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北师大版选修2-1 第二章 空间向量与立体几何 复习与小结(2)

时间:2017-12-04


石泉中学复习课教案
科目:数学 教师: 授课时间:第 17 周 星期三 2016 年 12 月 21 日
单元(章节)课题 本节课题 北师大版选修 2-1 第二章空间向量与立体几何

空间向量与立体几何复习与小结(2)
1、掌握空间向量的概念、运算及其应用;

三维目标 2、掌握利用空间向量解决立体几何问题的方法。 提炼的课题 教学手段运用 教学资源选择 空间向量的概念、运算及其应用及掌握利用空间向量解决立体几何问题的方法。 探析归纳,讲练结合 教 1、用已知向量表示未知向量 例 1. 如图所示,在平行六面体 ABCD — A 1 B1C1 D1 中,设 AA 1 ? a , AB ? b, AD ? c ,M、N、P 分别是 AA 1 、 BC、 C 1 D 1 的中点,试用 a、b、c 表示以下各向量: (1) AP ; (2) A 1 N ; (3) MP ? NC 1 。 学 过 程

分析:根据空间向量加减法及数乘运算的法则和运算律即可。 解析: (1)∵P 是 C 1 D 1 的中点, ∴ AP ? AA 1 ? A 1 D1 ? D1 P

? a ? AD ? ?a ?c?

1 1 AB ? a ? c ? b 2 2

1 D1C1 2

(2)∵N 是 BC 的中点, ∴ A1 N ? A1 A ? AB ? BN ? ?a ? b ? (3)∵M 是 AA 1 的中点,

1 1 1 BC ? ?a ? b ? AD ? ?a ? b ? c 2 2 2

1 1 1 1 1 A1 A ? AP ? ? a ? (a ? c ? b) ? a ? b ? c 2 2 2 2 2 1 1 1 又 NC1 ? NC ? CC1 ? BC ? AA1 ? AD ? AA1 ? c ? a 2 2 2
∴ MP ? MA ? AP ? ∴ MP ? NC1 ? ? a ?

?1 ?2

1 1 ? 3 1 3 ? ? b ? c? ? ? a ? c? ? a ? b ? c 。 2 2 ? 2 2 2 ? ?

点评:用已知向量表示未知向量,一定要结合图形,以图形为指导是解题的关键.要正确理解向量加法、 减法与数乘运算的几何意义.首尾相接的若干向量之和,等于由起始向量的始点指向末尾向量的终点的向量, 我们可把这个法则称为向量加法的多边形法则,在立体几何中要灵活应用三角形法则;向量加法的平行四边形 法则在空间仍然成立. 2、共线、共面向量问题 例 2. 已知 A、B、C 三点不共线,对平面外一点 O,在下列条件下,点 P 是否一定与 A、B、C 共面?(1)

2 1 2 (2) OP ? 2OA ? 2OB ? OC OP ? OA ? OB ? OC ; 5 5 5
分析:先化简已知等式,观察它能否转化为四点共面的充要条件。 解析: (1)原式变形为 OP ?

2 1 2 1 2 OA ? (OA ? AB) ? (OA ? AC) ? OA ? AB ? AC 5 5 5 5 5

∴由共面向量定理的推论知 P 与 A、B、C 共面。 (2)原式变形为 OP ? 2OA ? 2(OA ? AB) ? (OA ? AC) ? ?OA ? 2AB ? AC ∴P 与 A、B、C 三点不共面。 点评:点共面问题,可转化为向量共面问题,要证明 P、A、B、C 四点共面,只要能证明 PA ? x PB ? y PC ,或 对空间任一点 O,有 OA ? OP ? x PB ? y PC 或 OP ? x OA ? yOB ? z OC( x ? y ? z ? 1) 即可,以上结论是判定空 间四点共面的一个充要条件,共面向量定理实际上也是三个非零向量所在直线共面的必要条件。 3、空间向量基本定理 例 3. 已知矩形 ABCD,P 为平面 ABCD 外一点,且 PA⊥平面 ABCD,M、N 分别为 PC、PD 上的点,且 M 分 PC 成 定比 2,N 分 PD 成定比 1,求满足 MN ? x AB ? y AD ? z AP 的实数 x、y、z 的值。 分析:结合图形,从向量 MN 出发,利用向量运算法则不断进行分解,直到全部向量都用 AB 、 AD 、 AP 表示出来,即可求出 x、y、z 的值。 解析:如图所示,取 PC 的中点 E,连接 NE,则 MN ? EN ? EM 。

∵ EN ?

