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上海市金山中学2017届高三数学上学期期中试题

时间:2017-02-28

金山中学 2016 学年度第一学期高三年级数学学科期中考试卷
(考试时间:120 分钟 满分:150 分) 一、填空题(每题 4 分,共 56 分) 1、已知集合 A ? {x log2 ( x ?1) ? 2} , B ? {x 2 ? x ? 6} ,且 A ? B ? ___________。 2 、 已 知 不 等 式 ax ? 5 x ? b ? 0 的 解 集 是 {x | 2 ? x ? 3} , 则 不 等 式 bx ? 5 x ? a ? 0 的 解 集 是
2 2

___________。 ?? ? ?? ? ? ?? , ? ? ,则 tan? ? ___________。 3、若 tan ? ? ? ? ? sin 2? ? cos 2 ? , 4? ? ?2 ? 4、在等差数列 ?an ? 中, a7 ? 8 ,前 7 项和 S7 ? 42 ,则其公差是___________。 5、 lim ? ?

?1 1 ? 1 ? ?? ? ? =___________。 n ?? 3 8 n n ? 2 ? ? ? ?
6 、 若 将 函 数 y ? cos ? 2 x ? 的 图 象 向 左 平 移 π 个单位长度,则平移后的函数对称轴为 12

___________。 7、在 ?ABC 中, a ? 5, b ? 8, C ? 60? ,则 BC ? CA 的值为___________。 8 、 关 于 x 的 方 程 k ? 4 x ? k ? 2 x?1 ? 6(k ? 5) ? 0 在 区 间 [ 0 ,1 ] 上 有 解 , 则 实 数 k 的 取 值 范 围 是 ___________。 9、若函数 y ? f ( x) 存在反函数 y ? f 数y? f
?1

??? ? ??? ?

?1

?x? ,且函数 y ? tan ?x ? f ( x) 图像过 (2,
6

2 10、设等比数列 {an } 的前 n 项和为 Sn ,若 S5、S4、S6 成等差数列,则数列 {an } 的公比 q 的值等于
____ _______。 11、已知不等式 ? x ? y ? ?

? x? ?

?

1 3 ? ) ,则函 3

的图像一定过___________。

?1 a? ? ? ? 9 对于任意 xy ? 0 恒成立,求正实数 a 的 范围___________。 ?x y?

12、将正整数排成下表: 1 2 3 4 5 6 7 8 10 11 12 13 ?? ??

9 14

15

16

1

其中第 i 行,第 j 列的那个数记为 aij ,则数表中的 2015 应记为___________。 13、若偶函数 y ? f ( x) ( x ? R) 满足 f (1 ? x) ? f (1 ? x) ,且当 x ?[?1,0] 时, f ( x) ? x2 ,则函数

g ( x) ? f ( x) ? lg x 的零点个数为_________个。
14、若数 列 {an } 满足“对任意正整数 n , 给出下列数列 {an }, n ? N* :
n ① an ? 2 ?

an ? an ? 2 ? an ?1 恒成立” ,则称数列 {an } 为“差非增数列” . 2

1 1 n ? 1 ,② an ? n2 ? 1,③ an ? 2n ? 1,④ an ? ln ,⑤ an ? 2n ? . n n n ?1

其中是“差非增数列”的有________(写出所有满足条件的数列的序号) .

二、选择题(每题 5 分,共 20 分) 15、若 a 、 b 为实数,则 a ? b ? 0 是 a 2 ? b 2 的( )

A 、充分不必要条件

B 、必要不充分条件 C 、充要条件

D 、既非充分也非必要条件.


16、已知角 ? 的终边经过 点 P ? x , 3? ? x ? 0 ? 且 cos ? ?

10 x ,则 x 等于 ( 10

A 、 ?3

B 、?

2 2 3

C 、 ?1

D 、?

