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2015届高考数学(理)二轮复习专题讲解讲义:专题二 第四讲 高考中的三角函数

时间:2015-03-24


第四讲 高考中的三角函数(解答题型)

π π π 1.(2014· 重庆高考)已知函数 f(x)= 3sin(ωx+φ)ω>0,- ≤φ< 的图象关于直线 x= 对 2 2 3 称,且图象上相邻两个最高点的距离为 π. (1)求 ω 和 φ 的值; α? 2π? 3?π ? 3π? (2)若 f? ?2?= 4 ?6<α< 3 ?,求 cos?α+ 2 ?的值. 解:(1)因为 f(x)的图象上相邻两个最高点的距离为 π,所以 f(x)的最小正周期 T=π,从 2π 而 ω= =2. T π 又因为 f(x)的图象关于直线 x= 对称, 3 π π 所以 2× +φ=kπ+ ,k=0,± 1,± 2,…. 3 2 π π π 2π π 由- ≤φ< 得 k=0,所以 φ= - =- . 2 2 2 3 6 α? ? α-π?= 3, (2)由(1)得 f? 2 6? 4 ?2?= 3sin ?2· π 1 ? 所以 sin ? ?α-6?=4. π 2π π π 由 <α< 得 0<α- < , 6 3 6 2 π π 1 15 α- ?= 1-sin2?α- ?= 1-? ?2= 所以 cos? . ? 6? ? 6? ?4? 4 3π? 因此 cos? ?α+ 2 ? =sin α π π α- ?+ ? =sin?? ?? 6? 6? π? π ? π? π =sin? ?α-6?cos6+cos?α-6?sin 6 1 3 15 1 = × + × 4 2 4 2 3+ 15 = . 8 2.(2014· 湖南高考)如图,在平面四边形 ABCD 中,AD=1,CD=2,AC= 7.

(1)求 cos∠CAD 的值; 7 21 (2)若 cos∠BAD=- ,sin∠CBA= ,求 BC 的长. 14 6 AC2+AD2-CD2 解:(1)在△ADC 中,由余弦定理,得 cos∠CAD= . 2AC· AD

7+1-4 2 7 故由题设知,cos∠CAD= = . 7 2 7 (2)设∠BAC=α,则 α=∠BAD-∠CAD. 2 7 7 因为 cos∠CAD= ,cos∠BAD=- , 7 14 所以 sin∠CAD= 1-cos2∠CAD= sin∠BAD= 1-cos2∠BAD= 21 2 7?2 1-? = , 7 ? 7 ? 3 21 7 1-?- ?2= . 14 ? 14 ?

于是 sin α=sin(∠BAD-∠CAD) =sin∠BADcos∠CAD-cos∠BADsin∠CAD 3 21 2 7 ? 21 7 = × - - ?× 14 7 ? 14 ? 7 3 = . 2 BC AC 在△ABC 中,由正弦定理, = . sin α sin∠CBA 3 7× 2 AC· sin α 故 BC= = =3. sin∠CBA 21 6

1.辅助角公式 b asin x+bcos x= a2+b2sin(x+φ),其中 tan φ= . a 可利用辅助角公式求最值、单调区间和周期. 2.三角形的面积公式 1 1 1 (1)S= aha= bhb= chc(ha,hb,hc 分别是边 a,b,c 上的高); 2 2 2 1 1 1 (2)S= absin C= bcsin A= acsin B; 2 2 2 (3)S△ABC= ss-as-bs-c(海伦公式). 3.解三角形常见问题 (1)已知一边和两角解三角形; (2)已知两边及其中一边的对角解三角形; (3)已知两边及其夹角解三角形; (4)已知三边解三角形; (5)三角形形状的判定; (6)三角形的面积问题; (7)正弦、余弦定理的综合应用.

热点一

三角变换与求值

命题角度

(1)利用和(差)、倍角公式对三角函数式化简, 进而研究三角函数的图象与性质; (2)利用和(差)、倍角公式对三角函数式化简, 且与解三角形交汇命题.

