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2018版高中数学第四章函数应用1.1利用函数性质判定方程解的存在课件北师大版必修1_图文

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§1 函数与方程 1.1 利用函数性质判定方程解的存在 学习目标 1.了解函数的零点与方程的根的关系;2.会判断函 数零点的存在性;3.初步理解函数与方程思想. 预习教材 P115-116 完成下列问题: 知识点一 函数的零点 横坐标 称为 定义:函数 y = f(x) 的图像与横轴的交点的 __________ 这个函数的零点. 【预习评价】 1.函数的零点是点吗? 提示 函数 y = f(x) 的图像与横轴的交点的横坐标称为这个 函数的零点,因此函数的零点不是点,是方程 f(x) = 0 的 解,即函数的零点是一个实数. 2.结合所学的基本初等函数(如一次函数、二次函数、指数函 数、对数函数),思考是否所有的函数都有零点?并说明理 由. 提示 不一定.因为函数的零点就是方程的根,但不是所 有的方程都有根,所以说不是所有的函数都有零点. 如:指数函数,其图像都在 x 轴的上方,与 x 轴没有交点, 故指数函数没有零点;对数函数有唯一一个零点. 知识点二 函数的零点、方程的根、函数图像之间的关系 x轴 方程 f(x) = 0 有实数根 ? 函数 y = f(x) 的图像与 ________ 有交 有零点 . 点?函数y=f(x)__________ 【预习评价】 1.若 4 是函数 f(x)=ax2-2log2x 的零点,则 a 的值等于( A.4 1 C.-4 B.-4 1 D.4 ) 解析 因为 4 是函数 f(x)=ax2-2log2x 的零点, 1 所以 a×4 -2log24=0,解得 a=4. 2 答案 D 2.函数f(x)=x2-5x的零点是________. 解析 令x2-5x =0,解得x1=0或x2 =5,所以函数f(x) =x2 -5x的零点是0和5. 答案 0和5 知识点三 函数零点存在性的判断 若函数y=f(x)在闭区间[a,b]上的图像是连续曲线,并且在 f(a)·f(b)<0 ,则在区间 区间端点的函数值符号相反,即 ____________ 至少有一个 零点,即相应的方程 (a , b) 内,函数 y = f(x)____________ f(x)=0在区间(a,b)内至少有一个实数解. 【预习评价】 1.若f(a)·f(b)>0,那么函数y=f(x)在区间(a,b)内一定没有零 点吗? 提示 不一定.如y=x2-1在区间(-2,2)上有两个零点,但 f(2)·f(-2)>0. 2.结合教材P116例3,你认为求函数零点个数的常用方法有哪 些? 提示 方法二 方法三 方法一 利用方程的根,转化为解方程,方程有几 个根相对应的函数就有几个零点. 利用函数y=f(x)的图像与x轴的交点的个数,从而 结合函数的单调性.若函数在区间[a,b]上的图像 判定零点的个数. 是一条连续不断的曲线,利用f(a)·f(b)<0,结合单调性可判 定y=f(x)在(a,b)上零点的个数. 方法四 转化成两个函数图像的交点问题. 题型一 求函数的零点 【例 1】 判断下列函数是否存在零点,如果存在,请求出. (1)f(x)=x2+7x+6; (2)f(x)=1-log2(x+3); (3)f(x)=2x-1-3; x2+4x-12 (4)f(x)= . x-2 解 (1)解方程 f(x)=x2+7x+6=0, 得 x=-1 或 x=-6,所以函数的零点是-1,-6. (2)解方程 f(x)=1-log2(x+3)=0,得 x=-1, 所以函数的零点是-1. (3)解方程 f(x)=2x 1-3=0,得 x=log26,所以函数的零点 - 是 log26. x2+4x-12 (4)解方程 f(x)= =0,得 x=-6,所以函数的零 x-2 点为-6. 规律方法 求函数零点的两种方法:(1)代数法:求方程f(x) =0的实数根;(2)几何法:对于不能用求根公式的方程,可 以将它与函数 y = f(x) 的图像联系起来,并利用函数的性质 找出零点. 【训练1】 函数y=x-1的零点是( A.(1,0) B.0 ) C.1 解析 1. 答案 C D.不存在 令 y = x - 1 = 0 ,得 x = 1 ,故函数 y = x - 1 的零点为 题型二 判断函数零点所在区间 【例2】 已知函数f(x)=x3-x-1仅有一个正零点,则此零点 ) B.(2,3) D.(0,1) 所在的区间是( A.(3,4) C.(1,2) 解析 ∵ f(0) = - 1<0 , f(1) = - 1<0 , f(2) = 5>0 , f(3) = 23>0,f(4)=59>0. ∴f(1)·f(2)<0,此零点一定在(1,2)内. 答案 C 规律方法 1. 判断零点所在区间有两种方法:一是利用零 点存在定理,二是利用函数图像. 2.要正确理解和运用函数零点的性质在函数零点所在区间 的 判 断 中 的 应 用 , 若 f(x) 图 像 在 [a , b] 上 连 续 , 且 f(a)·f(b)<0 ,则 f(x) 在 (a , b) 上必有零点,若 f(a)·f(b)>0,则 f(x)在(a,b)上不一定没有零点. 【训练2】 函数f(x)=ex+x-2的零点所在的区间是( A.(-2,-1) B.(-1,0) ) C.(0,1) D.(1,2) 解析 ∵f(0)=e0+0-2=-1<0, f(1) =e1 +1-2 =e - 1>0, ∴ f(0)·f(1)<0,∴ f(x) 在 (0,1) 内有 零点. 答案 C 题型三 解 判断函数零点的个数 方法一 函数对应的方程为ln x+x2-3=0,所以原函 【例3】 判断函数f(x)=ln x+x2-3的零点的个数. 数零点的个数即为函数y=ln x与y=3-x2的图像交点个数. 在同一直角坐标系下,作出两函数的图像(如图).

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