1 3

17、 已知函数 f ? x ? 的定义域为 R , 当 x ? 0 时,f ( x) ? x3 ?1 ; 当 ?1 ? x ? 1 时,f (? x) ? ? f ( x) ; 当 x?

1 1 1 时, f ( x ? ) ? f ( x ? ) .则 f ? 6 ? 为( 2 2 2
B 、?1



A 、?2

C 、0

D 、2

18、 已知 a ? 0 且 a ? 1 , 函数 f ( x) ? log a ( x ? 则函数 g ( x) ? log a | x | ?b 的图象是 (

x 2 ? b ) 在区间 (??,??) 上既是奇函数又是增函数,
)

2

三、简答题(共 74 分) 19、 (本大题共 12 分,第 1 小题 6 分,第 2 小题 6 分) 已知 ?ABC 的内角 A 、 B 、 C 的对边分别为 a 、 b 、 c 且有 a2 ? b2 ? c2 ? 4S?ABC ; (1)求角 C 的大小; (2)若 c ?

2 ,求 a ?

2 b 的取值范围。 2

20、 (本大题共 14 分,第 1 小题 8 分,第 2 小题 6 分) 已知数列 ?an ? 的前 n 项和 Sn ? 3n2 ? 8n , ?bn ? 是等差数列,且 an ? bn ? bn?1. ; (1)求数列 ?bn ? 的通项公式; (2)求 cn ?

3an 的最大项的值,并指出是第几项。 bn ? 11

21(本大题共 14 分,第 1 小题 6 分,第 2 小题 8 分) 某生产旅游纪念品的工厂,拟在 2017 年度进行系列促销活动.经市场调查和测算,该纪念品的年 销售量 x (单位:万件)与年促销费用 t (单位:万元)之间满足 3 ? x 与 t ? 1 成反比例(若不搞促销活 动,纪念品的年销售量只有 1 万件) ;已知工厂 2017 年生产纪念品的固定投资为 3 万元,每生产 1 万件纪念品另外需要投资 32 万元. 当工厂把每件纪念品的售价定为 “年平均每件生产成本的 1.5 倍” 与“年平均每件所占促销费的一半”之和时,则当年的产量和销量相等.(利润=收入-生产成本促销费用); (1)请把该工厂 2017 年的年利润 y (单位:万元)表示成促销费 t (单位:万元)的函数; (2)试问:当 2017 的促销费投入多少万元时,该工厂的年利润最大?

3

22、 (本大题共 16 分,第 1 小题 4 分,第 2 小题 6 分,第 3 小题 6 分) 已知函数 f ( x) ? x ? x x ? a ? 3a , a >0.
2

(1)若 a ? 1 ,求 f ( x ) 的单调区间; (2)求函数在 x ??0,3? 上的最值;

(3)当 a ? ? 0,3? 时,若函数 f ( x ) 恰有两个不同的零点 x1 , x2 ,求

1 1 ? 的取值范围. x1 x2

23、 (本大题共 18 分,第 1 小题 4 分,第 2 小题 6 分,第 3 小题 8 分) 已知数列 {an } 的前 n 项和为 S n , a1 ? 0 , a1 ? a2 ? a3 ? ? ? an ? n ? an?1 , n ? N* . (1)求证:数列 {an ? 1} 是等比数列,并求出 an ; (2)设数列 {bn } 的前 n 项和为 Tn , b1 ? 1 ,点 (Tn?1, Tn) 在直线 2nx ? 2 ? n ?1? y ? n ? n ?1? ? 0 上,求 数列 {bn } 的通项公式; (3)若不等式

b b1 b 9 ? 2 ??? n ? m ? 对于 n ? N* 恒成立,求实数 m 的最大值. a1 ? 1 a2 ? 1 an ? 1 2 ? 2an

4

金 山中学 2016 学年度第一学期高三年级数学学科期中考试 参考答案 1 2 3 -3 9 4 5 6

? 2,5?
7 -20 13 10

? 1 1? ?? ,? ? ? 2 3?
8

2 3
10 -2 16 C

3 4
11

x?

k? ? ? ?k ? Z ? 2 12
12
79 a45

[5,6]
14 ③④

?? ?1 ? ,2 ? ? 2? ?3
15 A

a?4
17 D

18 A

19、 (1)利用面积公式得到 a ? b ? c ? 4 ?
2 2 2

是三角形内角,所以 C ?

