nbhkdz.com冰点文库

2015年高考江苏数学卷19题解法探究

时间:2016-04-06


案例分析

新课程

NEW CURRICULUM

2015 年高考江苏数学卷 19 题解法探究
朱允洲 (江苏省徐州高等师范学校 ) 题目: 已知函数 ( f x ) =x +ax +b (a, b∈R ) ,
3 2

(1 ) 试讨论 ( f x ) 的单调性; (2 ) 若 b=c-a (实数 c 是与 a 无关的常数) , 当函数 ( f x ) 有三个

1≤c≤1, 所以 c=1。 ②当 a<0 时, p (x ) (0 ) =0, p (x ) (- 2a ) = 极大值=p 极小值=p 3
3 3 4a3 , 应有 4a <a-c<0, 即 a<c<a- 4a 恒成立, 坌a ∈ (-∞, -3 ) , 于是 27 27 27

3) 3 a 的取值范围恰好是 (-∞, -3 ) ∪ (1, ∪ (3 , +∞ ) , 不同的零点时, amax<c< (a- 4a ) 即 -3≤c ≤1。 综上, 由 ①② 得 c =1, 经检验 c =1 min, 2 2 27 求 c 的值。 满足题意。 本题考查了函数的零点、 导数的运算、 函数的极值等知识, 涉 法 3: 设函数 ( f x ) =x3+ax2-a+c, 由 f( ′ x ) =0, 得 x=0, 或 x=- 2a , 当 及函数与方程、 数形结合和分类讨论以及化归与转化的数学思想, 3 同时考查了学生对多参数问题的分析处理的能力。下面给出几种 与标准答案不同的解法。 解 (1 ) 略 ) 法 1: 显然, a=0 不合题意。对 ( f x ) 求导, f( ′ x ) =3x2+2ax, 令 (2 f( ′ x ) =0, 得 x=0, 或 x=- 2a , 易知 0, - 2a 是函数的两个极值点, 函 3 3 f x ) 有三个不同的零点 圳( f 0 ) · ( f - 2a ) <0 , 即 (a -c ) (a3- 27 a + 数( 3 4 3) 27 c) >0, 因为此不等式的解集恰好为 (-∞, -3 ) ∪ (1, ∪ (3 , 4 2 2 +∞ ) , 此处求解可有两种思路: ) 思路一 (方程法 方程 (a-c ) (a - 27 a+ 27 c ) =0 的根应为: a=-3, 1, 3 (二重 4 4 2
3

a >0 时, ( f x)极 大 值 = 4a -a +c, ( f x)极 小 值 =c -a; 当 a <0 时, ( f x)极 小 值 = 27
3 4a3 -a+c, ( f x) (a ) = 4a -a, 易知其图象关于原点对 极大值 =c-a。令 h 27 27

3

称 (如图) , 且h (3 ) =-1, h ( 3姨 3 ) =0。 将 h (a ) 的图象上下平移 2 2 有: c 个单位,
y 2

h (a ) = 4a - a 27 3 2


O -1 -2

3姨 3 a 2

23 , 3 , 根) , 将它们带入方程得: c =-3, 1, 经检验只有 c =1 时, 上 2 27 3 。 述方程的解为: -3, 1, 2 思路二 (待定系数法 ) 3) 2 ( a-1 ) (a+3 ) >0 的解集为 (-∞, -3 ) ∪ (1, 因为不等式 (a- 3 ) 2 2

当 c>0 时, {a h (a ) >0 , a >0 } 奂 {a h (a ) +c>0, a >0 } , {a h (a ) +c<0, a <0 } 奂 {a h (a ) <0 , a <0 } {a h (a ) <0 , a <0 } 奂 {a h (a ) +c<0, a <0 } f x) 有三个零点等价于 [h (a ) +c] · (c-a ) <0。考虑 a<0 情 函数 ( (* ) {a h (a ) +c>0, a >0 } 奂 {a h (a ) >0 , a >0 } 当 c<0 时,

2 3 ∪ (3 , +∞ ) , 所以 (a-c ) (a3- 27 a+ 27 c ) = (a- 3 ) ( a-1 ) (a+3 ) , 解得 况, 由h (a ) <0 得: a∈ (-∞, - 3姨 3 ) , 而h (a ) +c = 4a -a+c <0 的解 2 4 4 2 2 27 c=1。 集为 (-∞, -3 ) (** ) , 由 (* ) 式知由 h (a ) 向上平移 c 个单位, 同时 c 当 c =1 时, ( f x ) =x3+ax2+1-a = (x +1 )圳 , 因( f x ) x2+ (a-1 ) x+1-a 圳 3 a>0。 由 (** ) 式知-3 为方程 4a -a+c=0 的根, 得 c=1, 将 c=1 带入原 (a-1 ) x+1-a=0 有两个异于-1 的根, 于是 有三个不同的零点, 故 x2+ 27