[ 例 1] (1)(2014· 江西高考 ) 已知函数 f(x) = sin(x + θ) + acos(x + 2θ) ,其中 a∈R , π π ? θ∈? ?-2,2?. π ①当 a= 2,θ= 时,求 f(x)在区间[0,π]上的最大值与最小值; 4 π ? ②若 f? ?2?=0,f(π)=1,求 a,θ 的值. π? (2)(2014· 合肥模拟)若函数 f(x)=2cos2x+2 3sin xcos x+m 在区间? ?0,2?上的最大值为 2. ①求函数 f(x)的单调递增区间; A? 6 ②在△ABC 中,内角 A,B,C 的对边分别为 a,b,c,且 f? ? 2 ?=1,a= 2 c,求 sin B. π π 2 2 x+ ?+ 2cosx+ = (sin x+cos x)- 2sin x= cos x- [师生共研] (1)①f(x)=sin? ? 4? 2 2 2 π ? 2 sin x=sin? ?4-x?, 2 3π π? π 因为 x∈[0,π],从而 -x∈? ?- 4 ,4?, 4 2 故 f(x)在[0,π]上的最大值为 ,最小值为-1. 2 π ? ?=0, ? ?f? ?cos θ -2asin θ=0, 2 ? ②由? ? 得? 2 ?2asin θ-sin θ-a=1, ? ? ?f =1, a=-1, ? ? π π - , ?知 cos θ≠0,解得? 又 θ∈? π ? 2 2? ? ?θ=-6. (2)①f(x)=2cos2x+2 3sin xcos x+m=1+cos 2x+ 3sin 2x+m=2? π 2x+ ?+m+1, +m+1=2sin? 6 ? ? π? 因为函数 f(x)在区间? ?0,2?上的最大值为 2, π? π π 7π π π π 则由 ≤2x+ ≤ 知,当 2x+ = ,即 x= 时,f(x)=2sin? ?2x+6?+m+1 的最大值为 2 6 6 6 6 2 6 +m+1=2, π? 所以 m=-1,所以 f(x)=2sin? ?2x+6?. π π π π π 由 2kπ- ≤2x+ ≤2kπ+ (k∈Z),得 kπ- ≤x≤kπ+ (k∈Z), 2 6 2 3 6 π π 所以函数 f(x)的单调递增区间为 kπ- ,kπ+ (k∈Z). 3 6 A? ? π? 1 ②因为 f? ? 2?=1,所以 sin?A+6?=2, π π 7π π 5π 2π 3 因为 <A+ < ,所以 A+ = ,A= ,sin A= . 6 6 6 6 6 3 2 3 1 ? ? 2 sin 2x+2cos 2x?

6 a c 2 c,所以由正弦定理得 = ,即 sin C= . 2 sin A sin C 2 π? π 又 C∈? ?0,2?,所以 C=4, 6- 2 3 2 1 2 所以 sin B=sin(A+C)=sin Acos C+cos Asin C= × - × = . 2 2 2 2 4 因为 a=