?
4

1 ab sin C ,再利 用余弦定理得到 tan C ? 1 ,又因为 2



(2)由正弦定理

?a ? 2sin A a b c ? ? ? 2 得到 : ? ,代入: sin A sin B sin C ?b ? 2sin B

a?

2 2 ?? ?3 ? ? b ? 2sin A ? ? 2sin B = 2sin A ? 2 sin ? ? ? A ? = sin A ? cos A = 2 sin ? A ? ? 2 2 4? ?4 ? ? ? ? 3 ? 4 ?

因为 A ? ? 0, ? ? ,所以 A ?

?

2 ? ? ?? b ? ?1, 2 ; ? ? ? , ? ,所以 a ? 2 4 ? 4 2?

?

?

20、 (1)当 n ? 1 时, a1 ? 11 当 n ? 2 时, an ? Sn ? Sn ?1 ? 3n2 ? 8n ? 3(n ?1)2 ? 8(n ?1) ? 6n ? 5 , 又 an ? 6n ? 5 对 n ? 1 也成立, 所以 an ? 6n ? 5 . 又因为 ?bn ?是等差数列,设首项为 b1 ,公差为 d , 则由 an ? bn ? bn?1 得: 6n ? 5 ? ? 2d ? n ? ? 2b1 ? d ? ,且该等式恒成立,所以:
5

? 2d ? 6 ?b1 ? 4 ,所以 ? ,所以 bn ? 3n ? 1 ; ? ? 2b1 ? d ? 5 ?d ? 3
法二:当 n ? 1 时, 2b1 ? 11? d ;当 n ? 2 时, 2b2 ? 17 ? d , 解得 d ? 3 ,所以数列 ?bn ?的通项公式为 bn ?

an ? d ? 3n ? 1 . 2

(2) cn ?

3 ? 6n ? 5 ? 87 3an 25 = =6? ,所以当 n ? 4 的时候取得最大值 ; 10 2 bn ? 11 ? 3n ? 1? ? 11 n? 3

21、 (1)设反比例系数为 k ? k ? 0? ,有 3 ? x ?

k t ?1 2 ?t ? 0? t ?1

因为当 t ? 0 时 x ? 1 ,代入得 k ? 2 ,所以 x ? 3 ? 易得: y ? x ? ?

99 32 t t ? ? 3 ? 32 x ? ? ?t ? 0? ?1.5 ? ? ? ? 3 ? 32 x ? ? t ,化简得: y ? 2 t ?1 2 2x ? ? x

(2) y ? 50 ? ?

32 t ? 1 ? 32 t ? 1 ? ? ? ? 42 ,当且仅当 t ? 7 时取等号; ? ? 50 ? 2 t ?1 2 ? t ?1 2 ?

所以,当 2017 年的促销费投入 7 万元时,工厂的年利润最大为 42 万元;

22、 (1) f ( x) ? x ? x x ? 1 ? 3 ? ?
2

?2 x 2 ? x ? 3, x ? 1, ? x ? 3, x ? 1.

根据函数的图象可得,

1? ? ?1 ? f ( x) 在 ? ??, ? 上单调递减, 在 ? , ?? ? 上单调递增. 4? ? ?4 ?
(2) f ( x) ? x ? x x ? a ? 3a ? ?
2

?2 x 2 ? ax ? 3a, x ? a, ?ax ? 3a, x ? a.

当 a ? 3 时,最小值 f ?

?a? ? ,最大值 f ? 3? ; ?4? ?a? ? ,最大值 f ? 3? ?4?

