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高考数学重点难点复习(9):指数函数、对数函数问题

时间:2011-01-16


难点 9

指数函数、 指数函数、对数函数问题

指数函数、对数函数是高考考查的重点内容之一,本节主要帮助考生掌握两种函数的概念、图象和性 质并会用它们去解决某些简单的实际问题. ●难点磁场

1 + x ,F(x)= 1 +f(x). 2? x 1? x (1)试判断函数 f(x)的单调性,并用函数单调性定义,给出证明;
(★★★★★)设 f(x)=log2 (2)若 f(x)的反函数为 f 1(x),证明:对任意的自然数 n(n≥3),都有 f 1(n)>
- - - -

n ; n +1

(3)若 F(x)的反函数 F 1(x),证明:方程 F 1(x)=0 有惟一解. ●案例探究 [例 1]已知过原点 O 的一条直线与函数 y=log8x 的图象交于 A、B 两点,分别过点 A、B 作 y 轴的平 行线与函数 y=log2x 的图象交于 C、D 两点. (1)证明:点 C、D 和原点 O 在同一条直线上; (2)当 BC 平行于 x 轴时,求点 A 的坐标. 命题意图:本题主要考查对数函数图象、对数换底公式、对数方程、指数方程等基础知识,考查学生 的分析能力和运算能力.属★★★★级题目. 知识依托:(1)证明三点共线的方法:kOC=kOD. (2)第(2)问的解答中蕴涵着方程思想,只要得到方程(1),即可求得 A 点坐标. 错解分析:不易考虑运用方程思想去解决实际问题. 技巧与方法:本题第一问运用斜率相等去证明三点共线;第二问运用方程思想去求得点 A 的坐标. (1)证明:设点 A、B 的横坐标分别为 x1、x2,由题意知:x1>1,x2>1,则 A、B 纵坐标分别为 log8x1,log8x2. 因为 A、B 在过点 O 的直线上,所以

log 8 x1 log 8 x 2 ,点 C、D 坐标分别为(x1,log2x1),(x2,log2x2),由于 = x1 x2

log2x1=

log 8 x1 log 8 x 2 log 2 x1 3 log 8 x1 = 3 log 8 x1 , log 2 x 2 = , = 3log8x2,所以 OC 的斜率:k1= = log 8 2 log 8 2 x2 x1 log 2 x 2 3 log 8 x 2 ,由此可知:k1=k2,即 O、C、D 在同一条直线上. = x2 x2
即 : log2x1=

OD 的斜率:k2=

(2) 解 : 由 BC 平 行 于 x 轴 知 : log2x1=log8x2

1 log2x2, 代 入 x2log8x1=x1log8x2 得 : 3

x13log8x1=3x1log8x1,由于 x1>1 知 log8x1≠0,∴x13=3x1.又 x1>1,∴x1= 3 ,则点 A 的坐标为( 3 ,log8 3 ). [例 2]在 xOy 平面上有一点列 P1(a1,b1),P2(a2,b2),…,Pn(an,bn)…,对每个自然数 n 点 Pn 位于函数 y=2000(

a x ) (0<a<1)的图象上,且点 Pn,点(n,0)与点(n+1,0)构成一个以 Pn 为顶点的等腰三角形. 10 (1)求点 Pn 的纵坐标 bn 的表达式; (2)若对于每个自然数 n,以 bn,bn+1,bn+2 为边长能构成一个三角形,求 a 的取值范围; (3)设 Cn=lg(bn)(n∈N*),若 a 取(2)中确定的范围内的最小整数,问数列{Cn}前多少项的和最大?试说明 理由. 命题意图:本题把平面点列,指数函数,对数、最值等知识点揉合在一起,构成一个思维难度较大的 综合题目,本题主要考查考生对综合知识分析和运用的能力.属★★★★★级

1

题目. 知识依托:指数函数、对数函数及数列、最值等知识. 错解分析:考生对综合知识不易驾驭,思维难度较大,找不到解题的突破口. 技巧与方法:本题属于知识综合题,关键在于读题过程中对条件的思考与认识,并会运用相关的知识 点去解决问题.

1 a n+ 解:(1)由题意知:an=n+ ,∴bn=2000( ) 2 . 2 10 a x ) (0<a<10)递减,∴对每个自然数 n,有 bn>bn+1>bn+2.则以 bn,bn+1,bn+2 为边长能构成 10 a a 一个三角形的充要条件是 bn+2+bn+1>bn,即( )2+( )-1>0,解得 a<-5(1+ 2 )或 a>5( 5 -1).∴5( 5 - 10 10 1)<a<10.
(2)∵函数 y=2000( (3)∵5( 5 -1)<a<10,∴a=7

1

7 n+ ∴bn=2000( ) 2 .数列{bn}是一个递减的正数数列,对每个自然数 n≥2,Bn=bnBn-1.于是当 bn≥1 时, 10
B Bn<Bn-1,当 bn<1 时, n≤Bn-1,因此数列{Bn}的最大项的项数 n 满足不等式 bn≥1 且 bn+1<1,由 bn=2000(