1.条件求值的一般思路 (1)先化简所求式子或所给条件; (2)观察已知条件与所求式子之间的联系(从三角函数名及角入手); (3)将已知条件代入所求式子,化简求值. 2.三角恒等变换的“五遇六想” (1)遇正切,想化弦;(2)遇多元,想消元;(3)遇差异,想联系;(4)遇高次,想降次;(5) 遇特角,想求值;(6)想消元,引辅角. π? 3 2 1.已知函数 f(x)=cos x· sin? ?x+3?- 3cos x+ 4 ,x∈R. (1)求 f(x)的最小正周期; π π? (2)求 f(x)在闭区间? ?-4,4?上的最大值和最小值. 解:(1)由已知,有 ?1sin x+ 3cos x?- 3cos2x+ 3 f(x)=cos x· 4 2 ?2 ? 1 3 3 = sin x· cos x- cos2x+ 2 2 4 1 3 3 = sin 2x- (1+cos 2x)+ 4 4 4 1 3 = sin 2x- cos 2x 4 4 π 1 2x- ?. = sin? 3? 2 ? 2π 所以,f(x)的最小正周期 T= =π. 2 π π? ? π π? (2)因为 f(x)在区间? ?-4,-12?上是减函数,在区间?-12,4?上是增函数. π? 1 ? π? 1 ?π? 1 f? ?-4?=-4,f?-12?=-2,f?4?=4. π π? 1 1 所以,函数 f(x)在闭区间? ?-4,4?上的最大值为4,最小值为-2. 2.已知函数 f(x)= 3sin xcos x+cos2x+a. (1)求 f(x)的最小正周期及单调递减区间; π π? 3 (2)若 f(x)在区间? ?-6,3?上的最大值与最小值的和为2,求 a 的值. 1+cos 2x π? 3 1 解:(1)因为 f(x)= sin 2x+ +a=sin? ?2x+6?+a+2, 2 2 所以 T=π. π π 3π 由 +2kπ≤2x+ ≤ +2kπ,k∈Z, 2 6 2 π 2π 得 +kπ≤x≤ +kπ,k∈Z. 6 3

π 2π ? 故函数 f(x)的单调递减区间是? ?6+kπ, 3 +kπ?(k∈Z). π π (2)因为- ≤x≤ , 6 3 π π π 5π 1 2x+ ?≤1. 所以- ≤2x+ ≤ ,- ≤sin? 6? ? 6 6 6 2 π π 1? ? 1 1? 3 ? ? 因为函数 f(x)在? ?-6,3?上的最大值与最小值的和为?1+a+2?+?-2+a+2?=2,所以 a=0.

热点二 命题角度

三角函数的图象与性质 由三角函数的图象特征给出三角函数的 解析式,然后考查三角函数的图象变换或性 质.

π [例 2] (2014· 潍坊模拟)已知函数 f(x)=Asinωx+ (A>0,ω>0)的振幅为 2,其图象的相 4 π 邻两个对称中心之间的距离为 . 3 2 π 6 ? (1)若 f? ?3α+12?=5,0<α<π,求 sin α; π (2)将函数 y=f(x)的图象向右平移 个单位得到 y=g(x)的图象,若函数 y=g(x)-k 在 6 11 ?0, π?上有零点,求实数 k 的取值范围. ? 36 ? π? 2π 2π [师生共研] (1)由题知 A=2,T= = ,∴ω=3,∴f(x)=2sin? ?3x+4?, ω 3 π ? π? 2 π? π 6 ? ?2 又 f? ?3α+12?=2sin?3?3α+12?+4?=2sin2α+2=2cos 2α=5, 3 ∴cos 2α= , 5 1-cos 2α 1 ∴sin2α= = , 2 5 又∵0<α<π, 5 ∴sin α= . 5 π π π π x- ?+ ?=2sin3x- ,则函数 y=g(x)-k=2sin?3x- ?-k, (2)由题知 g(x)=2sin?3? 6 ? ? 4? 4 ? ? ? 4 11π ∵0≤x≤ , 36 π π 2π ∴- ≤3x- ≤ , 4 4 3 π? ∴- 2≤2sin? ?3x-4?≤2. 11π? ∵y=g(x)-k 在? ?0, 36 ?上有零点, 11π? ∴y=g(x)与 y=k 的图象在? ?0, 36 ?上有交点, ∴实数 k 的取值范围是[- 2,2].

研究三角函数图象与性质的常用方法 (1)求三角函数的周期、单调区间、最值及判断三角函数的奇偶性,往往是在定义域内, 先化简三角函数式,尽量化为 y=Asin(ωx+φ)的形式,然后再求解. (2)对于形如 y=asin ωx+bcos ωx 型的三角函数,要通过引入辅助角化为 y= a2+b2 a b ? ? sin φ= 2 sin(ωx+φ)?cos φ= 2 ?的形式来求. 2, a +b a +b2? ?

