,则

.又因为

,所以

. ????(15 分)

又因为

分别是等腰△

,等腰△

的顶角,所以

△BOC∽△

. ????(20 分)

12(乙).证明:(1)如图,根据三角形内心的性质和同弧上圆周角的性质知

(第 12(乙)题) 所以 同理, CI = CD. CI = CB.

故点 C 是△IBD 的外心. 连接 OA,OC,因为 I 是 AC 的中点,且 OA = OC, 所以 OI⊥AC,即 OI⊥CI. 故 OI 是△IBD 外接圆的切线. ????(10 分) (2) 如图,过点 I 作 IE⊥AD 于点 E,设 OC 与 BD 交于点 F.



,知 OC⊥BD.

因为∠CBF =∠IAE,BC = CI = AI,所以 Rt△BCF≌Rt△AIE,

所以 BF = AE. 又因为 I 是△ABD 的内心,所以 AB+AD-BD = 2AE = BD. 故 AB+AD = 2BD. ????(20 分)

13(甲).解:设 a-b = m(m 是素数),ab = n2(n 是正整数). 因为 所以 (a+b)2-4ab = (a-b)2, (2a-m)2-4n2 = m2, (2a-m+2n)(2a-m-2n) = m . ????(5 分) 因为 2a-m+2n 与 2a-m-2n 都是正整数,且 2a-m+2n>2a-m-2n (m 为素数),所以 2a-m+2n m ,2a-m-2n 1.
2 2

解得

a



.

于是

= a-m

.

????(10 分)

又 a≥2012,即

≥2012.

又因为 m 是素数,解得 m≥89. 此时,a≥

=2025.



时,





.

因此,a 的最小值为 2025. ????(20 分)

13(乙).解:假设凸 边形中有 个内角等于

,则不等于

的内角有

个.

(1)若

,由

,得

,正十二边形的 12 个内角都等于

; ????(5 分)

(2)若

,且 ≥13,由

,可得

,即 ≤11.



时,存在凸 .

边 形 , 其 中 的 11 个 内 角 等 于

,其余

个内角都等于



????(10 分)

(3)若

,且 ≤ ≤





时,设另一个角等于

.存在凸 边形,其中的

个内角等于

,另一个内角



由 ≤

可得

;由 ≥8 可得

,且

. ????(15 分)

(4)若

,且 3≤ ≤7,由(3)可知 ≤

.当

时,存在凸 边形,其中

个内角等于

,另两个内角都等于



综上,当

时, 的最大值为 12;当 ≥13 时, 的最大值为 11;

当 ≤ ≤

时, 的最大值为

;当 3≤ ≤7 时, 的最大值为

. ????(20 分)

14(甲).解:由于

都是正整数,且

,所以

≥1,

≥2,?,

≥2012.

于是





????(10 分)



时,令

,则

. ????(15 分)



时,其中 ≤ ≤

,令

,则



综上,满足条件的所有正整数 n 为

. ????(20 分)

14(乙).解:当

时,把

分成如下两个数组:





在数组

中,由于

,所以其中不存在数

,使得



在数组

中,由于

,所以其中不存在数

,使得



所以, ≥

. ????(10 分)

下面证明当

时,满足题设条件.

不妨设 2 在第一组,若

也在第一组,则结论已经成立.故不妨设

在第二组. 同理可设

在第一组,

在第二组.

此时考虑数 8.如果 8 在第一组,我们取

,此时

;如果 8 在第二组,我们取

,此时



综上,

满足题设条件.

所以, 的最小值为




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