1

7 n+ 2 ) 10

1

≥1 得:n≤20.8.∴n=20. ●锦囊妙计 本难点所涉及的问题以及解决的方法有: (1)运用两种函数的图象和性质去解决基本问题.此类题目要求考生熟练掌握函数的图象和性质并能灵 活应用. (2)综合性题目.此类题目要求考生具有较强的分析能力和逻辑思维能力. (3)应用题目.此类题目要求考生具有较强的建模能力. ●歼灭难点训练 一、选择题 1.(★★★★)定义在(-∞,+∞)上的任意函数 f(x)都可以表示成一个奇函数 g(x)和一个偶函数 h(x)之和, 如果 f(x)=lg(10x+1),其中 x∈(-∞,+∞),那么( ) -x x A.g(x)=x,h(x)=lg(10 +10 +2)

1 1 [lg(10x+1)+x],h(x)= [lg(10x+1)-x] 2 2 x x C.g(x)= ,h(x)=lg(10x+1)- 2 2 x x D.g(x)=- ,h(x)=lg(10x+1)+ 2 2 2.(★★★★)当 a>1 时,函数 y=logax 和 y=(1-a)x 的图象只可能是(
B.g(x)=

)

2

二、填空题

?2 x ( x ≥ 0) - 3.(★★★★★)已知函数 f(x)= ? .则 f- 1(x- ?log 2 ( ? x ) ( ?2 < x < 0)
1)=_________. 4.(★★★★★)如图,开始时,桶 1 中有 a L 水,t 分钟后剩余的水 符合指数衰减曲线 y= - - 桶 ae nt,那么桶 2 中水就是 y2=a-ae nt,假设过 5 分钟时, 1 和桶 2 的水相 等,则再过_________分钟桶 1 中的水只有

a . 8

三、解答题 5.(★★★★)设函数 f(x)=loga(x-3a)(a>0 且 a≠1),当点 P(x,y)是函数 y=f(x)图象上的点时,点 Q(x-2a,-y)是函数 y=g(x)图象上的点. (1)写出函数 y=g(x)的解析式; (2)若当 x∈[a+2,a+3]时,恒有|f(x)-g(x)|≤1,试确定 a 的取值范围. 6.(★★★★)已知函数 f(x)=logax(a>0 且 a≠1),(x∈(0,+∞)),若 x1,x2∈(0,+∞),判断 f(

1 [f(x1)+f(x2)]与 2

x1 + x 2 )的大小,并加以证明. 2 7.(★★★★★)已知函数 x,y 满足 x≥1,y≥1.loga2x+loga2y=loga(ax2)+loga(ay2)(a>0 且 a≠1),求 loga(xy)的 取值范围.
8.(★★★★)设不等式 2(log 1 x)2+9(log 1 x)+9≤0 的解集为 M,求当 x∈M 时函数 f(x)=(log2
2 2

x )(log x ) 2 2 8

的最大、最小值. 参考答案 难点磁场 解:(1)由

1+ x >0,且 2-x≠0 得 F(x)的定义域为(-1,1),设-1<x1<x2<1,则 1? x
1 + x2 1 + x1 1 1 )+( log 2 ) ? ? log 2 2 ? x2 2 ? x1 1 ? x2 1 ? x1

F(x2)-F(x1)=(

=

x 2 ? x1 (1 ? x1 )(1 + x 2 ) , + log 2 (2 ? x1 )( 2 ? x 2 ) (1 + x1 )(1 ? x 2 )

∵x2-x1>0,2-x1>0,2-x2>0,∴上式第 2 项中对数的真数大于 1. 因此 F(x2)-F(x1)>0,F(x2)>F(x1),∴F(x)在(-1,1)上是增函数. (2)证明:由 y=f(x)= log 2

1+ x 1+ x 2y ?1 得:2y= ,x = y , 1? x 1? x 2 +1
3

∴f 1(x)=



2x ? 1 - ,∵f(x)的值域为 R,∴f- 1(x)的定义域为 R. x 2 +1 n 2n ? 1 n 2 1 ? n > ?1? n >1? ? 2 n > 2n + 1 . n +1 n +1 2 +1 n +1 2 +1

当 n≥3 时,f-1(n)>

用数学归纳法易证 2n>2n+1(n≥3),证略.

1 1 1 1 - - - ,∴F 1( )=0,∴x= 是 F 1(x)=0 的一个根.假设 F 1(x)=0 还有一个解 x0(x0≠ ),则 2 2 2 2 1 F-1(x0)=0,于是 F(0)=x0(x0≠ ).这是不可能的,故 F-1(x)=0 有惟一解. 2 歼灭难点训练 ① 一、1.解析:由题意:g(x)+h(x)=lg(10x+1) -x -x 又 g(-x)+h(-x)=lg(10 +1).即-g(x)+h(x)=lg(10 +1) ② x x 由①②得:g(x)= ,h(x)=lg(10x+1)- . 2 2 答案:C 2.解析:当 a>1 时,函数 y=logax 的图象只能在 A 和 C 中选,又 a>1 时,y=(1-a)x 为减函数. 答案:B
(3)证明:∵F(0)= 二、3.解析:容易求得 f-1