由 Δ>0 及 1+ (a-1 ) (-1 ) +1-a≠0,得 a 的取值范围 (-∞, -3 ) ∪ (1, 函数 ( f x) 检验符合题意。 3) ∪ (3 , +∞ ) 。综上, c=1。 2 2 法 2: 由 x3+ax2+1-a=0, 得 x3+ax2=a-c, 令p (x ) =x3+ax2, q (x ) =a注: 1.由 h (a ) 图象平移的对称性知: 当函数 ( f x) 有三个不同的零

若 a∈ (-∞, -3) ∪ (- 3 , -1 ) ∪ (3, +∞ ) , 则 c=-1; 特别地, 若 c, 函数 ( f x ) 有三个不同的零点, 等价转化为两函数 p (x ) 与q (x ) 的 点时, 2 2 图象有三个不同的交点。 p( ′ x ) =3x2+2ax, 令 p( ′ x ) =0 , 得 x=0, 或 x=2a , 且易知其为 p (x) 的两个极值点, ① 当 a > 0 时, p (x) 极大 值 =p 3 (- 2a ) =- 4a , p (x) (0 ) =0, 应有 0<a-c< 4a , 即 a- 4a <c< 极小值 =p 3 27 27 27
3 3) a 恒成立, 坌a ∈ (1, ∪ (3 , +∞) , 于是 (a - 4a ) 即 max < c < amin, 2 2 27 3 3 3

a∈ (-∞, - 3姨 3 ) ∪ ( 3姨 3 , +∞ ) , 则 c=0; 2 2 2. 若函数 ( f x)有三个不同的零点, 将h (a ) 的图象向上平移 个单位与向下平移个单位, 则 a 的取值范围关于原点 c (c > 0) 对称。

誗编辑

段丽君

- 56 -


赞助商链接

7新课标高考数学卷第21题函数解答题的解题策略探究

7新课标高考数学卷第21题函数解答题的解题策略探究 - 新课标高考数学卷第 21 题函数解答题的特点及解法探略 宁夏回族自治区固原市第二中学 宁夏回族自治区固原市...

2014年全国高考新课标理科卷导数题的解法探究

2014年全国高考新课标理科卷导数题的解法探究 - 2014 年全国高考新课标理科卷导数题的解法探究 一、2014 新课标卷一导数题第二问: 证明: f ( x) ? e x ...

近年高考文科数学选择压轴题的解法探究

近年高考文科数学选择压轴题的解法探究_数学_高中教育_教育专区。近年高考文科数学选择压轴题的解法探究建水县第二中学:贾雪光 高考数学题目是分梯度,分类别把关,就...

2018全国3卷第21题的命题背景及解法探究

2018全国3卷第21题的命题背景及解法探究_数学_高中教育_教育专区。2018 全国 3 卷第 21 题的命题背景及解法探究 例.(2018 全国 3 卷第 21 题)已知函数 f ...

线性方程组解法的探究

线性方程组解法探究_数学_自然科学_专业资料。线性方程组解法探究摘 要线性方程组源自于生活中一些未知元素的一系列特定的关系而转化成的一组数据关系。 对其...

初中数学规律探究题的解题方法

初中数学规律探究题的解题方法_数学_初中教育_教育专区。初中数学规律探究题解法指导广南县篆角乡初级中学 郭应龙新课标中明确要求:用代数式表示数量关系及所反映的...

一个导数压轴题的解法探究与命制背景的分析

一个导数压轴题的解法探究与命制背景的分析 - 一个导数压轴题的解法探究与命制背景的分析 张嘉钦 福建省惠安荷山中学 362141 发表于《福建中学数学2015 1....

一道中考数学试题的解法与探究

一道中考数学试题解法探究福建省福州市永泰县第一中学 张剑清 一、试题与简析 题目为 2014 年福州中考试题第 20 题. (满分 11 分)如图,在△ABC 中,∠B...

函数最值问题解法的探究

函数最值问题解法探究_数学_自然科学_专业资料。宁夏师范学院本科生毕业论文(设计...是历年高考重点考查的知识点之一, 也是近几年数 学竞赛中的常见题型.因此对...

绵阳市2016年中考数学试题各大题中的压轴题解法探究

绵阳市 2016 年中考数学试题各大题中的压轴题解法探究三台外国语学校 张洪伟 听今年参加中考的学生说, 很多人在绵阳市中考数学试题 “选择题”的第 11 题、12 ...