ωx ωx π cos +3sin cos ωx 的最小正周期为 4. 2 2 6 (1)求函数 f(x)的单调递增区间; 2 (2)将函数 f(x)的图象上的所有的点向右平移 个单位长度得到 3 函数 g(x)的图象,点 P、Q 分别为函数 g(x)图象的最高点和最低点(如图),求∠OQP 的 大小. ωx ωx π 3 3 1 3 解:(1)f(x)= 3sin cos +3sin cos ωx= sin ωx+ cos ωx= 3? sin ωx+ cos ωx? 2 2 6 2 2 2 ?2 ? π? π π = 3sin ωxcos +cos ωx· sin = 3sin? ?ωx+3?, 3 3 2π π 因为 T=4,ω>0,所以 ω= = , 4 2 π π ? 所以 f(x)= 3sin? ?2x+3?. π π π π 令- +2kπ≤ x+ ≤ +2kπ,k∈Z, 2 2 3 2 5 1 5 1 ? 得- +4k≤x≤ +4k,k∈Z,所以函数 f(x)的单调递增区间为? ?-3+4k,3+4k?,k∈Z. 3 3 2 π (2)将 f(x)的图象向右平移 个单位长度得到函数 g(x)= 3sin x, 3 2 因为 P、Q 分别为该图象的最高点和最低点, 所以 P(1, 3)、Q(3,- 3), 所以 OP=2,PQ=4,OQ=2 3, OQ2+PQ2-OP2 3 所以 cos∠OQP= = , 2OQ· PQ 2 π 所以∠OQP= . 6 2.已知函数 f(x)= 3sin 热点三 命题角度 解三角形的实际应用 将实际问题转化为一个或几个三角形中 的问题,然后利用正弦定理、余弦定理解决.

[例 3] 如图,某广场中间有一块扇形绿地 OAB,其中 O 为扇形所在圆的圆心,∠AOB =60° ,广场管理部门欲在绿地上修建观光小路:在 AB 上选一点 C,过 C 修建与 OB 平行的小路 CD,与 OA 平行的小路 CE,问 C 应选在何处,才能使得 修建的道路 CD 与 CE 的总长最大,并说明理由. [师生共研] 由题意知,四边形 ODCE 是平行四边形.因为∠AOB=60° , 所以∠ODC=120° . 连接 OC,设 OC=r,OD=x,OE=y,则 CE=x,CD=y. 在△ODC 中,由余弦定理得 OC2=OD2+DC2-2OD· DCcos 120° ,即 r2=x2+y2+xy.

所以(x+y)2=r2+xy≤r2+?

x+y?2 ? 2 ?.

2 3 3 解得 x+y≤ r,当且仅当 x=y= r 时取等号, 3 3 2 3 所以 x+y 的最大值为 r,此时 C 为 3 即点 C 应选在 的中点.

的中点处,才能使得修建的道路总长最大.

应用三角知识解决实际问题的思路如下: (1)分析题意,理解有关问题的题意和应用背景,画出示意图,并将已知条件在图形中 标出; (2)将所求问题归结到一个或几个三角形中,利用正弦定理、余弦定理等知识求解; (3)检验解出的结果是否具有实际意义,对结果进行取舍,得出正确答案.

3.如图所示,一辆汽车从 O 点出发沿一条直线公路以 50 千米/小时的速度匀速行驶(图 中的箭头方向为汽车行驶方向),汽车开动的同时,在距汽车出发点 O 点的距离为 5 千米、 距离公路线的垂直距离为 3 千米的点 M 的地方,有一个人骑摩托车出发想把一件东西送给 汽车司机. 问骑摩托车的人至少以多大的速度匀速行驶才能实现他的愿望, 此时他驾驶摩托 车行驶了多少千米?