?log 2 x (x)= ? x ?? 2

( x ≥ 1) ( x < 1)

,从而:

?log 2 ( x ? 1), ( x ≥ 2) - f 1(x-1)= ? x ?1 ( x < 2). ?? 2 , ?log 2 ( x ? 1), ( x ≥ 2) 答案: ? x?1 ( x < 2) ?? 2 ,
4.解析:由题意,5 分钟后,y1=ae y1=ae
-n(5+t) -nt

,y2=a-ae

-nt

,y1=y2.∴n=

1 a ln2.设再过 t 分钟桶 1 中的水只有 ,则 5 8

a ,解得 t=10. 8 答案:10 三、5.解:(1)设点 Q 的坐标为(x′,y′),则 x′=x-2a,y′=-y.即 x=x′+2a,y=-y′.
=

∵ 点 P(x,y) 在 函 数 y=loga(x - 3a) 的 图 象 上 , ∴ - y ′ =loga(x ′ +2a - 3a), 即 y ′ =loga g(x)=loga

1 ,∴ x ?a
2

1 . x?a 1 1 = >0,又 a>0 且 a≠1,∴0<a<1,∵|f(x)- x ? a (a + 3) ? a

(2)由题意得 x-3a=(a+2)-3a=-2a+2>0; g(x)|=|loga(x-3a)-loga

1 |=|loga(x2-4ax+3a2)|·|f(x)-g(x)|≤1,∴-1≤loga(x2-4ax+3a2)≤1,∵0<a<1, x?a 2 ∴a+2>2a.f(x)=x -4ax+3a2 在[a+2,a+3]上为减函数,∴μ(x)=loga(x2-4ax+3a2)在[a+2,a+3]上为减函 数,从而[μ(x)]max=μ(a+2)=loga(4-4a),[μ(x)]min=μ(a+3)=loga(9-6a),于是所求问题转化为求不等式

4

?0 < a < 1 ? 组 ?log a (9 ? 6a) ≥ ?1 的解. ?log ( 4 ? 4a ) ≤ 1 ? a
9 ? 57 4 ,由 loga(4-4a)≤1 解得 0<a≤ , 12 5 9 ? 57 ∴所求 a 的取值范围是 0<a≤ . 12 6.解:f(x1)+f(x2)=logax1+logax2=logax1x2, x + x2 2 ∵x1,x2∈(0,+∞),x1x2≤( 1 ) (当且仅当 x1=x2 时取“=”号), 2 x + x2 2 当 a>1 时,有 logax1x2≤loga( 1 ), 2 x + x2 x + x2 1 1 ), (logax1+logax2)≤loga 1 , ∴ logax1x2≤loga( 1 2 2 2 2 x + x2 1 即 [ f(x1)+f(x2)]≤f( 1 )(当且仅当 x1=x2 时取“=”号) 2 2 x + x2 2 ), 当 0<a<1 时,有 logax1x2≥loga( 1 2 x + x2 x + x2 1 1 ∴ (logax1+logax2)≥loga 1 ,即 [f(x1)+f(x2)]≥f( 1 )(当且仅当 x1=x2 时取“=”号). 2 2 2 2 7. 解 : 由 已 知 等 式 得 : loga2x+loga2y=(1+2logax)+(1+2logay), 即 (logax - 1)2+(logay - 1)2=4, 令 u=logax,v=logay,k=logaxy,则(u-1)2+(v-1)2=4(uv≥0),k=u+v.在直角坐标系 uOv 内, 圆弧(u-1)2+(v-1)2=4(uv ≥0)与平行直线系 v=-u+k 有公共点,分两类讨论.
由 loga(9-6a)≥-1 解得 0<a≤ (1)当 u≥0,v≥0 时,即 a>1 时,结合判别式法与代点法得 1+ 3 ≤k≤2(1+ 2 ); (2)当 u≤0,v≤0,即 0<a<1 时,同理得到 2(1- 2 )≤k≤1- 3 .x 综上,当 a>1 时,logaxy 的最大值 为 2+2 2 ,最小值为 1+ 3 ;当 0<a<1 时,logaxy 的最大值为 1- 3 ,最小值为 2-2 2 . 8.解:∵2( log 1 x)2+9( log 1 x)+9≤0
2 2

∴(2 log 1 x+3)( log 1 x+3)≤0.
2 2

∴-3≤ log 1 x≤-
2

3 . 2
3

即 log 1 (
2

1 -3 1 ? ) ≤ log 1 x≤ log 1 ( ) 2 ? 2 2 2 2

∴(

1 ?2 1 - ) ≤x≤( ) 3,∴2 2 ≤x≤8 2 2

3

即 M={x|x∈[2 2 ,8]}

5

又 f(x)=(log2x-1)(log2x-3)=log22x-4log2x+3=(log2x-2)2-1.

3 ≤log2x≤3 2 ∴当 log2x=2,即 x=4 时 ymin=-1;当 log2x=3,即 x=8 时,ymax=0.
∵2 2 ≤x≤8,∴

6


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