1 1 1 2 1 1 CD ? BA ? ? AB , EM ? PM ? PE ? PC ? PC ? PC ,连接 AC,则 2 2 2 3 2 6

PC ? AC ? AP ? AB ? AD ? AP 1 1 ? MN ? ? AB ? ( AB ? AD ? AP) 2 6 2 1 1 ? ? AB ? AD ? AP 3 6 6 2 1 1 ?x ? ? , y ? ? , z ? 3 6 6
点评:选定空间不共面的三个向量作基向量,并用它们表示出指定的向量,是用向量解决立体几何问题的 一项基本功,要结合已知和所求,观察图形,联想相关的运算法则和公式等,就近表示所需向量。再对照目标, 将不符合目标要求的向量当作新的所需向量,如此继续下去,直到所有向量都符合目标要求为止,这就是向量 的分解。有分解才有组合,组合是分解的表现形式。空间向量基本定理恰好说明,用空间三个不共面的向量组

?a , b, c? 可以表示出空间任意一个向量,而且 a,b,c 的系数是惟一的。
4、空间向量数量积 例 4. 在平行四边形 ABCD 中, AB=AC=1, ∠ACD=90°, 将它沿对角线 AC 折起, 使 AB 和 CD 成 60°角 (见下图) 。 求 B、D 间的距离。

解析:∵∠ACD=90°,∴ AC ? CD ? 0 ,同理 BA ? AC ? 0 ∵AB 和 CD 成 60°角, ∴ ? BA ? CD ?? 60°或 120° 60

??? ? ????

??? ? ??? ?

0

??? ? ??? ? ???? ??? ? ? BD ? BA ? AC ? CD ??? ? 2 ??? ? 2 ???? 2 ??? ?2 ??? ? ???? ??? ? ??? ? ???? ??? ? ? BD ? BA ? AC ? CD ? 2 BA ? AC ? 2CD ? BA ? 2 AC ? CD
? 3 ? 2 ? 1 ? 1 ? cos BA, CD

? BA 2 ? AC 2 ? CD 2 ? 2BA ? CD

?4 ? ?? ?2 ?

? ? BA, CD ? ? ? 60? ? ? ? ? BA, CD ? ? ? 120? ? ?

∴ | BD |? 2或 2 ,即 B、D 间的距离为 2 或 2

点评:用向量数量积的定义及性质可解决立体几何中求异面直线所成的角,求两点距离或线段长度以及证明线 线垂直,线面垂直等典型问题。 (1)求向量 m 和 n 所成的角,首先应选择合适的基底,将目标向量 m 和 n 用

??

?

??

?

?? ? ?? ? m?n 该组基底表示出来,再求其自身的数量积及长度.最后利用公式 cos ? m, n ?? ?? ? 。 (2)由于线段的长度 m?n
是实数,实数与向量之间如何转化,是思维中的常见障碍,在向量性质中 a ? a ? a 提供了向量与实数相互转 化的工具,运用此公式,可使线段长度的计算问题转化成两个相等向量的数量积的计算问题。 (二) 、课堂练习:已知 A、B、C 三点不共线,O 为平面 ABC 外一点。若由向量 OP ? 的点 P 与 A、B、C 共面,则 ? ? ____________。

?2

? ?

2 15

1 2 OA ? OB ? ? OC 确定 5 3

课后作 业布置 预习内 容布置

课本 56 页 复习题 二 A 组 6,8,10 课本 57 页 16 ,17,18


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