当 3 ? a ? 6 时,最小 f ?

6

当 6 ? a ? 12 时,最小值 f ?

?a? ? ,最大值 f ? 0 ? ?4?

当 a ? 12 时,最小值 f ? 3? ,最大值 f ? 0 ? (3) f ( x) ? x ? x x ? a ? 3a ? ?
2

?2 x 2 ? ax ? 3a, x ? a, ?ax ? 3a, x ? a.

当 0 ? a ? 3 时,令 f ( x) ? 0 ,可得

x1 ? 3, x2 ? x3 ?

a ? a 2 ? 24a , 4

a ? a 2 ? 24a (因为 f (a) ? a2 ? 3a ? 0, 所以 x3 ? a 舍去) 4
1 1 1 4 1 a 2 ? 24a ? a 1 1 24 ? ? ? ? ? ? ? 1? , x1 x2 3 6a 2 6 a a 2 ? 24a ? a 3
1 1 ? ? ?1, ?? ? . x1 x2

所以

在 0 ? a ? 3 上是减函数,所以

23、 (1)由 a1 ? a2 ? a3 ? ? ? an ? n ? an?1 ,得 a1 ? a2 ? a3 ? ? ? an?1 ? n ? 1 ? an (n ? 2) , 两式相减得 an?1 ? 2an ? 1 ,所以 an?1 ? 1 ? 2(an ? 1) ( n ? 2 ) ,因为 a1 ? 0 ,所以 a1 ? 1 ? 1,

a2 ? 2a1 ? 1 ? 1, a2 ? 1 ? 2(a1 ? 1) ,所以 {an ? 1} 是以为首项,公比为 2 的等比数列
T T x y 1 1 ? ? 上,所以 n ?1 ? n ? , n ?1 n 2 n ?1 n 2 T T T 1 n( n ? 1) 1 故 { n } 是以 1 ? 1 为首项, 为公 差的等差数列, 则 n ? 1 ? ( n ? 1) ,所以 Tn ? , n 1 n 2 2 2 n(n ? 1) n(n ? 1) ? ? n ,因为 b1 ? 1 满足该式,所以 bn ? n 当 n ? 2 时, bn ? Tn ? Tn ?1 ? 2 2
(2)由(Ⅰ)得 an ? 2n?1 ?1 ,因为点 (Tn?1 , Tn ) 在直线 (3)所以不等式

2 3 n 9 b b1 b 9 变形为 1 ? ? 2 ? ? n ?1 ? m ? n , ? 2 ??? n ? m ? 2 2 2 2 a1 ? 1 a2 ? 1 an ? 1 2 ? 2an

2 3 n 1 1 2 3 n ? 2 ? ? n ?1 ,则 Rn ? ? 2 ? 3 ? ? n ,两式相减得 2 2 2 2 2 2 2 2 1 1 1 1 1 n n?2 n?2 (1 ? ) Rn ? 1 ? ? 2 ? 3 ? ? n ?1 ? n ? 2 ? n ,所以 Rn ? 4 ? n ?1 2 2 2 2 2 2 2 2 2n ? 5 ? m 恒成立, 恒成立,即 4 ? 2n
令 Rn ? 1 ?

由 Rn ? m ?

9 2n

7

2n ? 3 2n ? 5 2n ? 7 2n ? 5 ) ? (4 ? ) ? n ?1 ,故当 n ? 3 时, {4 ? } 单调递减;当 n ? 3 时, n ?1 n 2 2 2 2n 2 ? 3 ? 5 31 2n ? 5 2 ? 4 ? 5 61 4? ? ;当 n ? 4 时, {4 ? } 单调递增;当 n ? 4 时, 4 ? ? ; 3 n 2 8 2 24 16 61 2n ? 5 则4? 的最小值为 , n 16 2 61 所以实数 m 的最大值是 ; 16
又 (4 ?

8


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