解:作 MI 垂直公路所在直线于点 I,则 MI=3, 4 ∵OM=5,∴OI=4,∴cos∠MOI= .设骑摩托车的人的速度为 v 千米/小时,追上汽车 5 的时间为 t 小时, 4 由余弦定理得(vt)2=52+(50t)2-2× 5× 50t× , 5 1 25 400 2 2 ? 即 v = 2 - +2 500=25? ? t -8? +900≥900, t t 1 30 15 ∴当 t= 时,v 取得最小值为 30,∴其行驶距离为 vt= = 千米. 8 8 4 故骑摩托车的人至少以 30 千米/小时的速度行驶才能实现他的愿望, 此时他驾驶摩托车 15 行驶了 千米. 4 热点四 命题角度 三角与向量的综合问题
用平面向量的语言表述三角函数中的问题, 如利用 向量平行、垂直的条件表述三角函数式之间的关系, 利用向量的模表述三角函数间的关系等, 然后考查三 角恒等变换、三角函数的图象与性质及解三角形等.

[例 4] (2014· 福州模拟)已知函数 f(x)=2cos2x+2 3sin xcos x(x∈R).

π? (1)当 x∈? ?0,2?时,求函数 f(x)的单调递增区间; (2)设△ABC 的内角 A,B,C 的对应边分别为 a,b,c,且 c=3,f(C)=2,若向量 m= (1,sin A)与向量 n=(2,sin B)共线,求 a,b 的值. π? [师生共研] (1)f(x)=2cos2x+ 3sin 2x=cos 2x+ 3sin 2x+1=2sin? ?2x+6?+1. π π π 令- +2kπ≤2x+ ≤ +2kπ,k∈Z, 2 6 2 π 2π π π π 0, ? ,∴f(x)的单调递增区间为 解得 2kπ- ≤2x≤2kπ+ ,即 kπ- ≤x≤kπ+ .∵x∈? ? 2? 3 3 3 6 π ?0, ?. ? 6? π? π 1 π ?π 13π? (2)由 f(C)=2sin? ?2C+6?+1=2,得 sin2C+6=2.又 C∈(0,π),∴2C+6∈?6, 6 ?, π 5π π ∴2C+ = ,得 C= . 6 6 3 ∵向量 m=(1,sin A)与向量 n=(2,sin B)共线, sin A 1 a 1 ∴ = ,由正弦定理得 = . ① sin B 2 b 2 π 由 c2=a2+b2-2abcos ,得 a2+b2-ab=9. ② 3 由①②解得 a= 3,b=2 3.

在解决此类问题的过程中, 只要根据题目的具体要求, 在向量和三角函数之间建立起联 系, 就可以根据向量或者三角函数的知识解决. 解决本题的关键是利用向量的坐标运算化简 已知条件,将其转化为解三角形问题求解.

4.已知向量 m=(cos A,-sin A),n=(cos B,sin B),m· n=cos 2C,其中 A,B,C 为 △ABC 的内角. (1)求角 C 的大小; (2)若 AB=6,且 =18,求 AC,BC 的长. 解:(1)m· n=cos Acos B-sin Asin B=cos(A+B), 因为 A+B+C=π, 所以 cos(A+B)=-cos C=cos 2C, 即 2cos2C+cos C-1=0, 1 故 cos C= 或 cos C=-1, 2 π 又 0<C<π,所以 C= . 3 (2)因为 =18,所以 CA· CB=36, ① π 2 2 由余弦定理 AB =AC +BC -2AC· BC· cos ,及 AB=6 得,AC+BC=12, ② 3 由①②解得 AC=6,BC=6.
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课题 3 利用正弦、余弦定理解三角形

[典例] (2014· 山东高考)△ABC 中,角 A,B,C 所对的边分别为 a,b,c.已知 a=3, 6 π cos A= ,B=A+ . 3 2 (1)求 b 的值; (2)求△ABC 的面积. [考题揭秘] 本题考查解三角形中正弦定理的应用,三角公式的应用,三角形面积公式 等基础知识和基本方法,考查考生的运算求解能力及分析问题、解决问题的能力. 6 π [审题过程] 第一步:审条件.已知△ABC 中,a=3,cos A= ,B=A+ . 3 2 第二步:审结论.求 b 的值及△ABC 的面积. 第三步:建联系.(1)根据已知条件求出 sin A 和 sin B,然后利用正弦定理求解;(2)求 出 sin C,然后使用三角形面积公式. [规范解答] (1)在△ABC 中, 3 π 由题意知 sin A= 1-cos2A= ,又因为 B=A+ , 3 2 π 6 ? 所以 sin B=sin? ?A+2?=cos A= 3 .① a b 由正弦定理 = ,② sin A sin B 6 3× 3 asin B 得 b= = =3 2.③ sin A 3 3 π? π 3 (2)由 B=A+ 得 cos B=cos? 得 C=π-(A+B). ?A+2?=-sin A=- 3 .由 A+B+C=π, 2 所以 sin C=sin[π-(A+B)]=sin(A+B) =sin Acos B+cos Asin B 3 ? 6 6 1 3? = × + × = . 3 ?- 3 ? 3 3 3 1 1 1 3 2 因此△ABC 的面积 S= absin C= × 3× 3 2× = . 2 2 3 2

[跟踪训练] 设△ABC 的内角 A,B,C 所对边的长分别是 a,b,c,且 b=3,c=1,A=2B. (1)求 a 的值; π? (2)求 sin? ?A+4?的值. 解:(1)因为 A=2B,所以 sin A=sin 2B=2sin Bcos B. a2+c2-b2 由正弦、余弦定理得 a=2b· . 2ac 因为 b=3,c=1,所以 a2=12,a=2 3. b2+c2-a2 9+1-12 1 (2)由余弦定理得 cos A= = =- . 2bc 6 3 1 2 2 由于 0<A<π,所以 sin A= 1-cos2A= 1- = . 9 3 π? π π 2 2 2 ? 1? 2 4- 2 故 sin? ?A+4?=sin Acos4+cos Asin4= 3 × 2 +?-3?× 2 = 6 .

A-B 1.在△ABC 中,内角 A,B,C 所对的边分别为 a,b,c.已知 4sin2 +4sin Asin B 2 =2+ 2. (1)求角 C 的大小; (2)已知 b=4,△ABC 的面积为 6,求边长 c 的值. 解:(1)由已知得 2[1-cos(A-B)]+4sin Asin B=2+ 2, 化简得-2cos Acos B+2sin Asin B= 2, 2 故 cos(A+B)=- . 2 3π π 所以 A+B= ,从而 C= . 4 4 1 π (2)因为 S△ABC= absin C,由 S△ABC=6,b=4,C= ,得 a=3 2. 2 4 由余弦定理 c2=a2+b2-2abcos C,得 c= 10. π? 2.(2014· 南昌模拟)已知函数 f(x)=2cos2x+2 3sin x· cos x+a,且当 x∈? ?0,6?时,f(x) 的最小值为 2. (1)求 a 的值,并求 f(x)的单调递增区间; 1 (2)保持函数 y=f(x)的图象上的点的纵坐标不变,将横坐标缩短到原来的 ,再把所得图 2 π? π 象向右平移 个单位长度,得到函数 y=g(x)的图象,求方程 g(x)=2 在区间? ?0,2?上的所有 12 根之和. π 解:(1)函数 f(x)=cos 2x+1+ 3sin 2x+a=2sin2x+ +a+1, 6 π? ∵x∈? ?0,6?, π π π? , , ∴2x+ ∈? 6 ?6 2? π ∴f(x)min=a+2=2,故 a=0,f(x)=2sin2x+ +1. 6 π π π π π 由 2kπ- ≤2x+ ≤2kπ+ ,解得 kπ- ≤x≤kπ+ (k∈Z), 2 6 2 3 6

π π? 故函数 f(x)的单调递增区间为? ?kπ-3,kπ+6?(k∈Z). π π π x- ? ? (2)由题意,g(x)=2sin?4? ? ? 12?+6?+1=2sin4x-6+1, π? 1 π π 5π 由 g(x)=2 得 sin? ?4x-6?=2,则 4x-6=2kπ+6或 2kπ+ 6 (k∈Z), kπ π kπ π 解得 x= + 或 + (k∈Z), 2 12 2 4 π? π π ∵x∈? ?0,2?,∴x=12或4, π? π π π 故方程 g(x)=2 在区间? ?0,2?上的所有根之和为12+4=3. π? 1 ? ? 3.(2014· 青岛模拟)已知向量 m=? n- . ?sin?2x+6?,sin x?,n=(1,sin x),f(x)=m· 2 (1)求函数 f(x)的单调递减区间; A? 1 (2)在△ABC 中,a,b,c 分别是角 A,B,C 的对边,a=2 3,f? ? 2 ?=2,若 3sin(A+ C)=2cos C,求 b 的大小. π? 1 2 解:(1)f(x)=sin? ?2x+6?+sin x-2 1-cos 2x 1 3 1 = sin 2x+ cos 2x+ - 2 2 2 2 3 = sin 2x. 2 π 3π? 所以 f(x)的单调递减区间是? ?kπ+4,kπ+ 4 ?,k∈Z. A? 1 3 3 (2)由 f? = 和 f ( x ) = sin 2 x ,得 sin A = . 2 ? ? 2 2 3 6 3 6 ①若 cos A= ,则 sin(A+C)= cos C+ sin C, 3 3 3 又 3sin(A+C)=2cos C,所以 cos C= 2sin C. 6 因为 0<C<π,所以 cos C= . 3 6 6 ②若 cos A=- ,同理可得:cos C=- ,显然不符合题意,舍去. 3 3 2 2 2 所以 sin B=sin(A+C)= cos C= . 3 3 asin B 故 b= =4 2. sin A 4.(2014· 厦门模拟)

某度假区以 2014 年索契冬奥会为契机,依山修建了高山滑雪场.为了适应不同人群的 需要,从山上 A 处到山脚滑雪服务区 P 处修建了滑雪赛道 A-C-P 和滑雪练习道 A-E- 5 4 2 P(如图).已知 cos∠ACP=- ,cos∠APC= ,cos∠APE= ,公路 AP 长为 10(单位:百 5 5 3 米),滑道 EP 长为 6(单位:百米). (1)求滑道 CP 的长度; (2)由于 C, E 处是事故的高发区, 为及时处理事故, 度假区计划在公路 AP 上找一处 D,

修建连接道 DC,DE.问 DP 多长时,才能使连接道 DC+DE 最短,最短为多少百米? 5 4 解:(1)∵cos∠ACP=- ,cos∠APC= , 5 5 2 5 3 ∴sin∠ACP= ,sin∠APC= . 5 5 ∵sin∠PAC=sin(∠APC+∠ACP)=sin∠APC· cos∠ACP+sin∠ACP· cos∠APC= AP PC = , sin∠ACP sin∠PAC ∴CP=5, ∴滑道 CP 的长度是 5 百米. (2)设 DP=x,x∈[0,10]. 4 2 ∵EP=6,CP=5,cos∠APC= ,cos∠APE= , 5 3 ∴DE= x2+36-2x· 6· cos∠APE= x2-8x+36, DC= x2+25-2x· 5· cos∠APC= x2-8x+25, ∴DE+DC= x2-8x+36+ x2-8x+25, 令 f(x)=DE+DC= x2-8x+36+ x2-8x+25= x- 2+20+ x- 2+9, 当且仅当 x=4 时,f(x)min=f(4)=3+2 5. ∴当 DP 为 4 百米时,DE+DC 最短,为(3+2 5)百米. 5 , 5


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